以核心問題為統(tǒng)領，上好數(shù)學拓展內(nèi)容*

□鮑善軍

《義務教育數(shù)學課程標準（2022 年版）》指出： “數(shù)學教材為學生的數(shù)學學習活動提供了學習主題、知識結構和基本線索，是實現(xiàn)數(shù)學課程目標、實施數(shù)學教學的重要資源。” 教材要 “編入介紹與教學內(nèi)容相關的重要數(shù)學概念、思想方法等拓展性內(nèi)容” 。因此，教師要基于數(shù)學教材內(nèi)容，深度挖掘其價值意義，設計符合學生認知規(guī)律的數(shù)學拓展內(nèi)容，這有助于加強學生對數(shù)學知識之間的關聯(lián)性的理解，有助于開闊學生的認知視野，使學生在數(shù)學上獲得更好的發(fā)展。

作為數(shù)學教學的重要組成部分，小學數(shù)學拓展內(nèi)容可以涵蓋對教材中某一重要數(shù)學概念的根源探究、對某一單元主題知識的擴充延伸研究、對特定學習重難點的深入挖掘開發(fā)，以及對某一數(shù)學思想方法的滲透與應用等。為實現(xiàn)此目標，數(shù)學拓展教學要聚焦核心內(nèi)容，通過問題統(tǒng)領和任務驅動，為學生提供充足的探究空間。這有助于引導學生在解決問題的過程中，全面深入地理解一類問題，從而使課堂教學更為簡約高效，加深學生對數(shù)學的理解，提升其數(shù)學思維水平。

一、在課堂觀察中找準數(shù)學教學的問題

問題是數(shù)學的心臟，也是數(shù)學研究的起點與歸宿?？v觀教育歷史，無論是孔子的 “啟發(fā)式教學” 還是蘇格拉底的 “產(chǎn)婆術” ，都突顯了問題設置在教學中的重要性。然而，通過課堂觀察可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學教師引領學生思考的問題質量普遍不高。具體表現(xiàn)在以下三個方面。

（一）多——問題瑣碎，學生的思考空間不足

問題作為教學的載體，對推動學生思維發(fā)展具有重要作用。但從課堂觀察來看，部分教師的課堂提問頻次較高，一堂課中提出問題的數(shù)量多達四五十個，學生疲于應對。與此同時，問題的思維含量卻不高。課堂氣氛看似熱鬧，其實學生不需要經(jīng)過太多思考，就能輕輕松松地進行解答。這樣瑣碎的問題設計，無法給予學生足夠的思考空間，未能有效促進學生的思維發(fā)展，反而可能使他們滋生思維惰性。因此，教師需要重新審視和改進教學方式，以更好地培養(yǎng)學生的思維能力和創(chuàng)新精神。

（二）散——問題隨意，知識的本質指向不明

著名科學家加波普爾提出：科學與知識的增長，永遠始于問題。但在實際教學中，部分教師提問時較為隨意，沒有對問題進行科學的設計與組織，導致問題未能明確指向知識的本質。換言之，這些問題未能從深度和廣度上充分揭示知識的內(nèi)涵，問題之間也缺乏必要的邏輯聯(lián)系。這導致學生盡管回答了許多問題，也很難形成清晰的知識體系。受此影響，教學很容易偏離既定目標，教學效果自然不盡如人意。

（三）淺——問題封閉，難以引發(fā)深度思考

思維源自問題，好的問題能引發(fā)學生的深度思考。但在實際教學中，部分教師對教材內(nèi)容缺乏深入研讀，提出的問題往往浮于表面，難以引發(fā)學生的深度思考。這種封閉式的問題，忽略了知識內(nèi)容之間的內(nèi)在關聯(lián)，不利于學生形成對知識的整體性建構。而就題論題的提問方式，又忽視了教材所蘊含的深層次價值，導致學生的學習碎片化、淺層化，無法為后續(xù)的深入學習提供有力支持。

上述現(xiàn)象反映出當前數(shù)學拓展教學在提煉 “核心問題” 和思考 “適切問題” 方面存在不足。為此，筆者所在團隊積極探索研究以核心問題為統(tǒng)領的拓展教學。一方面立足當下的課堂學習，幫助學生更好地獲得 “四基” ，發(fā)展 “四能” ；另一方面著眼于學生未來的素養(yǎng)發(fā)展，培養(yǎng)學生的科學精神，包括質疑問難、自我反思和勇于探索等思維品質。

