量地與測天：徽州的數(shù)學(xué)世界

段志強

一

一五七三年前后，一位商人結(jié)束了半生漂泊，回到他位于徽州府休寧縣的家鄉(xiāng)。像千千萬萬的徽州男性一樣，他老早就出去做生意，足跡遍及湖廣、江南。在漫長的商業(yè)生涯中，他始終保持著自己最深的愛好：數(shù)學(xué)。

這位徽商名叫程大位（一五三三至？）。他自幼就對數(shù)學(xué)感興趣，經(jīng)商期間更遍訪名師，廣搜數(shù)學(xué)著作，積累了許多資料?；氐焦枢l(xiāng)之后，程大位用二十年時間編成一部十七卷的數(shù)學(xué)書，于一五九二年出版，題名《直指算法統(tǒng)宗》。日后，《算法統(tǒng)宗》被反復(fù)翻刻、重編、引用。它在數(shù)學(xué)世界里的地位，就如同四書五經(jīng)在科舉世界里的地位一樣。

以今天的眼光來看，《算法統(tǒng)宗》較少涉及高深的數(shù)學(xué)討論，主要內(nèi)容是日常生活中的計算。按照《九章算術(shù)》的古老傳統(tǒng)，這些計算仍被分為方田、粟布、均輸?shù)染蓬悾贿^程大位一生經(jīng)歷的嘉靖、隆慶、萬歷三朝，正是歷史的轉(zhuǎn)折時期，數(shù)學(xué)書的舊瓶子，也裝滿了新酒。比如卷二這道題：“假如今有趙錢孫李四人同商，前后付出本銀。一、趙于癸亥年正月初九日付出本銀三十兩，二、錢于乙丑年四月十五日付出本銀五十兩，三、孫于丙寅年八月十八日付出本銀七十兩，四、李于丁卯年十月二十七日付出本銀九十兩。四共本銀二百四十兩。至戊辰年終，共得利銀一百二十兩，問各該利銀若干？”合伙經(jīng)商、本利分攤，對于徽商來說是必然會遇到的計算。

商業(yè)并不是《算法統(tǒng)宗》的唯一關(guān)注，政府行政中的數(shù)學(xué)占據(jù)了更大的比例。程大位生活的時代，最大的“政治”要屬一條鞭法的展開，改革的舉措，諸如清丈土地、賦役折銀等等，無不涉及巨大的計算量。例如，百姓擔(dān)負的徭役，原本要按照戶等指派百姓親身應(yīng)役，后來這些徭役逐漸折錢、折銀，再由官府雇人充當(dāng)；田賦原本征收本色，即糧食等實物，后來大部分也轉(zhuǎn)變?yōu)檎坫y，這被稱為“賦役貨幣化”。既然折銀，必然要確定折銀的數(shù)額、等次、依據(jù)等等，涉及定額、排序、分配諸多計算。學(xué)者早已指出，一條鞭法催生了大量文書、票據(jù)，這些憑證上最重要的內(nèi)容就是數(shù)字，包括但不限于人口、土地面積、稅負等等。

延續(xù)幾十年的賦役改革，伴隨著海量的數(shù)據(jù)生產(chǎn)與數(shù)據(jù)交換。這種背景下，像卷二這種簡單的題目，已經(jīng)不能應(yīng)付實際行政需求了；能做出卷九所列更復(fù)雜的題，可能才勉強夠格去做書吏。當(dāng)然，行政數(shù)學(xué)中最多也最重要的計算，應(yīng)屬丈量土地，即“方田”。一五八一年，就在《算法統(tǒng)宗》編寫過程中，清丈在徽州展開?！端惴ńy(tǒng)宗》卷三“方田”部分糾正、發(fā)展了前輩數(shù)學(xué)家的方法，畫出了幾十種土地形狀，各自說明如何將它們化約為方、直、圭、梭、梯、斜及圓、碗、環(huán)各種，再加以計算，可稱窮形盡相，堪稱丈量土地的算法指南。

