問題鏈驅(qū)動：讓思維向更深處漫溯
—— “正方形數(shù)的學問” 的教學實踐與思考

□鮑善軍 鄭書娟

問題解決的核心是問題，本質(zhì)是為了發(fā)展學生的思維。教師要精準把握數(shù)學知識的本質(zhì)和學生思維的特點，以核心問題為統(tǒng)領，通過精心設計環(huán)環(huán)相扣的問題鏈，引導學生主動參與、深入探究和遷移建構(gòu)，促進他們的思維逐步向縱深推進。

問題鏈驅(qū)動的 “正方形數(shù)的學問” 的教學借助直觀的點圖，圍繞 “什么是正方形數(shù)” “正方形數(shù)有什么變化規(guī)律” “正方形數(shù)之間有什么關系” 三個核心問題展開。教學時，教師要聚焦正方形數(shù)，通過遞進式問題鏈，引導學生親身經(jīng)歷探究過程，使他們能夠主動建構(gòu)正方形數(shù)的概念，并發(fā)現(xiàn)其中蘊含的規(guī)律以及相互之間的聯(lián)系。如此教學，不僅有助于將學生的思維推向更深層次，而且能夠幫助他們積累解決問題的思維經(jīng)驗，進而提升他們的高階思維水平。

一、以啟動性問題激活學生思維，建構(gòu)正方形數(shù)的概念

數(shù)學概念不僅是數(shù)學學習的核心內(nèi)容，還為后續(xù)學習提供了關鍵基礎。教師應遵循學生學習概念時的心理過程，有意識地化靜態(tài)為動態(tài)、化抽象為形象，以啟動性問題激發(fā)學生的學習內(nèi)需，激活學生的數(shù)學思維，促使學生在探究解決問題的過程中建構(gòu)數(shù)學概念。

（一）借助直觀想象，建立正方形數(shù)的表象

幾何直觀是理解和掌握問題本質(zhì)的重要手段，能夠清晰地揭示學生的思維過程。將 “點圖的形” 與 “正方形數(shù)” 建立聯(lián)系，是激發(fā)學生思維的有效方式，對于學生正方形數(shù)概念的學習具有至關重要的意義。

【教學片段1】

生：可能是長方形、7字形或者三角形。

師：繼續(xù)想象，表示數(shù) “4” 的點圖又會是什么樣的圖形呢？

生：可能是長方形、正方形、7字形或者Z字形。

師：這幾個數(shù)中，哪個數(shù)的點圖可以拼成正方形？

生：數(shù) “4” 的點圖可以拼成正方形。

師：誰愿意上臺來擺擺看？

師：像數(shù) “4” 這樣，點圖能拼成正方形的數(shù)，我們稱之為正方形數(shù)。（板書：正方形數(shù)）如果用一個算式來表示數(shù) “4” 這個正方形數(shù)，你們覺得哪個算式最合適呢？說明你的理由。

生：可以用算式 “2×2” 來表示。就像我們看到的這個點圖，無論是上下看還是左右看，都是由2個2組成的。

師：數(shù) “4” 的點圖上下看和左右看都是2 個2，用 “2×2” 來表示再適合不過了。

教師通過引導學生觀察從數(shù) “1” 的點圖逐步擴展為數(shù) “2” “3” “4” 的點圖的過程，幫助學生發(fā)現(xiàn)數(shù) “4” 的點圖可以拼成一個完整的正方形。這一過程有助于學生在實踐中初步建立對正方形數(shù)概念的感知和理解。

（二）通過操作活動，認識正方形數(shù)的特征

小學生天生具備好奇心，喜歡探究事物的內(nèi)在原因。為此，教師應先讓學生初步感知概念，在此基礎上引導學生提出問題并嘗試解決。然后，讓學生通過拼一拼、畫一畫等操作活動展開探究，由此產(chǎn)生新問題，拓展新思維，從而提升發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力。

【教學片段2】

師：剛才我們找到了一個正方形數(shù) “4” 。對此，你有什么問題嗎？

生：只有數(shù) “4” 這一個正方形數(shù)嗎？

生：還有什么數(shù)的點圖也可以拼成正方形？

師：你們提出的問題很有價值，接下來，讓我們一起來探究這些問題。

教師出示活動一：1～10 中還有沒有其他像 “4” 這樣的正方形數(shù)？

（1）想象：這個新正方形數(shù)的點圖會是什么樣的圖形呢？（可以拼一拼或畫一畫）

（2）列式：能不能用一個乘法算式來表示這個新正方形數(shù)呢？為什么？

師：經(jīng)過大家的努力，我們又找到了一個正方形數(shù) “9” ?，F(xiàn)在，你認為正方形數(shù)有什么特點？

生：正方形數(shù)的點圖都可以拼成一個正方形。

生：正方形數(shù)都可以寫成兩個相同數(shù)相乘的形式。

生：我覺得 “1” 是正方形數(shù)，它的算式可以寫成 “1×1” 。

師：你說得很清楚！現(xiàn)在，我們找到了3 個10以內(nèi)的正方形數(shù)，分別是 “1” “4” 和 “9” ，它們分別可以用 “1×1” “2×2” 和 “3×3” 來表示。那如果繼續(xù)找下去，下一個正方形數(shù)是多少呢？有沒有什么好方法？