二、以核心問題為統(tǒng)領的數(shù)學拓展教學設計

張奠宙教授提出，數(shù)學教學原則可以概括為學習數(shù)學化原則、適度形式化原則、問題驅動原則和滲透數(shù)學思想方法原則。 “核心問題” 可依據(jù)以上原則確立。教師在深入研究教材的基礎上，緊扣教學內(nèi)容和目標，精心構建一系列既相互獨立又相互關聯(lián)的核心問題，進而形成具有內(nèi)在邏輯性與整體性的問題鏈。以核心問題為統(tǒng)領的數(shù)學拓展教學，旨在激發(fā)學生的認知沖突，引導他們主動探究、體驗和理解數(shù)學本質，從而實現(xiàn)數(shù)學知識的系統(tǒng)構建及數(shù)學能力的全面提升。

小學數(shù)學拓展教學以 “學為中心” 理念為指導，聚焦核心內(nèi)容，從中提煉出一系列核心問題。在此基礎上，又將每個核心問題進一步細化為若干驅動性子問題。由此整體推進學生對核心內(nèi)容的深入探究，全面達成拓展教學所設定的教學目標（如圖1）。

圖1 以核心問題為統(tǒng)領的數(shù)學拓展教學框架

數(shù)學拓展教學具有趨同性與特異性。趨同性強調從低起點出發(fā)，通過不斷努力，逐步走向深度學習。特異性則重視學生間的個體差異，旨在促使不同學生實現(xiàn)各自在數(shù)學上的發(fā)展。這種拓展教學有助于推動學生的思維水平從低階的領會水平邁向應用水平，進而躍至高階的分析、綜合與評價水平，實現(xiàn)學生思維能力的進階與核心素養(yǎng)的發(fā)展。

三、以核心問題為統(tǒng)領的數(shù)學拓展教學策略

以核心問題為統(tǒng)領的數(shù)學拓展教學需要深度挖掘核心內(nèi)容所蘊含的價值與意義，以核心問題鏈為基本脈絡構建學與教的基本框架，使學生在經(jīng)歷 “結構化、層進式、可持續(xù)” 的問題解決過程中，不斷深化對數(shù)學的理解，逐步提高思維水平。

（一）提煉核心問題，從問題走向問題鏈

核心問題是指針對教學目標和重難點所提出的關鍵問題。它不僅指向知識的本質，還具備提綱挈領的作用?？梢?，核心問題是學生思考的腳手架、知識學習的大綱。每個核心問題都能形成一個學習板塊，并通過細化拆分，形成一節(jié)課或某一環(huán)節(jié)的 “問題鏈” 。這種鏈式結構有助于學生深入理解知識，實現(xiàn)知識的整體建構。

1.精準確定核心內(nèi)容，設計核心問題主鏈

為確保問題具有針對性，教師需要深入研究教材，通過縱向梳理和橫向對比，清晰掌握教材的編排體系與編排意圖，并結合學生實際情況，精準把握其學習起點和學習時可能存在的疑點與盲點。

例如， “正方形數(shù)的學問” 教學的核心內(nèi)容為正方形數(shù)，包括 “以數(shù)表形” 和 “以形驗數(shù)” 兩個方面。據(jù)此，筆者設計了以下三個核心問題。

核心問題1：什么是正方形數(shù)？

核心問題2：正方形數(shù)有什么變化規(guī)律？

核心問題3：正方形數(shù)之間有什么關系？

這三個核心問題是基于正方形數(shù)這一核心內(nèi)容設計的，既具有思考空間，又層層遞進，有助于學生認識學習正方形數(shù)的意義以及知識間的聯(lián)系。

2.形成子問題鏈，構建完整的問題鏈框架

問題鏈是教學思路的具體體現(xiàn)，具有較強的可操作性。設計問題鏈時，一般要遵循從整體到局部的原則，先構建統(tǒng)領整節(jié)課的主問題鏈，再將每個核心問題進行拆解，形成各環(huán)節(jié)的子問題鏈。

