一類(lèi)禽流感傳染病傳播模型的動(dòng)力學(xué)分析

郭金生 薛梅

摘 要：以H7N9型禽流感為例，根據(jù)其傳播具有潛伏期，研究了一類(lèi)人-禽相互作用的H7N9型禽流感病毒的傳播。針對(duì)此類(lèi)傳染病，構(gòu)建了一類(lèi)SI-SEIR型禽流感傳染病傳播的動(dòng)力學(xué)模型，并利用該模型在人、畜環(huán)境中的多種病毒之間的相互作用，分析了無(wú)病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，對(duì)模型進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，得到基本再生數(shù)R0。通過(guò)Lyapunov穩(wěn)定性理論和LaSalle不變集原理，對(duì)模型的全局穩(wěn)定性進(jìn)行了分析，得出以下結(jié)論：當(dāng)基本再生數(shù)R0小于1時(shí)，模型的無(wú)病平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定；當(dāng)基本再生數(shù)R0大于1時(shí)，模型的地方病平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定。因此，在已經(jīng)發(fā)生了禽流感疫情的地區(qū)，捕殺禽類(lèi)和減少市場(chǎng)上禽類(lèi)的流通等措施是杜絕此類(lèi)傳染病傳播的關(guān)鍵。

關(guān)鍵詞：動(dòng)力學(xué)模型；動(dòng)力學(xué)分析；基本再生數(shù)；全局漸近穩(wěn)定

中圖分類(lèi)號(hào)：O175.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

近年來(lái)，由于全球范圍內(nèi)人口的快速增長(zhǎng)，以及自然環(huán)境變化等各種因素的共同作用，埃博拉出血熱、麻疹、瘋牛病、禽流感等傳染病的蔓延［1］，對(duì)人類(lèi)的身體造成了很大的威脅。 如何預(yù)防和控制傳染病一直都是人類(lèi)面臨的重大課題，如近年來(lái)在我國(guó)再次出現(xiàn)的H7N9型禽流感病毒。禽流感病毒與人流感病毒有著不同的特點(diǎn)，在正常情況下，它只能在禽類(lèi)中進(jìn)行傳播，通常不會(huì)傳染給人。郭樹(shù)敏等［2-3］建立了具有完全飽和治療率的數(shù)學(xué)模型，得出藥物治療在控制禽流感病毒擴(kuò)散方面是可行的，并且在限制藥物劑量的情況下，通過(guò)捕殺染病禽類(lèi)能有效控制病毒在自然界中的傳播。 本文重點(diǎn)在理論上對(duì)H7N9型禽流感傳染病模型的動(dòng)力學(xué)展開(kāi)分析和研究，并在此基礎(chǔ)上，通過(guò)構(gòu)建一類(lèi)SI-SEIR型禽流感傳染病傳播的動(dòng)力學(xué)模型，對(duì)該病毒的傳播規(guī)律、感染特性以及其擴(kuò)散方式等進(jìn)行分析。

1 模型的建立

因?yàn)榍萘鞲胁《镜闹饕獋鞑ネ緩绞峭ㄟ^(guò)染病禽類(lèi)傳播給人類(lèi)，且其潛伏期較長(zhǎng)，為了研究H7N9型禽流感的傳播規(guī)律，可以考慮構(gòu)建存在長(zhǎng)潛伏期的人-禽相互作用的禽流感傳播模型。鑒于禽類(lèi)群體相對(duì)獨(dú)立，受感染的人群不會(huì)直接對(duì)禽類(lèi)造成威脅，因此有必要優(yōu)先考慮禽類(lèi)系統(tǒng)。這里，將禽類(lèi)系統(tǒng)分為易感和感染兩類(lèi)，分別用Sn（t）和In（t）表示易感禽類(lèi)與染病禽類(lèi)在t時(shí)刻的數(shù)量，禽類(lèi)系統(tǒng)的總數(shù)量為Nn（t）=Sn（t）+In（t）。在此，對(duì)其傳播過(guò)程做如下假設(shè)：