丈量土地常用的工具是步弓，是一種形似弓的測量工具，一弓就是一步，一步五尺，三百步為一畝。但步弓使用起來麻煩，積少成多之后誤差也比較大，程大位發(fā)明了一種步車，《算法統(tǒng)宗》詳細畫了圖紙，兩旁還用篆書寫著：“賓渠制就心機巧，隸首傳來數(shù)學(xué)精?！毕鄠鼽S帝的史官隸首發(fā)明了數(shù)學(xué)，賓渠則是程大位的號，他把自己跟隸首放在一起，足見自豪。程大位的步車實質(zhì)上是一種大型卷尺，他也因此被稱為卷尺之祖。

在這一卷的末尾，程大位暗暗塞進去一篇《畝法論》。文中說，“前賢畝法”以二百四十步為一畝，萬歷九年清丈時，休寧縣的總書（書吏首腦）擅自改變成法，將田分為四等，上等一百九十步為一畝，中等二百二十步，下等二百六十步，下下等三百步，其他不同用途的土地也都各有等次。程大位說，就算田地有厚薄、征役有輕重，也應(yīng)該“就土田之高下，別米麥之多寡”，而不應(yīng)該玩弄數(shù)字，在統(tǒng)計上做文章。

《畝法論》后面，又加了一道奇怪的題目：“原用古弓，每步五尺，今以鈔弓校之，只有四尺八寸。問古弓百步，該鈔弓若干？”就數(shù)學(xué)而言，這道題無比簡單，卻被放在卷末壓軸。在卷四“粟布”部分，程大位編了一首《官糧帶耗歌》，說“官糧帶耗在其中，一石例加七升同”，將一石七升的加耗作為慣例記錄下來，后面還列了四道題?？紤]到加耗是地方官貪墨的重災(zāi)區(qū)，這樣的記載也很有意味。如此看來，《算法統(tǒng)宗》又何止是一部數(shù)學(xué)書。

二

《算法統(tǒng)宗》的計算工具是算盤，書中總結(jié)了不少算盤的用法和口訣，并首次記錄了用算盤開方的方法。算盤發(fā)明的時代還有爭議，但它的廣泛普及則可確定，就是在程大位生活的時代，《算法統(tǒng)宗》在其中起了很大作用。算盤和珠算流行的背景，是社會生活的計算量在飛速增加。

賦役貨幣化實際上是一個更大的歷史進程的一部分：在所有社會活動中，貨幣化的程度都加深了。隨著美洲及日本白銀的涌入，白銀在中國歷史上第一次作為政治與商業(yè)的主流貨幣，與銅錢一起為社會提供流通性。貨幣經(jīng)濟同時也是數(shù)字經(jīng)濟——這里的數(shù)字不是digital，就是“數(shù)目字”的意思。以物易物的語境中，物品和物品直接比較，運用之妙，在于一心，而貨幣經(jīng)濟之下，商品需要先轉(zhuǎn)化為數(shù)字，才能完成交易。有數(shù)字就必然會有計算，用到數(shù)學(xué)。

徽州文書中所見的大量民間組織，也必須用到數(shù)學(xué)。比如，村里的石橋需要維護，幾個人結(jié)成路橋會，各自捐一點錢，拿出去借貸生息，形成一個小型基金，盈余用來修橋；還比如，有人需要用錢，召集一個錢會，親朋好友湊錢給他，再從許多種還本付息模式中選擇一個，每年定期輪流收付款；還有，家族的義田需要經(jīng)營，租佃、買賣、分割等等，諸如此類都要計算。更不用說，一切契約、賬簿也都以數(shù)字為中心?？梢哉f，一個商業(yè)社會必然也是一個數(shù)學(xué)社會。

日后，明代數(shù)學(xué)背負了與世界脫節(jié)的歷史責(zé)任。關(guān)于明代數(shù)學(xué)的衰落，徐光啟有個著名的說法。他說算數(shù)之學(xué)只是在“近世數(shù)百年間”才退步，原因有二：一是“名理之儒，土苴天下之實事”，理學(xué)家鄙視實用之學(xué)；二是“妖妄之術(shù)謬言數(shù)有神理，能知來藏往，靡所不致”，另外一些人則把數(shù)學(xué)神秘化、宗教化。這個說法當(dāng)然深有見地，不過《算法統(tǒng)宗》的流行似乎還表明另外一個原因，即實用計算的巨量需求，驅(qū)使數(shù)學(xué)頭腦忙于應(yīng)付現(xiàn)實問題。換句話說，與徐光啟的看法相反，正是丈量土地、商業(yè)運轉(zhuǎn)等“天下之實事”，將數(shù)學(xué)局限于日常計算。