例如，在 “正方形數(shù)的學問” 教學中，核心問題2 “正方形數(shù)有什么變化規(guī)律？” 起著承上啟下的作用。它既是對核心問題1 “什么是正方形數(shù)？” 的進一步深化，也是后續(xù)探究核心問題3 “正方形數(shù)之間有什么關系？” 的基礎。因此，筆者從學生的角度出發(fā)，將核心問題2具體化為： “一個正方形數(shù)，至少增加多少才能成為一個新的正方形數(shù)？” 并在此基礎上，將其進一步細化拆解為以下三個子問題。

子問題1：正方形數(shù) “1” 至少需要加幾才能成為一個新的正方形數(shù)？

子問題2：這個數(shù)繼續(xù)加幾，又能形成一個新的正方形數(shù)？

子問題3：從中你們發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

這三個子問題驅動學生的數(shù)學活動逐步深入，不僅決定了一節(jié)課的走向，還映射了學生的學習路徑。

3.梳理問題序列，優(yōu)化問題鏈設計

構建問題鏈框架后，教師需認真分析與研判以下幾個問題：問題鏈的邏輯性是否符合問題解決過程的邏輯結構？問題鏈的整體性是否與數(shù)學學科體系結構保持一致？每一個問題本身是否符合科學性、清晰性和合理性的要求？以便學生能夠明確理解問題的本質和求解的方向。在此基礎上，教師梳理問題序列，優(yōu)化完善問題設計，使問題鏈更具策略性與可操作性，在內(nèi)容上層層深入，在思維上實現(xiàn)進階。

以 “正方形數(shù)” 的教學環(huán)節(jié)為例，教師通過分析拆解核心問題，精心預設子問題鏈，構建了完整的問題鏈框架（如圖2）。

圖2 “正方形數(shù)” 問題鏈框架

在這一問題鏈構架中，橫向的核心問題緊扣 “正方形數(shù)” 這一核心內(nèi)容，形成具有較大思考空間的主問題鏈；縱向的子問題鏈則助力學生實現(xiàn)結構化學習，促進知識體系的整體建構。

（二）關注不同類型的問題鏈，引領學生思維發(fā)展

教育的本質是培養(yǎng)思維，培養(yǎng)思維的最好場所是課堂。教師需要整體把握教學內(nèi)容的本質和結構，通過提煉核心問題，設置問題鏈，引導學生進行獨立思考、動手實踐、自主探索以及合作交流。這樣的教學方式能夠促進學生的深度學習，推動其思維向更深層次、更廣層面、更靈活的方向發(fā)展，從而使學生學會運用數(shù)學的思維方式來思考和解決現(xiàn)實問題。

1.遞進式問題鏈：由淺入深，推進學生思維的深度

遞進式問題鏈是依據(jù)事物之間的內(nèi)在聯(lián)系，通過正向或逆向思維方式設計的層層遞進的問題串，各問題之間具有嚴密的邏輯性和層次性。在遞進式問題鏈的引導下，學生對問題的思考逐步深入，思維的深刻性獲得提升。

例如， “乘積最大的秘密” 教學的核心問題依次為：①兩位數(shù)乘兩位數(shù)的乘積最大是多少？②三位數(shù)乘兩位數(shù)的乘積最大是多少？③多位數(shù)乘多位數(shù)的乘積最大是多少？（如圖3）這三個問題由淺入深，逐步引領學生探究乘積最大的秘密。學生則在依次解決這些問題的過程中，不斷加深對乘法意義本質的理解。這樣的探究過程拓展了知識的外延，促使學生的思維不斷向深處延伸，提升了學生解決問題的能力。

圖3 “乘積最大的秘密” 教學框架

2.并列式問題鏈：由聚到散，拓寬學生思維的廣度

思維的條理性源于問題的結構化。教師要引導學生對模糊、無序的問題進行梳理與提煉，明晰教學內(nèi)容之間的聯(lián)系與區(qū)別，形成結構化的并列式問題鏈，從而使學生思考問題的角度更加全面、路徑更加清晰。

例如，在教學 “折線統(tǒng)計圖的再認識” 時，教師對教材中的相關練習題進行梳理，從中提煉出指向概念本質的并列式問題鏈（如表1）。由此驅動學生展開自主探究，幫助學生將原本孤立的知識點融合在一起，形成一個縱橫交錯、脈絡清晰的思維結構，從而拓寬學生思維的廣度。

