高中數(shù)學(xué)可視化教學(xué)的分析與實(shí)踐路徑

孔棟 郭清

隨著科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展，高中數(shù)學(xué)教學(xué)迎來(lái)了新的發(fā)展機(jī)遇，也面臨了新的挑戰(zhàn)。可視化教學(xué)作為一種具有創(chuàng)新性與科學(xué)性的教學(xué)方法，解決了高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)所存在的問題，直擊當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)“難教”亦“難學(xué)”的痛點(diǎn)，改變了“一支粉筆、一塊黑板、一張嘴”的傳統(tǒng)教學(xué)模式。高中數(shù)學(xué)是很多學(xué)生所面臨的難題，這是因?yàn)檫@一階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的抽象性與復(fù)雜性有所增強(qiáng)，高度的抽象概括性讓學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中無(wú)法意會(huì)，教師更是難以通過高效的方式進(jìn)行言傳。在此背景下，可視化教學(xué)方法脫穎而出，為各位教育工作者解決了一大難題，致力于攻破抽象概括性為學(xué)生帶來(lái)的學(xué)習(xí)困境，建立起“可見形式”與“抽象形式”之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)頗具關(guān)聯(lián)性，也讓數(shù)學(xué)教學(xué)的操作更為簡(jiǎn)單具體。

一、何為數(shù)學(xué)可視化教學(xué)

數(shù)學(xué)可視化教學(xué)，是指教師在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中利用信息技術(shù)、多媒體技術(shù)的支持，通過圖形、動(dòng)畫等可以清晰呈現(xiàn)且讓學(xué)生“看得見”的表征形式，將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中抽象的概念原理、結(jié)構(gòu)關(guān)系、思維方法等進(jìn)行表示，致力于在學(xué)生頭腦中發(fā)揮信息技術(shù)優(yōu)勢(shì)，構(gòu)建出思維圖像或者視覺幫助，從而幫助學(xué)生加深思考與理解，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與探索起到了不可忽視的激勵(lì)性作用。數(shù)學(xué)可視化教學(xué)，其實(shí)也如同數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中數(shù)據(jù)與可洞察表達(dá)之間的一種映射。例如：對(duì)于“? +? +? +……+? ? +? =1-? ”而言，教師在教學(xué)活動(dòng)中，雖然可以用錯(cuò)位相減法或等比數(shù)列求和進(jìn)行說明，但依然容易讓部分學(xué)生產(chǎn)生思維上的困擾，因此，教師不妨用圖象予以呈現(xiàn)，為學(xué)生搭建起可供攀爬的學(xué)習(xí)支架，那么學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)便可以在視覺表征手段下更為輕松容易。

二、高中數(shù)學(xué)可視化教學(xué)設(shè)計(jì)所應(yīng)當(dāng)遵循的原則

（一）目的性原則

任何學(xué)科的教學(xué)活動(dòng)都要堅(jiān)持將教學(xué)目標(biāo)作為指導(dǎo)。在新課程改革的大背景下，新課程標(biāo)準(zhǔn)就是教師制定教學(xué)活動(dòng)的風(fēng)向標(biāo)。因此，在可視化教學(xué)中，教師在選擇可視化工具時(shí)需要遵循目的性原則。具體而言，可視化工具的選擇應(yīng)該為了教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)而服務(wù)，教師要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)進(jìn)行選擇。為實(shí)現(xiàn)這一成果，教師需要提高自身的教學(xué)水平，對(duì)可視化工具進(jìn)行熟練掌握。只有這樣，才能夠在可視化工具的選擇與應(yīng)用方面更具目的性。