則其對(duì)應(yīng)的SI型傳染病模型為

然后，對(duì)禽流感病毒在人群中的傳播過(guò)程進(jìn)行研究可知，H7N9型禽流感病毒主要是通過(guò)染病禽類(lèi)和人類(lèi)之間的接觸而傳播，病毒的潛伏期少于一個(gè)月。將人群分為易感人群、感染人群、潛伏人群和移除人群4類(lèi)，將Sn+1（t）、En+1（t）、In+1（t）、Rn+1（t）記為其t時(shí)刻的人口數(shù)量。記Mn+1（t）=Sn+1（t）+En+1（t）+In+1（t）+Rn+1（t）為t時(shí)刻人類(lèi)總數(shù)。假設(shè)其傳播過(guò)程為

則其對(duì)應(yīng)的SEIR染病模型為

其中，參數(shù)具體的詳細(xì)說(shuō)明如表1所示。

綜上，給出如下SI-SEIR人-禽傳染病模型

2 模型的分析

2.1 有界性

研究疾病傳播的生物學(xué)意義，假設(shè)（Sn，In，Sn+1，En+1，In+1，Rn+1）∈R6+，由模型（3）可得

且其可行域?yàn)?/p>

定理1 若（Sn（0），In（0），Sn+1（0），En+1（0），In+1（0），Rn+1（0））∈R6+成立，那么式（3）的所有解是一致有界的。

2.2 禽類(lèi)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

定義基本再生數(shù)

在R2+中，q0始終存在；當(dāng)R0>1時(shí)，q+存在。

定理2［1］ 若R0<1，則q0在R2+上是全局漸近穩(wěn)定的；若R0>1，則q+在R2+上是全局漸近穩(wěn)定的。

證明 首先考慮無(wú)病平衡點(diǎn)q0，易得式（1）的Jacobian矩陣為

則在平衡點(diǎn)q0處的Jacobian矩陣為

下面考慮全局穩(wěn)定。設(shè)Lyapunov函數(shù)為：

易知，當(dāng)R0>1時(shí)，V′>0，平衡點(diǎn)q0在R2+上是不穩(wěn)定的；當(dāng)R0<1時(shí)，V′≤0。

顯然，D1={（Sn，In）∈DV′=0}=（S0，0），可知式（1）在D上的最大不變集M只在集合D1中。從LaSalle不變性理論中可知，無(wú)病平衡點(diǎn)q0在R2+上是全局漸近穩(wěn)定的，并且M=（S0，0）。

下面考慮地方病平衡點(diǎn)q+。如果R0>1，則地方病平衡點(diǎn)q+在R2+上存在。又式（1）在平衡點(diǎn)q+的Jacobian矩陣為

可知Jacobian矩陣Jq+的特征方程為

因而，式（1）不存在周期解，由定理1知正平衡點(diǎn)q+在R2+上是全局吸引的，故禽類(lèi)系統(tǒng)的正平衡點(diǎn)q+在R2+上是全局漸近穩(wěn)定的。

2.3 平衡點(diǎn)的存在性及穩(wěn)定性分析

設(shè)平衡點(diǎn)為

令Sn（t）=0，In（t）=0，A（t）=0。

計(jì)算關(guān)于平衡點(diǎn)（S*n，I*n，A*）的Jacobian矩陣為

平衡點(diǎn)E*1的穩(wěn)定性是由E*1點(diǎn)Jacobian矩陣的特征根確定的，所以若特征根中都存在負(fù)實(shí)部，則無(wú)病平衡點(diǎn)E*1是局部漸近穩(wěn)定的。

引理1［4］ 當(dāng)R0<1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)E*1是局部漸近穩(wěn)定的；當(dāng)R0>1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)E*1是不穩(wěn)定的。

定理3［5］ 當(dāng)R0<1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)E*1是全局漸近穩(wěn)定的。

2.4 禽類(lèi)-人類(lèi)系統(tǒng)分析

定理4［1］ 若R0<1，則p0是局部漸近穩(wěn)定的；若R0>1，則p0是不穩(wěn)定的，但p+是局部漸近穩(wěn)定的。

定理5 若R0<1，式（3）的無(wú)病平衡點(diǎn)p0是全局漸近穩(wěn)定的。

證明 當(dāng)R0<1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)p0是局部漸近穩(wěn)定的，且

由定理2，結(jié)合極限系統(tǒng)理論［6］，知

即（3）是全局吸引的。故在R0<1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)p0在D0上是全局漸近穩(wěn)定的。

