一題多解 探究推廣 題目溯源

解析幾何中的定點定值定線問題，以其呈現(xiàn)形式多樣，理論背景深刻，解題思路靈活而深受命題人、解題人及其研究者喜歡. 此類題目對培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力、運算求解能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)建模能力和創(chuàng)新能力有突出價值.教學(xué)中此類題有注重羅列解法，忽視背景整合；注重機械刷題，忽視高考真題與教材等現(xiàn)象.本文以一個模擬題為例談對這類題目的一題多解、探究推廣、題目溯源，供參考.

1.題目呈現(xiàn)

⑴求曲線C的方程；

⑵設(shè)不同于頂點的M，N在雙曲線右支上，直線AM，BN在y軸上的截距比為1：3.試問直線MN是否過定點，若是，求出坐標(biāo)；若不是，說出理由.

2.解法探究

此結(jié)構(gòu)不具有韋達定理對稱形式，下面給出解決方法.

此為對稱形式韋達定理，后續(xù)略.

3. 探究推廣

教師在教學(xué)中，不能就題講題，更應(yīng)該做完題后，“品嘗”題目.新高考評價體系要求“設(shè)置新穎的試題呈現(xiàn)方式，促使學(xué)生主動思考，發(fā)現(xiàn)新問題、找到新規(guī)律、得出新結(jié)論”［1］，基于此，做完此題，不難有以下“品嘗”.

（1）任意雙曲線中，比值為常數(shù)，直線MN是否過定點？

（2）任意橢圓中， 比值為常數(shù)，直線MN是否過定點？

（3）反之直線MN過定點，截距比值是否為定值呢？

下面把題目參數(shù)一般化，研究雙曲線更一般的情況.

4.題目溯源

題目深刻背景揭示完成后，可再進行思考：見過類似題目嗎？

⑴求曲線C的方程；

⑵記C的左右頂點為A1，A2，過T（－4，0）的直線l與C 交于M，N兩點，點M在第二象限，記MA1，NA2的交點為P，證明：點P在定直線上.

在文獻［2-3］中對此高考題一般背景作了解答并有結(jié)論：

由此可知此題背景回到23年Ⅱ卷新高考21題上來，本質(zhì)背景為：

截距之比正切比斜率比定點及其定直線.題目最后甚至回歸到極點極線的理論背景.

一般地，解題教學(xué)走到這一步，學(xué)生更會重視教材，重視真題.同時經(jīng)過探究推廣，也容易編制新穎的變式題，例如：

參考文獻

［1］教育部考試中心.中國高考評價體系［M］.北京：人民教育出 版社，2019.

［2］晏炳剛，劉燕.2023年新高考全國Ⅱ卷21題的解法與溯源［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究（江西師大），2023（08）：41-44.

［3］唐洵.落花時節(jié)又逢君 多法齊出似騰云—談2023年高考新課標(biāo)Ⅱ卷第21題的深度探究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師大），2023（15）：20-23.