實際需求推動科學(xué)進步，本是世界通例。在程大位的時代，三角幾何學(xué)正在歐洲蓬勃興起：就在程大位出生的一五三三年，雷吉奧蒙塔努斯（一四三六至一四七六）的正弦余弦函數(shù)表出版；而在程大位寫作《算法統(tǒng)宗》之時，巴塞洛繆·皮提斯卡斯（一五六一至一六一三）也在寫作他的《三角幾何學(xué)》，書中首次提出了“三角學(xué)”這個名詞。這兩位都是德國天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家，他們的研究很大程度上出于航海與地圖繪制的需要。只不過，行政管理和商業(yè)計算，與航海、制圖需要的是不同的數(shù)學(xué)。

《算法統(tǒng)宗》出版的時候，傳教士利瑪竇已經(jīng)在中國活動整整十年了。很快，西洋的新數(shù)學(xué)與天文歷法一起傳入中國，引起持久的討論，成為明末清初近百年文化史的焦點，而引起這個焦點最后爆發(fā)的也是一位徽州人，他就是大名鼎鼎的楊光先（一五九七至一六六九）。

楊光先出生在徽州歙縣，他家世襲新安衛(wèi)中所副千戶。人到中年之后，楊光先遵父命將職位讓與弟弟承襲，自己到京城去做生意，很像是徽州人的常見人生軌跡。不過到北京之后，他很快轉(zhuǎn)而積極參與政治，多次以布衣身份彈劾臣僚，時間甚至跨越明清兩朝，又跟一般徽州人大不相同。

康熙三年（一六六四），楊光先上疏抨擊西教西歷，掀起康熙歷獄，是中外交流史上的里程碑事件。彈劾成功后，楊光先被任命為欽天監(jiān)監(jiān)正。他屢次辭任，理由主要是自己不具備歷算能力，所謂“止知歷理，不知歷數(shù)”，他說的“歷理”，主要是歷法背后的文化正統(tǒng)和政治秩序，換句話說，楊光先懂政治不懂業(yè)務(wù)，只紅不專。果然，他上任以后，出現(xiàn)多次工作失誤，到康熙七年（一六六八），傳教士與楊光先實測賭賽，楊光先及其下屬全敗，西人和西歷重回欽天監(jiān)。

但再不懂，楊光先也不可能對天文歷算一無所知。作為軍事世家，中國傳統(tǒng)軍事教育就包含天象、星占方面的內(nèi)容；他在徽州生活了四十來年，本身也曾從事商業(yè)，多少也有些數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。只是在需要“測天”的時候，這些可以用于“量地”的基礎(chǔ)算術(shù)既無招架之功，更乏還手之力罷了。

楊光先的失敗有一個始料未及的后果。雍正帝記錄的《圣祖仁皇帝庭訓(xùn)格言》保存了一段康熙帝的回憶：“爾等惟知朕算術(shù)之精，卻不知我學(xué)算之故。朕幼時欽天監(jiān)漢官與西洋人不睦，互相參劾，幾至大辟。楊光先、湯若望于午門外九卿前當(dāng)面賭測日影，奈九卿中無一知其法者。朕思己不知，焉能斷人之是非，因自憤而學(xué)焉?！笨滴趸实垡簧臄?shù)學(xué)興趣，確實跟一個不怎么懂?dāng)?shù)學(xué)的徽州人有關(guān)系。楊光先賭賽失敗，被判處死，康熙帝寬宥他，令他罷職還鄉(xiāng)。但楊光先沒能活著回到徽州，才走到山東德州就病死在大運河上了。楊光先去世的這一年，清代最重要的數(shù)學(xué)家梅文鼎（一六三三至一七二一）已經(jīng)年近不惑，但還只是地方上一個普通的數(shù)學(xué)愛好者。