下面討論式（3）地方病平衡點(diǎn)p+的全局穩(wěn)定性問(wèn)題。

引理2［5］ 設(shè)（A1）χ是Rn+的一個(gè)緊子集，（A2）S是χ的一個(gè)緊子集。如果存在P∈C1（χP∈

C1（χ→Rn+），使得

（1） P（x）=0，x∈S；

（2） P′（x）>0，x∈S。

則充分大的T和常數(shù)k>0，使得對(duì)任意的0χ＼S和t≥T，存在P（x）>k的一個(gè)緊子集。

定理6 若R0>1，則式（3）是永久存在的。

證明 由定理1和定理4可知，存在T*，當(dāng)t>T*時(shí)，存在kSn ，kIn ，KSn ，KIn，k及K，使Sn≥kSn，In≥kIn，及k≤N，M≤K。定義

Ω+={（Sn，In，Sn+1，En+1，In+1，Rn+1）Sn≥kSn，In≥kIn，k≤N，M≤K}

DS={（Sn，In，Sn+1，En+1，In+1，Rn+1）Sn≥kSn，In≥kIn，Sn+1=0，k≤N，M≤K}

可知，Ω+是R6+的緊子集，DS是Ω+的緊子集。

令P=S，那么P：Ω+→R+是C1的，當(dāng)且僅當(dāng)σ∈DS時(shí)有P（σ）=0。此外，對(duì)任何σ∈DS有P′（σ）>0。因此，由引理2知，存在正常數(shù)kS，使得對(duì)任意φ0∈Ω+＼DS，有

結(jié)合定理1知，存在KSn+1，使

同理可得，存在ki，Ki（i=En+1，In+1，Rn+1），使

故（3）是永久生存的。

3 初步應(yīng)用

通過(guò)對(duì)一些數(shù)值進(jìn)行模擬，研究一類(lèi)具有突變影響且有潛伏性的人-禽相互作用的H7N9禽流感的傳播；然后進(jìn)一步驗(yàn)證以上的理論結(jié)果、數(shù)學(xué)模型的正確性及研究疾病的控制措施。

例1 設(shè)初始條件為禽類(lèi)總數(shù)量都為N=1 000，禽類(lèi)的初始感染者I=300，接觸后傳染的概率β=0.01，禽類(lèi)的常數(shù)輸入率A=2，禽的自然死亡率d=0.1，禽類(lèi)由病毒引起的死亡率m=0.2；人類(lèi)的總數(shù)量為N=1000，人類(lèi)的初始感染者I=200，接觸后傳染的概率β=0.03，禽類(lèi)的常數(shù)輸入率B=0.2，人的自然死亡率μ=0.01，人類(lèi)由病毒引起的死亡率δ=0.1，潛伏者轉(zhuǎn)化為感染者概率ω=0.001，人的康復(fù)概率γ=0.1，則禽類(lèi)系統(tǒng)的基本再生數(shù)R0=0.667<1，人類(lèi)系統(tǒng)的基本再生數(shù)R0=0.286<1。在這組參數(shù)下，從圖1和圖2中可以看出，禽流感病毒在禽類(lèi)中最終走向滅絕，在人類(lèi)中最終也是趨于滅絕的。

例2 設(shè)初始條件為禽類(lèi)總數(shù)量都為N=1 800，禽類(lèi)的初始感染者I=600，接觸后傳染的概率β=0.5，禽類(lèi)的常數(shù)輸入率A=2，禽的自然死亡率d=0.2，禽類(lèi)由病毒引起的死亡率m=0.8；人類(lèi)的總數(shù)量為N=18，人類(lèi)的初始感染者I=6，接觸后傳染的概率為β=0.01，禽類(lèi)的常數(shù)輸入率B=0.2，人的自然死亡率μ=0.001，人類(lèi)由病毒引起的死亡率δ=0.3，潛伏者轉(zhuǎn)化為感染者概率ω=0.01，人的康復(fù)概率γ=0.3，則禽類(lèi)系統(tǒng)的基本再生數(shù)R0=5>1，人類(lèi)系統(tǒng)的基本再生數(shù)R0=3.328>1。在這組參數(shù)下，如圖3和圖4所示，禽流感病毒在禽類(lèi)系統(tǒng)中可以繼續(xù)生存，在人類(lèi)系統(tǒng)中也會(huì)持續(xù)存在。 因此，通過(guò)利用MATLAB進(jìn)行數(shù)據(jù)模擬并作圖，驗(yàn)證了該模型的合理性和應(yīng)用性。

