小學(xué)數(shù)學(xué) “0～9數(shù)的認識” 單元學(xué)習(xí)心理過程的建構(gòu)*

□徐文彬 陳韻嫻，2 潘禹辰

在幼兒園科學(xué)領(lǐng)域課程中，已經(jīng)涉及了 “0～9數(shù)的認識” 單元的相關(guān)內(nèi)容［1］。在小學(xué)入學(xué)前，部分學(xué)生甚至已經(jīng)認識了較大數(shù)，并能進行簡單運算，如20以內(nèi)數(shù)的認識與加減法。為防止教學(xué) “簡單重復(fù)” ，筆者基于已經(jīng)確立的單元知識結(jié)構(gòu)［2-3］，組織一年級新生進行了 “數(shù)感發(fā)展水平” 的測試，旨在了解學(xué)生的認知起點，預(yù)設(shè)新知與舊識的聯(lián)系，建構(gòu) “0～9數(shù)的認識” 的學(xué)習(xí)心理過程。

一、一年級新生數(shù)感發(fā)展水平的測試

本測試以一年級新生為測試對象，診斷其數(shù)感發(fā)展水平。

（一）測試卷的編制

筆者借鑒已有實證研究成果，建構(gòu)了較為全面的一年級新生數(shù)感發(fā)展水平評價框架（如表1）。然后基于國內(nèi)外相關(guān)研究中已有的測試題［4-7］，結(jié)合教材內(nèi)容，以貼近學(xué)生生活經(jīng)驗的情境為依據(jù)，按照評價框架編選題目。

表1 一年級新生數(shù)感發(fā)展水平的評價框架

本測試采用實物操作與問答相結(jié)合的形式。為控制測試時間，筆者通過挖掘各維度之間的關(guān)聯(lián)性（如 “計數(shù)” 和 “基數(shù)” 等），構(gòu)建了九個主題式情境任務(wù)（括號內(nèi)為主要測試維度）：快速計數(shù)小圓點個數(shù)（感數(shù)）、數(shù)數(shù)（計數(shù)—數(shù)詞）、統(tǒng)計小熊數(shù)量（計數(shù)—可數(shù)實體、基數(shù)）、比較積木數(shù)量（比較）、解決圍棋子排序問題（數(shù)序與序數(shù)）、估計圍棋子數(shù)量（估計）、分一分圍棋子（分與合）、解決與鉛筆相關(guān)的運算問題（加減法、非正式乘除法）、提交答案（比較、估計、分與合、加減法）。各任務(wù)下又由易到難設(shè)置了1～4題，采取一題多測、多題一測的方式進行設(shè)計。一題多測，即一道題可測同一維度的多個連續(xù)性水平或不同維度的平行性水平；多題一測，即通過不同任務(wù)中的交錯題共同驗證同一維度同一水平。在此基礎(chǔ)上，對各題進行變式，生成多套平行卷。經(jīng)預(yù)測試對試題進行優(yōu)化，最終形成正式版測試卷。同時制訂評價表和記錄表，以辨明學(xué)生表現(xiàn)所處的水平，盡可能完整記錄測試過程。

本測試卷在編制過程中，全程參考相關(guān)文件和教材，并采用專家咨詢法進行評估和校正，具備較好的內(nèi)容效度。需要說明的是，本測驗卷還需檢驗復(fù)本信度，即通過兩個平行測驗卷測量同一組被試所得結(jié)果的一致性程度。但受工作量和時間限制，暫無法實施檢驗，留待后續(xù)進行。

（二）測試程序的組織

本研究選取N 市3 所小學(xué)及F 市1 所小學(xué)，共計152名一年級小學(xué)生作為研究對象（如表2）。其中，D 小學(xué)為農(nóng)村小學(xué)，整體教育教學(xué)水平相對較低，盡管該校學(xué)生在測試時已經(jīng)正式學(xué)習(xí)過相關(guān)內(nèi)容，但其數(shù)感發(fā)展的平均水平仍未超過其他3所小學(xué)。由此可見，雖然本次測試由于某些客觀原因，在施測時間和地點上有一定的局限性，但測試結(jié)果并未受到較大的影響。