生：應該是數(shù) “16” 。因為正方形數(shù)都可以寫成兩個相同的數(shù)相乘，前面的3個正方形數(shù)依次可以寫成兩個1 相乘、兩個2 相乘、兩個3 相乘，所以按照這樣的順序，下一個正方形數(shù)就是兩個4 相乘，也就是 “4×4” ，再下一個就是 “5×5” ，以此類推。

師：真棒！現(xiàn)在，我們來看看100 以內(nèi)的所有正方形數(shù)吧。（課件出示100以內(nèi)的正方形數(shù)）這些正方形數(shù)都可以寫成兩個相同的數(shù)相乘。

教師以 “還有沒有其他像‘4’這樣的正方形數(shù)？” 這一問題為引導，激活學生的思維，鼓勵他們主動進行觀察、思考與表達，從而揭示正方形數(shù)的本質(zhì)特征，確立正方形數(shù)的概念。在此基礎上，讓學生運用正方形數(shù)概念判斷數(shù) “1” 是否為正方形數(shù)，進而加深他們對正方形數(shù)概念的理解。這樣的學習過程不僅使學生掌握了正方形數(shù)的概念，還培養(yǎng)了他們的思維能力和表達能力。

二、以探究性問題發(fā)展學生思維，發(fā)現(xiàn)正方形數(shù)的規(guī)律

學生的學習是層進式的、不斷自我完善的過程。教師應為學生提供自主探索的機會，在提煉核心問題的基礎上，運用探究性問題推動學生進行觀察、思考和表達，從而發(fā)現(xiàn)正方形數(shù)的變化規(guī)律，以此促進學生的深度學習，發(fā)展學生的高階思維。

（一）以問題為驅(qū)動，探究正方形數(shù)的變化規(guī)律

為了幫助學生積累數(shù)學經(jīng)驗，加深對數(shù)學知識本質(zhì)的理解，實現(xiàn)數(shù)學學習的可持續(xù)發(fā)展，教師教學時應以核心問題為統(tǒng)領，通過設置一系列由淺入深的子問題鏈，逐步引導學生深入思考，使學生的數(shù)學思維不斷向縱深推進。

【教學片段3】

師：大家都知道正方形數(shù)有 “1” “4” “9” “16” ……那么，從哪個正方形數(shù)開始研究比較容易發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律呢？

生：從最小的 “1” 開始研究比較好。

教師出示活動二：一個正方形數(shù)，至少增加多少才能成為一個新的正方形數(shù)？

活動要求：

（1）想一想：正方形數(shù) “1” 至少需要加幾才能成為一個新的正方形數(shù)？

（2）畫一畫：這個數(shù)繼續(xù)加幾，又能形成一個新的正方形數(shù)？（可以先拼一拼）

（3）說一說：從中你們發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？同桌互相說一說。

師：這位同學列了一個算式 “1+3+5+7+……” ，你們能看懂嗎？說說你的想法。

生：這個算式表示 “1” 至少需要加3，才能得到一個新的正方形數(shù) “4” 。接著再加5、加7、加……得到新的正方形數(shù) “9” “16” ……可以看出，每次增加的數(shù)都是單數(shù)。

師：你是通過列算式來理解的，很有條理。大家還有其他不同的想法嗎？

生：我們是通過畫圖來理解的，每次增加的都是一個 “7” 字形?？梢钥闯觯黾拥臄?shù)都是3、5、7、9這樣的單數(shù)。（教師用課件出示圖1）

圖1

師：看來，通過剛才的探究，大家已經(jīng)有了發(fā)現(xiàn)。說說看，你們發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

生：我發(fā)現(xiàn)單數(shù)的和就是正方形數(shù)。

生：我不同意，如果是 “1+5+7” 這樣的單數(shù)和就不是正方形數(shù)，要強調(diào)是連續(xù)單數(shù)的和才行。（教師用課件出示圖2）

圖2

生：我還有補充。只有從1開始連續(xù)單數(shù)的和才是正方形數(shù)。像 “3+5+7” 這樣的單數(shù)和就不是正方形數(shù)。（教師用課件出示圖3）

圖3

師：你們真會思考！這樣，我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是 “從1開始連續(xù)單數(shù)的和就是正方形數(shù)” 。

教師圍繞核心問題精心設計了三個子問題，并以子問題鏈驅(qū)動學生運用正方形數(shù)的概念進行自主探究，最終歸納得出結(jié)論。在這一過程中，學生不僅對數(shù)學思維和數(shù)學語言的嚴謹性有了深切體會，還積累了數(shù)學活動經(jīng)驗和思維經(jīng)驗，發(fā)展了空間觀念和推理意識。

（二）使數(shù)形相結(jié)合，感悟正方形數(shù)的變化本質(zhì)