4 結(jié)論

本文以禽流感為研究對(duì)象，通過(guò)構(gòu)建一個(gè)既考慮禽類(lèi)群體動(dòng)力學(xué)因素，又考慮人類(lèi)群體動(dòng)力學(xué)因素的具有潛伏效應(yīng)及突變影響的SI-SEIR常微分方程模型，并根據(jù)禽類(lèi)群體和人類(lèi)群體兩個(gè)群體的不同，選取不同群體的發(fā)病率。

利用傳染病動(dòng)力學(xué)基本再生數(shù)原理，對(duì)模型的局部和全局穩(wěn)定性進(jìn)行研究。 從計(jì)算結(jié)果可以看出，該模型的動(dòng)力學(xué)性態(tài)是由病毒流行的基本再生數(shù)R0來(lái)確定。通過(guò)對(duì)該模型的分析可以得知，在基本再生數(shù)R0<1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)漸近穩(wěn)定，病毒將消亡。當(dāng)R0>1時(shí)，地方病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的，此時(shí)禽流感病毒將逐步變成地方病而存在。因此，在已經(jīng)發(fā)生了禽流感疫情的地區(qū)，捕殺禽類(lèi)和減少市場(chǎng)上禽類(lèi)的流通等措施是杜絕此類(lèi)傳染病傳播的關(guān)鍵［7］。此外，文中所建立的數(shù)學(xué)模型也存在很多未被考慮到的因素，如溫度、濕度等，這些都將在未來(lái)的工作中加以探討。

參考文獻(xiàn)：

[1]趙亞飛. 禽流感傳染病傳播模型的動(dòng)力學(xué)行為分析［D］. 重慶： 重慶理工大學(xué)， 2019.

［2］ 郭樹(shù)敏， 郭麗娜， 李學(xué)志. 具有飽和治療的禽流感動(dòng)力學(xué)模型的研究［J］. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)， 2010， 40（3）： 134-137.

［3］ 郭樹(shù)敏， 李學(xué)志. 一類(lèi)具有非線性傳染率和有效治療的HIV動(dòng)力學(xué)模型的分析［J］. 韶關(guān)學(xué)院學(xué)報(bào)， 2015， 36（10）： 1-4.

［4］ 王紅飛. 一類(lèi)禽流感傳染病數(shù)學(xué)模型的動(dòng)力學(xué)行為分析［J］. 中國(guó)科教創(chuàng)新導(dǎo)刊， 2009（22）： 39-40.

［5］ 馬知恩， 周義倉(cāng)， 王穩(wěn)地， 等. 傳染病動(dòng)力學(xué)的數(shù)學(xué)建模與研究［M］. 北京： 科學(xué)出版社， 2004： 22-89.

［6］ 紀(jì)振偉. 狂犬病和禽流感的動(dòng)力學(xué)模型及控制策略研究［D］. 北京： 北京建筑大學(xué)， 2018.

［7］ 紀(jì)振偉， 許傳青， 崔景安， 等. H7N9型禽流感傳播模型的動(dòng)力學(xué)分析［J］. 北京建筑大學(xué)學(xué)報(bào)， 2018， 34（1）： 64-69.

Kinetic Analysis of a Transmission Model of a Group of

Avian Influenza Infectious Diseases

Abstract：

In this paper， taking avian influenza H7N9 as an example， according to its incubation period， the transmission of H7N9 avian influenza virus with human-bird interaction is studied， and a kinetic model for the spread of SI-SEIR avian influenza is established. Then using the interaction among viruses in human， animal and environment， the stability of the disease free equilibrium and endemic equilibrium is analyzed， and the basic reproductive number R0 is obtained by kinetic analysis. Through the stability theory of Lyapunov and the principle of LaSalle invariant set， the global stability of the model is analyzed and the following conclusions are drawn： when R0 is less than 1， the disease free equilibrium is globally asymptotically stable; when R0 is greater than 1， the endemic equilibrium is globally asymptotically stable. Therefore， in areas where avian influenza outbreaks have already occurred， measures such as culling birds and reducing the circulation of birds in the market are key to stopping the spread of such infectious diseases.

Key words：

kinetic model; kinetic analysis; basic regenerative number; global asymptotic stability