表1 “折線統(tǒng)計圖的再認識” 問題鏈設計

在這一問題鏈的指導下，學生將折線統(tǒng)計圖與條形統(tǒng)計圖進行關聯(lián)，從而在圖形的選擇、信息的對比以及數(shù)據(jù)的分析中，逐步明確 “離散數(shù)據(jù)” 與 “連續(xù)數(shù)據(jù)” 之間的根本區(qū)別，不斷提升自身的認知能力，完善自身的認知結構，進而逐步建立結構化的思維模式。

3.遷移式問題鏈：由此及彼，提升學生思維的靈活度

學生的學習過程就是在原有知識基礎上不斷擴展和深化的過程。這就要求教師必須緊密結合學生的既有經(jīng)驗和認知結構設計遷移式問題鏈，引領學生擺脫思維定式，激發(fā)創(chuàng)新思維，從而生成新問題、形成新思考、獲得新發(fā)現(xiàn)，由此及彼，提升思維的靈活度。

例如，學生在五年級上冊學習了 “小數(shù)乘法” 和 “小數(shù)除法” 之后，能依據(jù)加減乘除的運算意義列出算式，并根據(jù)算法進行小數(shù)四則運算，但對于四則運算之間的內(nèi)在聯(lián)系和一致性，卻缺乏深入的理解。為此，筆者進行了 “小數(shù)四則運算的再認識” 教學研究。首先，引導學生探究 “小數(shù)加減法之間有什么聯(lián)系” ，幫助他們認識小數(shù)加減法算理的一致性，即求 “有幾個相同的計數(shù)單位” 。其次，引導學生借助猜想、驗證、辨析等數(shù)學活動，發(fā)現(xiàn)小數(shù)乘法同樣是在求 “有幾個相同的計數(shù)單位” ，但計數(shù)單位會發(fā)生變化，從而深入感悟小數(shù)乘法計數(shù)單位變化的內(nèi)在邏輯。最后，引導學生進行遷移思考：小數(shù)除法還是求 “有幾個相同的計數(shù)單位” 嗎？在這一系列對小數(shù)四則運算的關聯(lián)與比較中，學生感悟到數(shù)的運算以及運算之間的關系，體會到數(shù)的運算本質上的一致性，發(fā)展了結構化思維，提升了運算能力和推理意識。

數(shù)學拓展教學注重培養(yǎng)學生的關聯(lián)性理解、概括性思維、批判性思維和創(chuàng)新性思維等高級思維能力。教學時，教師借助問題鏈，引導學生開展比較、歸納、遷移等思維活動，由此不斷拓展和延伸其思維 “觸角” ，使其實現(xiàn)思維能力的進階和提升。

（三）依托問題鏈，展開 “板塊推進” 式教學

佐藤學教授提出：課程設計越簡單越好，如果要點過多，教師往往會專注于自己是否達成目標，而忽略了孩子的反應。因此，實施問題鏈驅動策略的關鍵在于提煉出核心問題，以核心問題構成學習活動的基本板塊，再通過各個子問題鏈驅動學生進行深度思考和全面探究，從而促進學生學習的真正發(fā)生。這樣的教學摒棄了傳統(tǒng) “線性串聯(lián)” 的教學方式，轉向 “板塊推進” 的探究方式，使課堂不再受到固定流程的束縛，而是展現(xiàn)出更為豐富多元的過程。

綜上，以核心問題為統(tǒng)領的數(shù)學拓展教學，能有效解決當前課堂中教師提問多、散、淺，學習活動缺乏聚焦、邏輯不強、深度不足等問題。既有助于教師明確學習主線，簡化課堂教學，又有助于學生聚焦學習主題，深化數(shù)學理解，理清學習思路，提升思維水平。不過，在實施拓展教學策略的過程中，也會遇到一些新的挑戰(zhàn)。這就要求教師根據(jù)數(shù)學學習內(nèi)容的特性和學生思維的特點，精準把握核心問題，明確教學的主次關系，以高屋建瓴的姿態(tài)，引導學生進行深入思考、自主探究和主動建構，逐步學會用數(shù)學的眼光觀察、用數(shù)學的思維思考、用數(shù)學的語言表達。