梅文鼎不是徽州人，不過他出生在徽州東鄰寧國府宣城縣南鄉(xiāng)柏枧山口坐吉村，與徽州同屬皖南，地域相鄰而文化接近。梅文鼎小時候就跟他的父親和塾師夜觀天象，后來又與兩個弟弟梅文鼐、梅文鼏一起向同鄉(xiāng)道士倪正學(xué)習(xí)天文歷算?？滴鯕v獄在北京如火如荼的時候，梅文鼎在宣城看到倪正的一本《捷田歌括》，不久自己也寫了一本《方田通法》，不用說，都是丈量土地的應(yīng)用題集。雖然也學(xué)過歷法，不過這時候梅文鼎的知識仍只限于中歷，要到康熙十四年（一六七五）去南京鄉(xiāng)試時看到回回歷法和傳教士帶來的西學(xué)書，他的測天之術(shù)才得以進展到另一層次。梅文鼎在數(shù)學(xué)史上聲名顯赫，《疇人傳》稱其為“國朝算學(xué)第一”，大概沒有爭議。他對西學(xué)的接受和發(fā)揚，也推動了清代以西法測天的數(shù)學(xué)潮流。

一七二一年梅文鼎去世。三年以后，戴震（一七二四至一七七七）出生在徽州休寧縣隆阜村。他出身徽商家庭，少年時也曾一樣出門學(xué)徒。戴震的治學(xué)先從數(shù)學(xué)開始，第一部作品名為《籌算》，作于二十二歲，后來改題為《策算》?；I算、策算都是用算籌來計算，是一部算學(xué)書。

二十六歲時，戴震寫了一封《與是仲明論學(xué)書》，堪稱他一生為學(xué)綱領(lǐng)，其中提到研究經(jīng)典的難處及入手途徑，第一條就是“誦堯典數(shù)行至‘乃命羲和，不知恒星七政所以運行，則掩卷不能卒業(yè)”，最后一條又提到“中土測天用勾股，今西人易名三角八線”云云，兩處跟數(shù)學(xué)有關(guān)的學(xué)術(shù)理想都是測天。一七七三年，戴震入四庫館，負責(zé)分校算經(jīng)諸書。戴震入京時，衣服行李都未帶齊，僅僅“挾策入都”，這里的“策”可能說的就是算籌。關(guān)于戴震的算學(xué)成就，我們只需舉出《疇人傳》的說法就可見一斑：“蓋自有戴氏，天下學(xué)者乃不敢輕言算數(shù)，而其道始尊?！?/p>

戴震的數(shù)學(xué)最早是從江永（一六八一至一七六二）那兒學(xué)的。江永是婺源人，今天劃歸江西，明清一直屬于徽州。江永的數(shù)學(xué)則來自梅文鼎，他最重要的數(shù)學(xué)著作就題作《翼梅》，意為梅文鼎之羽翼。在江永門下，除了戴震之外，金榜、程瑤田等人都有歷算著作傳世。錢穆《近三百年學(xué)術(shù)史》講到梅文鼎、江永、戴震等人，說“當(dāng)時徽、宣之間，好治天算格致之學(xué)，其來已舊”，說的就是徽州、宣城的這批關(guān)注天文的數(shù)學(xué)家。

三

“測天”的興趣一旦傳開，就不是“量地”的數(shù)學(xué)所能限制的了。江永、戴震以后，徽州的數(shù)學(xué)家們熱心討論的，就都成了天文歷算問題。

一七九八年，戴震去世已經(jīng)二十年。這一年秋天，徽州歙縣瞻淇村的汪萊（一七六八至一八一三）去南京參加鄉(xiāng)試，結(jié)果沒考中，回來以后心情郁悶。他的同鄉(xiāng)好友巴樹谷為了開解他，出了一道數(shù)學(xué)題給他，汪萊一時沒做出來。第二年秋天，巴樹谷次子夭折，內(nèi)心苦痛，汪萊想要安慰朋友，想起還有一道題，就花三千字篇幅演算了出來，希望能轉(zhuǎn)移一下朋友的注意力。這道題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，如果用今天的數(shù)學(xué)語言翻譯出來，就是：假設(shè)已知一個角度的正弦，問如何求得這一角度五分之一角的正弦。

