深度學習理念下高中數學課例評析

文/廣東省吳和貴名教師工作室 廣州市番禺區(qū)石北中學 姜寶松

深度學習強調課堂教學要面向學生的認知， 其重要特征是聯(lián)想與結構、活動與體驗、本質與變式、遷移與應用。 抓住數學內容內在聯(lián)系和本質，凸顯問題研究過程，促進學生思維進階， 從而引導學生實現深度學習。 本文以《平面與平面垂直》公開課為例， 闡述深度學習理念的應用。

一、從現實進入數學

師： 我們知道兩個平面的位置關系：平行和相交（課件給出圖形）。兩個平面平行的判定和性質都已經學習。 今天讓我們一起來探究兩個平面相交的情形。 現實生活中，堤壩側面和水平面， 打開的筆記本電腦等，都呈現出兩個平面相交的情況， 并且都給我們有角度的感覺。數學家把兩個平面相交所成角的情形，抽象出來，定義為二面角。

點評：由兩個平面的位置關系，開門見山引出平面與平面的相交情形。 通過現實生活中三個情形，引入二面角的概念。 在深度學習理念下，復演知識的發(fā)生歷程，學生通過數學觀察和抽象， 體會從現實抽象到數學知識的歷程， 在定義的學習中培養(yǎng)空間想象能力。

二、由舊識類比新知

師：既然二面角是一個角，如何度量它的大??？ 之前我們學過哪些角？

生：平面上的角，異面直線所成角，直線與平面所成角。

師： 平面的角可以直接度量大小。 異面直線所成角，如何定義？

生：通過平移，變成相交的直線。

生：變成相交的直線，所成的銳角或直角。

師：非常好！直線與平面所成角呢？

生：找到射影，直線與射影所成角即為線面角。

師：不錯。異面直線所成角和直線與平面所成角的定義中， 我們發(fā)現，空間的角是通過“平面化”，轉化為平面角來定義的。 那么二面角如何“平面化”……

點評：通過問題串設置，梳理已經學習的角。溫故知新，類比所學的角，建立起二面角的平面角概念，從而使各種角的概念結構化， 構建了關于空間角的知識體系。 空間角的定義其本質是進行“平面化”，學生在此過程中體會到解決空間問題的降維思想。 給出二面角的平面角定義后，教師與學生一起探究、辨析定義的合理性， 學生在構建新概念的同時，培養(yǎng)學生批判性思維?；氐浆F實環(huán)節(jié)， 在打開的證書中尋找二面角的平面角，學生“即學即用”，建立起實際生活與數學的橋梁， 學生再次體會到定義的合理性。

三、用問題深化理解

例1：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求二面角D1-AB-D 的大??？

分析引導，棱是？ 觀察圖形中，二面角的平面角是？接著練習，展示學生解答情況，請學生講解。

師： 總結作出二面角的平面角的方法， 在棱上一點作出兩條與棱垂直的直線； 如果已知一個面的垂線，作一條，連一條；作棱的垂面。

點評：二面角的平面角，其本質是棱的一個垂面與兩個半平面的交線所成的角， 是空間的角降維到平面上。 其作圖和證明過程是完成線面垂直關系的論證， 體現數學的轉化思想。 求解二面角的平面角是一個難點， 利用幾何法解決時， 常用“猜想—證明—求解”的思路，這也是我們探究和解決數學問題的常用路徑。

四、巧探究啟發(fā)思維

師： 根據對二面角的平面角的學習，二面角的取值范圍是？ （展示打開的證書）

生：0°～180°。

師：0°是什么情形？

生：兩個半平面重合。

師：180°是什么情形？

生：一個平面。

師：二面角的取值范圍是閉區(qū)間，在此過程中，有一個特殊情況，90°。 按兩個平面互相垂直的定義，要先作出二面角的平面角，證明是直角。 能否簡化？ 類比在證明兩個平面平行時，（指向天花板和地面）， 我們是利用一個平面內有兩條交線平行另一個平面。 證明兩個平面垂直，能否一樣轉化為線面關系呢？

探究活動1： 每個同學拿出一支筆與桌面成垂直狀態(tài)， 拿書本完全貼近筆， 書本與桌面什么位置關系？旋轉（左右）書本，兩個平面是什么位置關系？

探究活動2： 建筑工人在檢查砌墻是否與地面垂直時， 用鉛垂線靠近墻面。

點評： 在二面角的平面角習題中， 平面與平面垂直判定定理的探究與證明中， 研究數學空間問題的思路不斷重現， 學生不斷體會由猜想到證明的研究問題路徑， 充分體會到數學的轉化思想， 學生的思維得到進階發(fā)展， 體現出了深度學習的理念。

五、精應用掌握原理

例2：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：平面BDA1⊥平面ACC1A1。

例3：AB 是圓O 的直徑，PA 垂直圓O 所在的平面，C 點是圓周上不同于A、B 的一點， 求證： 平面PAC⊥平面PBC。

……

點評：例題由學生自主完成，通過復雜問題的解決， 提高學生空間想象和推理論證能力。 平面與平面的垂直，抓住線面垂直的關鍵，學生體會到問題解決中轉化的思想。 從知識遷移到應用， 學生體會到數學的嚴謹性，從猜想到證明，體悟到解決數學問題的一般方法。 在現實場景中尋找平面與平面的垂直關系，學生用數學的眼光去觀察世界，體驗到數學在現實生活中的實際應用和存在。

六、妙總結提升感悟

師： 本節(jié)課我們的定理和問題解決，都是通過觀察、猜想、證明來完成的。 這也是我們研究數學問題的常用路徑。再觀察我們的教室，是不是很多面面垂直關系？ 有沒有一種透過現象看到本質的感覺？ 這就是數學的魅力！

點評：通過總結，梳理本節(jié)課主要所學知識， 對知識和方法進行反思構建，更好地形成學科知識體系。本課所涉及的降維思想、類比思想、轉化思想是數學中常見的思想，教師的補充，讓學生在經驗上明悟，在學科思想上升華。觀察、探究、猜想、證明這是數學學科和人類科學發(fā)展史上常用的方法， 在本節(jié)課從始至終得到連續(xù)體現， 讓深度教學的思想得到完美詮釋。

七、結語

課堂教學的巧妙設計， 引發(fā)學生進行主動學習，學生在問題驅動、活動與檢驗中進入到深度學習，從而對知識進行自主建構和思維進階。 課堂中充分培養(yǎng)了高中數學的關鍵能力， 落實了直觀想象和邏輯推理的素養(yǎng)提升， 學生經歷了數學內部的邏輯發(fā)展， 經歷了數學到現實的外部拓展， 貫徹了新課標中對學科育人目標， 詮釋了新課標中的學科育人價值。