在探究正方形數(shù)的變化規(guī)律的過程中，有學生觀察到：在從1開始遞增的序列1、3、5、7、9……中，相鄰兩個數(shù)之間相差2。對于這個似乎無足輕重的細節(jié)，教師并沒有想當然地輕易放過，而是在學生歸納出正方形數(shù)的規(guī)律后，順勢追問： “每次增加的數(shù)之間都相差2，這個‘2’能在點圖中找到嗎？” 這就把學生的思維再一次推向更深層次。隨后，教師運用課件（如圖4）動態(tài)演示正方形數(shù)的變化過程，引導學生以形驗數(shù)、以數(shù)表形。學生自然能夠得出：每次增加 “7” 字形，都要在前一個 “7” 字形的兩端各加一個點圖，這就是算式中的相差數(shù) “2” 。

圖4

對數(shù)學規(guī)律的學習不能僅局限于發(fā)現(xiàn)、表達和總結(jié)，教師還要通過適當?shù)馁|(zhì)疑，引發(fā)學生新的思考，引導學生探究現(xiàn)象背后所蘊含的深刻意義。這種數(shù)形結(jié)合的教學方法，不僅能激發(fā)學生的探究精神，還能幫助他們揭示正方形數(shù)變化的本質(zhì)規(guī)律，從而完善他們的認知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)他們思維的深刻性品質(zhì)。

三、以延伸性問題拓展學生思維，深化對正方形數(shù)的理解

數(shù)學學習的核心在于有效解決實際問題。為此，教師要設計延伸性問題，引導學生運用所學知識解決真實情境中的數(shù)學問題，從而實現(xiàn)學生對數(shù)學知識的再認識、再理解和再建構(gòu)，同時拓展學生的數(shù)學思維。

（一）經(jīng)歷 “數(shù)學化” 過程，揭示正方形數(shù)之間的關系

“數(shù)學化” 是指從實際問題中抽象出數(shù)學知識，或者從 “較低級” 的數(shù)學知識中抽象出 “較高級” 的數(shù)學知識。在這一過程中，教師需要引導學生通過 “做中學” 自主發(fā)現(xiàn)和解決問題，同時建構(gòu)和運用數(shù)學知識，從而再現(xiàn)數(shù)學知識的形成過程。

【教學片段4】

教師出示活動三：至少要有幾個相同的正方形數(shù)才能拼成一個新的正方形數(shù)？

（1）猜想：想象新正方形數(shù)的點圖。

（2）驗證：我選擇方式（ ）驗證猜想。

A.用點圖拼一拼 B.在大點圖（20×20）中畫一畫 C.直接列算式說明

生：我猜是4 個。我是用拼點圖的方式驗證的。4 個 “1” 可以拼成正方形數(shù) “4” 。（用課件動態(tài)出示圖5）

圖5

生：我猜也是4個。我是通過在大點圖中畫一畫來驗證的。4個 “1” 可以拼成一個正方形數(shù) “4” ；接著把 “4” 看成一個整體，4 個這樣的正方形數(shù)又可以拼成一個新的正方形數(shù) “16” ；然后用同樣的方法，可以再拼出正方形數(shù) “64” ，以此類推。（出示學生作品，如圖6所示）

圖6

師：將正方形數(shù)看成一個整體，真是一個好方法，一目了然。還有同學要說說自己的方法嗎？

生：我是直接列算式的。1×4=4、4×4=16、9×4=36、16×4=64、25×4=100……只要將正方形數(shù)乘4，就能形成一個新的正方形數(shù)。

師：為你們的智慧點贊！我們通過拼一拼、畫一畫或列算式的方法，都可以得到這樣一個結(jié)論：至少要有4 個相同的正方形數(shù)才能拼成一個新的正方形數(shù)。

在這一過程中，學生經(jīng)歷了一系列由猜測與想象、驗證與發(fā)現(xiàn)構(gòu)成的 “數(shù)學化” 過程。如此教學，既深化了學生對正方形數(shù)的理解，又將數(shù)學學習從知識理解層面延伸至解決問題層面，通過促進多元化的數(shù)學表達，體驗多視角的策略方法，提升了學生解決問題的能力。

（二）設計 “破勢性” 問題，拓展數(shù)形結(jié)合研究的視野

在總結(jié)回顧正方形數(shù)的學習過程之后，教師適時引入古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯開創(chuàng)的數(shù)形結(jié)合研究方法，并提出 “點圖中只有正方形數(shù)嗎？” “你們還想研究點圖中的什么數(shù)？” 等問題。這些問題能引導學生轉(zhuǎn)換思考角度，以全新的數(shù)學視角來觀察和發(fā)現(xiàn)點圖中蘊含的更深層次的學問。教師通過這種方式，巧妙地設計了一系列具有啟發(fā)性和引導性的問題，以幫助學生突破思維定式，激發(fā)他們的探索精神和求知欲。

綜上所述，教師在教學過程中精準地提煉了關于 “正方形數(shù)” 的三個核心問題，并精心設置了一個具有邏輯關聯(lián)的問題鏈。由此，驅(qū)動學生開展模塊化的學習探究活動，促使學生的數(shù)學思維向更深處漫溯，從而幫助學生積累解決問題的經(jīng)驗，發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。