汪萊后來著成《衡齋算學(xué)》七卷，這道題的解法成為這部書的第三卷，卷首的小序交待了上面的這段情誼。與此相類，《衡齋算學(xué)》每卷都有一段小序，每段小序背后都有一段故事。

第一卷小序說，丙辰（嘉慶元年，一七九六）仲冬，巴樹谷請他推求“黃赤之交變，尋弧角之比例”，黃道和赤道的角度問題是天文歷算的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)上屬于球面三角學(xué)。他試了多種方法，左試右試不得要領(lǐng)，最后放棄成法，另辟蹊徑，才得以“通法定例”，尋出解法。巴樹谷一見，“為之鼓掌”。

第二卷跟另一位歙縣同鄉(xiāng)江玉有關(guān)。小序說，汪萊初識江玉時，江玉就給他出了一道“以勾弦和與中容求諸數(shù)”的題目，是勾股面積方面的問題。這類題目梅瑴成、丁維烈已經(jīng)提出過兩種解法，汪萊認為他們算的都不對，但當(dāng)時他“思緒不來”，被江玉大大鄙視了一番。直到嘉慶三年（一七九八）春天的一個雨夜，他與巴樹谷再次參詳，才想到解法。剛好隔日江玉來，看到汪萊的演算，大家相視而笑。

第四卷接續(xù)第一卷的主題，繼續(xù)探討球面三角。小序說，“算師”總在研究算學(xué)，以防被弟子帶來的難題給難住。嘉慶四年（一七九九）夏天，汪萊的同族汪應(yīng)鏞出游，想要帶幾道難題去找“算博士”踢館，來找汪萊幫忙。汪萊覺得，最難的數(shù)學(xué)就是球面三角，“窮形固難，設(shè)形亦難，稍不經(jīng)意，動乖其方”，就把他在這一領(lǐng)域的心得寫成一卷，加上以前寫過的《遞兼數(shù)理》，交給汪應(yīng)鏞去“廣贈算師”。

嘉慶六年，汪萊到揚州，在翰林秦恩復(fù)家中教館。在揚州，他與當(dāng)?shù)貙W(xué)者江藩、焦循等人過從甚密，前后兩月。臨別之際，他與江藩探討數(shù)學(xué)，內(nèi)容后來成為《衡齋算學(xué)》第五卷，專論方程式的根是否“可知”的問題（所謂“可知”，指的是方程有一正根；“不可知”，指的是無正根或有一個以上正根）。

離開揚州之后，汪萊前往湖南，作南岳之游。途中遇到連陰雨，三晝夜不能上路，他只能做題排解寂寞。題目延續(xù)第三冊的思路，改求三分之一角的正弦。與他同行的有一位同族本家，一位仆人和他的兒子，車夫二人；一同躲雨的，還有“說因果一人、弄幻術(shù)三人、女媒一人、車夫二人”，這幾位“或歌或嘆、如夢如癡”，汪萊思念起朋友巴樹谷，他也在想我嗎？做朋友給出的數(shù)學(xué)題，是他思念朋友的方式。這是第六卷。

與汪萊關(guān)系最密切的巴樹谷，是歙縣漁梁人，金石學(xué)家、篆刻家巴慰祖之子，道光《歙縣志》說他書畫有父風(fēng)、兼通音律，有些印學(xué)著作會提到他的名字。一見面就給汪萊出難題的江玉，地方志只說他做過溧水教諭，事跡一字不存。拿著球面三角的題目到處踢館的汪應(yīng)鏞倒是在《歙縣志》里有一篇小傳，內(nèi)容是他出任四川瀘州州判時，如何糾正當(dāng)?shù)赝了镜馁栽街e云云，其中不但沒有數(shù)學(xué)，連相關(guān)的天文歷算或音律也一概沒有。但這些人最為關(guān)心的三角學(xué)問題，也是測天所必備的數(shù)學(xué)知識。