（二）主體性原則

在高中數(shù)學(xué)可視化教學(xué)中，教師要遵循主體性原則。主體性原則要求教師保障學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的主體地位，自身發(fā)揮主要作用。具體而言，教師要讓學(xué)生“會(huì)學(xué)習(xí)”，在強(qiáng)調(diào)知識(shí)落實(shí)時(shí)更注重學(xué)生的思維培養(yǎng)?？梢暬虒W(xué)方式對(duì)教學(xué)活動(dòng)有較為突出明顯的輔助作用，然而教師在使用過程中需要充分考慮主體性原則，避免可視化工具影響學(xué)生的思維發(fā)展。舉例而言，一些教師在單元總結(jié)中會(huì)將已經(jīng)繪制成型的知識(shí)框架呈現(xiàn)給學(xué)生，學(xué)生在這個(gè)過程中就沒有思考與總結(jié)的機(jī)會(huì)，而是被動(dòng)接受所學(xué)知識(shí)，思維能力難以得到有效的發(fā)展與提升，違背了主體性原則。

三、高中數(shù)學(xué)可視化教學(xué)的實(shí)踐路徑探究

（一）在概念生成中開展可視化教學(xué)

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維構(gòu)建的重要基石，學(xué)生對(duì)核心概念的認(rèn)識(shí)與理解程度更是對(duì)教學(xué)成效有著不可忽視的重要影響。概念生成是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，然而由于學(xué)生對(duì)于其中的很多內(nèi)容并不能快速理解，而容易造成學(xué)習(xí)的困難與效率的低下。例如：雙曲線、曲線方程、橢圓等知識(shí)點(diǎn)對(duì)于學(xué)生而言都較為陌生，且這些知識(shí)點(diǎn)之間存在著內(nèi)部聯(lián)系，在題目中多以綜合形式予以呈現(xiàn)，一旦學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解不到位，學(xué)習(xí)中所存在的問題便很有可能會(huì)像滾雪球一樣越堆積越多，直至無(wú)法解決。不僅如此，如果學(xué)生在學(xué)習(xí)曲線時(shí)對(duì)其幾何概念理解不透徹，對(duì)雙曲線對(duì)稱結(jié)構(gòu)存在認(rèn)知偏差，無(wú)法將拋物線定點(diǎn)觀察到位，那么在列出曲線方程時(shí)也會(huì)很容易因?yàn)檫@些問題而造成錯(cuò)誤，這些問題都是教師在教學(xué)活動(dòng)中需要解決的問題。數(shù)學(xué)概念具有多種表征方式，表征方式的不同將導(dǎo)致思維方式的不同。因此，在概念生成的過程中，教師要通過概念多元表征推動(dòng)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行多方面理解與思考，并且在不同表征之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換，從而加強(qiáng)學(xué)生對(duì)所學(xué)概念的聯(lián)系性認(rèn)識(shí)，真正建立起不同表征之間的廣泛聯(lián)系。

以“三角函數(shù)”的教學(xué)為例。在畫出三角函數(shù)的圖象之后，教師可以通過輸入?yún)⒘康牡缺壤龜U(kuò)大與縮小，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)坐標(biāo)系內(nèi)參量變化后圖形變化規(guī)律進(jìn)行思考，讓學(xué)生通過觀察圖形變化提高對(duì)三角函數(shù)的認(rèn)知與理解。在此基礎(chǔ)上，教師可以引導(dǎo)學(xué)生自行動(dòng)手繪制出三角函數(shù)的表達(dá)式與圖形，加強(qiáng)對(duì)抽象知識(shí)的直觀理解與體會(huì)。

（二）在命題發(fā)現(xiàn)中推動(dòng)可視化教學(xué)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開命題發(fā)現(xiàn)。所謂數(shù)學(xué)命題，是指對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象性質(zhì)或關(guān)系的判斷語(yǔ)句，具有“條件—結(jié)論”模式的語(yǔ)言特點(diǎn)，我們可以將其視作刻畫數(shù)學(xué)對(duì)象的方法。在命題發(fā)現(xiàn)中推動(dòng)可視化教學(xué)，有助于打破當(dāng)前教學(xué)活動(dòng)中“只見樹木，不見森林”的現(xiàn)狀，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)的“前世今生”、來(lái)龍去脈，關(guān)注數(shù)學(xué)思想發(fā)展的全過程。值得注意的是，教師需要明確命題的學(xué)習(xí)過程，要求學(xué)生立足于命題的邏輯意義，通過分析與思考加強(qiáng)個(gè)性理解。

