例談同構(gòu)法在指對(duì)混合式問題中的應(yīng)用

黃梅娟

在解決不等式恒成立或能成立問題時(shí)，我們常常根據(jù)不等式的特征將其左側(cè)和右側(cè)變成結(jié)構(gòu)一致，再通過構(gòu)造函數(shù)，利用所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，簡(jiǎn)化運(yùn)算和降低難度，此方法稱為同構(gòu)法. 本文通過實(shí)例分析，利用同構(gòu)法處理等式問題或不等式恒成立問題.

例1 （2020年全國Ⅰ卷理12題）若2a+log2a=4b+2log4b，則（）.

A. a>2b B. a<2b C. a>b2 D. a>b2

析解：本題是選擇題壓軸題，試題涉及指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、不等式.對(duì)學(xué)生的要求較高，但學(xué)生如果能對(duì)等式兩側(cè)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)加以分析，再利用函數(shù)的性質(zhì)，能得到正確答案.構(gòu)造函數(shù)f（x）=2x+logx2，顯然y=f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增.又2a+loga2=4b+2logb4=22b+logb2<22b+log2b2，所以f（a）

例2 （2021年湖北孝感期末）若x0為函數(shù)f（x）=e2lnx+x－2+lnx－2的一個(gè)零點(diǎn)，則e2－x0+lnx0的值為.

析解：由于x0為函數(shù)y=f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，因此e2lnx0+x0－2=2－lnx0.這是一個(gè)超越方程，直接求x0是求不出來的，但分析等式兩邊的結(jié)構(gòu)特征，通過整體代換的思想，也能解決此問題. 顯然有2－lnx0>0，因此等式可以化為2lnx0+x0－2=ln（2－lnx0），進(jìn)一步可以化為lnx0+x0=ln（2－lnx0）+（2－lnx0）. 很顯然，等號(hào)左右兩側(cè)具有相同的結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)g（x）=lnx+x，因此有g(shù)（x0）=g（2－lnx0），又因?yàn)閥=g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，所以x0=2－lnx0，因此e2－x0+lnx0=x0+2－x0=2.

評(píng)注：一般地，對(duì)于aea≥blnb型指對(duì)共存，其同構(gòu)方式有三種形式：

例5 （2020年新高考全國I卷）若aex－1－lnx+lna≥1對(duì)x>0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

析解：本題是利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，一般方法是將參數(shù)看著常數(shù)直接構(gòu)造函數(shù)，常用分類討論思想，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，從而得出參數(shù)的取值范圍.

對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)較高，有一定的難度.但如果能將不等式結(jié)構(gòu)看清楚，運(yùn)用同構(gòu)的思想，能很快解決此問題. 由于aex－1=elna+x－1，因此對(duì)x>0，aex－1－lnx+lna≥1恒成立等價(jià)于ex+lna－1+x+lna－1≥lnx+x，可得ex+lna－1+（x+lna－1）≥lnx+elnx. 構(gòu)造函數(shù)g（x）=ex+x，很顯然y=g（x）單調(diào)增加，且g（lna+x－1）≥g（lnx），因此lna+x－1≥lnx，分離參數(shù)lna≥lnx－x+1，再次構(gòu)造函數(shù)φ（x）=lnx－x+1，很容易求得φ（x）的最大值為0，因此實(shí)數(shù)a的取值范圍為［1，+∞）.

評(píng)注：一般地，對(duì)于ea+a≥b+lnb型指對(duì)共存，同構(gòu)方式有兩種形式：

（1）左同構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)f（x）=ex+x；

（2）右同構(gòu)ea+lnea≥b+lnb，構(gòu)造函數(shù)f（x）=lnx+x.

A. a=bB. abD.a，b的大小關(guān)系不能確定

析解：本題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值問題，如將

通過以上實(shí)例可見，適當(dāng)?shù)姆趴s能減少很多計(jì)算量，指對(duì)共存的函數(shù)關(guān)系中如果用同構(gòu)思想和切線不等聯(lián)合能起到很好的效果，解決此類問題首先需要運(yùn)用兩個(gè)恒等式a=lnea和a=elna局部變形，然后利用ex≥x+1和ln（x+1）

參考文獻(xiàn)

［1］ 孫 平.例談指對(duì)數(shù)混合式問題的同構(gòu)解法［J］，中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師大）， 2022，11，27-28.

［2］ 李軍民.同構(gòu)法——數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)分析的視角［J］，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2022，05，56-57.