四

因為商業(yè)的緣故，徽州人的足跡遍及大半中國，尤其是新安江到大運河南段，即徽州—杭州—蘇州—揚州一線，既是明清時期的商業(yè)中心地帶，也是徽州人分布最為集中的區(qū)域。出身徽州的數(shù)學(xué)家在這些地方的活動很多，這些地方的數(shù)學(xué)家也多與徽州人有關(guān)。即如汪萊，《衡齋算學(xué)》中相當(dāng)部分都源自他在揚州的交往。汪萊還和李銳（一七六九至一八一七）、焦循（一七六三至一八二0）被稱為“談天三友”，另外兩位中，焦循是揚州人，因為年幼時在經(jīng)學(xué)老師的家里見到梅文鼎的著作，從此習(xí)算，他的幾種數(shù)學(xué)書合刊為《里堂學(xué)算記》。李銳是蘇州人，小時候在學(xué)塾中偶然翻出《算法統(tǒng)宗》，因而燃起數(shù)學(xué)興趣，日后他除了個人的學(xué)術(shù)建樹之外，還參與了《疇人傳》的編纂。

在揚州， 汪萊住在翰林秦恩復(fù)家中。秦恩復(fù)的外甥羅士琳（一七八三至一八五三）本是徽州歙縣人，長居揚州，這時得以從學(xué)于汪萊，轉(zhuǎn)向天文歷算之學(xué)，后來他還編了《續(xù)疇人傳》六卷。汪萊在揚州還與另一位歙縣人鄭復(fù)光（一七八0至？）多有往還，鄭復(fù)光同樣熱衷于演習(xí)天算，后來致力于光學(xué)，著成光學(xué)著作《鏡鏡詅癡》，還制出了中國第一臺天文望遠鏡。

自大歷史的眼光來看，前面提到的人物都各有標(biāo)簽。但從徽州地方社會的角度視之，他們都生活在一個商業(yè)氣息濃厚的地方，都與徽商有密切的聯(lián)系，甚至不少人本身就是徽商，在噼里啪啦的算盤聲中，逐漸升騰起色彩多樣的數(shù)學(xué)夢想。在他們或深或淺的數(shù)學(xué)人生中，有率真純粹的一面，也都背負了額外的期待。

以楊光先為界，徽州的數(shù)學(xué)世界呈現(xiàn)出兩種不同的面貌。楊光先之前，是程大位的時代，以本土流傳的實用數(shù)學(xué)為主，平面面積、簡單方程應(yīng)用最多；梅文鼎之后，是江永、戴震、汪萊們的時代，受到西學(xué)強烈影響，重在天文歷算，三角函數(shù)是最受關(guān)注的內(nèi)容。楊光先之前，數(shù)學(xué)頭腦們背負的使命是實用計算，應(yīng)用的領(lǐng)域首先是行政管理，然后是商業(yè)。楊光先之后，因為新的天文歷算挑戰(zhàn)了中國傳統(tǒng)的宇宙觀假設(shè)，困擾數(shù)學(xué)家們的問題也隨之升級了。

梅文鼎、戴震出于不同的理由，都傾向于證明數(shù)學(xué)和歷算領(lǐng)域的“西學(xué)中源”，曾廣受現(xiàn)代學(xué)者的議論。汪萊也表達過他的困惑：雖然黃赤道交變的數(shù)學(xué)問題解決了，但“仰觀星宿，推步盈虛，歷數(shù)算計，皆所不應(yīng)”，計算結(jié)果跟觀測結(jié)果無法對應(yīng)，汪萊對此十分不解，其根源大概就在于他仍相信傳統(tǒng)的宇宙模型，當(dāng)然就和數(shù)學(xué)計算的結(jié)果不能相容。

今年是戴震誕生三百周年。幾個月前我到徽州拜謁戴震墓，發(fā)現(xiàn)從戴震故居（今屬黃山市屯溪區(qū)）到程大位故居（同屬屯溪區(qū)，這里今天建了一座珠算博物館），車程十幾分鐘而已；再到汪萊的歙縣瞻淇村，車程半個小時。從瞻淇村向西十來分鐘，可到巴樹谷的家，今天以他更著名的父親命名為巴慰祖故居。其他如楊光先、江玉、汪應(yīng)鏞、鄭復(fù)光等，無論是否還有故居可以指認，總歸都住在一個較小的地理范圍之內(nèi)。區(qū)區(qū)百里之內(nèi)的一個區(qū)域，見證過數(shù)學(xué)史的輝煌、數(shù)學(xué)家們的情誼，也隱藏了數(shù)學(xué)發(fā)展道路上的不能承受之重。