以“計(jì)算曲邊梯形面積”這一教學(xué)內(nèi)容為例，這部分內(nèi)容需要運(yùn)用以直代曲的數(shù)學(xué)方法，發(fā)揮無(wú)限逼近的數(shù)學(xué)思想，如果教師僅憑口頭講述，那么學(xué)生便很難理解，教學(xué)成果也難以理想化?；诖耍處煴憧梢岳肎eoGebra軟件對(duì)教學(xué)活動(dòng)進(jìn)行輔助，將曲邊梯形無(wú)限分割成為若干個(gè)小矩形的方式進(jìn)行動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)，讓學(xué)生能夠通過觀察，在分析與思考中體會(huì)無(wú)限逼近的數(shù)學(xué)思想，最終加強(qiáng)對(duì)這部分內(nèi)容的思考與理解。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)既能夠?yàn)閷W(xué)生還原曲邊梯形面積公式的由來(lái)過程，又能夠培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維，提高學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)。

（三）在問題解決中實(shí)施可視化教學(xué)

數(shù)學(xué)問題解決是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的核心，要求教師在具體情境中抽象問題，通過師生互動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生解決問題。在這個(gè)過程中，學(xué)生要運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，進(jìn)行不斷的思考與探究，這無(wú)疑提高了學(xué)生分析問題、解決問題的能力，讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)完整的學(xué)習(xí)過程。當(dāng)前，很多學(xué)生覺得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難度較大，其實(shí)本質(zhì)原因是因?yàn)閷W(xué)生雖然掌握了相應(yīng)的知識(shí)，但是還是難以獨(dú)立地調(diào)用這些知識(shí)解決實(shí)際問題，因此學(xué)生與問題解決還如同隔了一條深不見底的鴻溝，可視化教學(xué)方式就是幫助學(xué)生突破鴻溝的橋梁，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了清晰明了的思維通道，引導(dǎo)學(xué)生真正將所學(xué)知識(shí)內(nèi)化于心，并且在實(shí)踐生活中靈活應(yīng)用。

當(dāng)前，數(shù)學(xué)問題解決課程的流程基本如下：首先，教師創(chuàng)設(shè)情境，提出問題。其次，學(xué)生通過教師的引導(dǎo)與幫助以及自主探究、合作交流等路徑實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題解決，再次生成反饋評(píng)價(jià)，最后在變式拓展與實(shí)際應(yīng)用中實(shí)現(xiàn)總結(jié)反饋。在這個(gè)過程中，數(shù)學(xué)可視化教學(xué)方式的應(yīng)用如下：首先，在情境呈現(xiàn)上，教師可以利用可視化工具向?qū)W生展現(xiàn)具體的問題情境，為學(xué)生提供良好的問題解決環(huán)境。其次，在解決問題的過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生借助思維導(dǎo)圖分析已知條件，進(jìn)行思維發(fā)散；用概念圖梳理知識(shí)結(jié)構(gòu)，收集整理可以用來(lái)解決該問題的具體知識(shí)；用流程圖將解決問題的步驟進(jìn)行羅列。在這個(gè)過程中，教師可以利用以GeoGebra為代表的可視化工具來(lái)輔助學(xué)生利用多元表征解決問題，讓學(xué)生的解決問題的思維與知識(shí)框架得以外顯，幫助教師及時(shí)掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，調(diào)整教學(xué)方式。最后，教師可以利用圖表工具和學(xué)生一起總結(jié)典型題目，整理出通用方法。在這個(gè)過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、探究能力都能夠得到顯著提高，教師的教學(xué)效率與水平也能不斷提升。

注：本文系淄博市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2023年度一般課題“基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)可視化教學(xué)實(shí)踐研究”（課題編號(hào)：2023ZJY018）的研究成果。

（徐德明）