表2 一年級新生數(shù)感發(fā)展水平研究對象統(tǒng)計表

（三）測試數(shù)據(jù)的處理

在全面評估同維度各項相關(guān)任務(wù)的基礎(chǔ)上，以主要任務(wù)數(shù)據(jù)為準(zhǔn)則、輔助任務(wù)數(shù)據(jù)為參照，根據(jù)評價框架，對被試在各維度所能達到的最高水平進行評定。達到水平n的被試，記為n分。將評定的被試各維度的水平情況錄入Excel 軟件，并利用SPSS 26.0 軟件對信度與效度進行分析。結(jié)果顯示：Cronbach’sα值為0.747，其信度可以接受；KMO值為0.719，結(jié)構(gòu)效度較好，表明因素分析的適切性較為適中。

二、一年級新生數(shù)感發(fā)展水平的分析

結(jié)合描述統(tǒng)計結(jié)果，從質(zhì)的層面作進一步分析。

（一）一年級新生 “數(shù)與數(shù)量” 的發(fā)展水平

在 “感數(shù)” 維度，被試的發(fā)展水平總體集中于水平3 和水平4。其中，0.66%的被試僅達到水平1，無法具體回答看到了 “幾個” 小圓點，只能感知 “多” 與 “少” ；6.58%的被試達到水平2，只能識別數(shù)量為3個的小圓點集合；39.48%的被試達到水平3，能直觀感知并識別數(shù)量為5 個左右的小圓點集合；33.55%的被試達到水平4，能采用簡單的分組策略，識別數(shù)量為20 個以內(nèi)的小圓點集合，如將7 個小圓點分成 “5 個” 和 “2 個” 或 “4 個” 和 “3 個” 兩部分；17.76%的被試達到水平5，能采用跳數(shù)策略識別數(shù)量超過20個的點集；1.97%的被試達到水平6，能采用分組策略快速識別，知道 “5個10是50” 。

在 “計數(shù)—數(shù)詞” 維度，所有被試都能從數(shù)詞序列中分化出單個數(shù)詞。其中，13.16%的被試達到水平2，無法從指定起點開始數(shù)或只能停于指定終點；44.74%的被試達到水平3，能較好地把握數(shù)鏈的起點與終點；15.79%的被試達到水平4，對自己數(shù)了多少個數(shù)詞有一定的意識；26.31%的被試達到水平5，能自動轉(zhuǎn)變數(shù)數(shù)方向，有意識地、熟練地正數(shù)與倒數(shù)。

在 “計數(shù)—可數(shù)實體” 維度，被試的發(fā)展水平主要集中于水平5，部分被試的最高水平為水平1 或水平4，無被試的最高水平為水平2 或水平3。其中，6.72%的被試達到水平1，只能數(shù)具體（感知）的物體，故無法作答或不能數(shù)出被遮擋的小熊；其余被試能擺脫感知單元的依賴，以數(shù)詞本身為數(shù)數(shù)實體，但在回答集合總數(shù)時存在一定的偏差，故將其判定為水平4，占9.25%。

在 “基數(shù)” 維度，達到水平6 的被試最多，占83.55%，說明被試已能從集合元素個數(shù)的意義上來理解基數(shù)的含義；達到水平5的被試占1.32%，達到水平4的被試占15.13%，這些被試分別使用最大的數(shù)詞和最后一個數(shù)詞作為總數(shù)。

（二）一年級新生 “數(shù)量關(guān)系” 的發(fā)展水平

在 “比較” 維度，1.32%的被試達到水平1，僅能比較同類積木的相等小集合；6.58%的被試達到水平2，能比較數(shù)量較少且尺寸相近的兩個積木集合，多數(shù)能采用計數(shù)的方式，但由于他們的數(shù)量守恒觀念尚未發(fā)展，所以無法準(zhǔn)確比較尺寸相差較多的兩個積木集合，如誤認為 “大的多” 或 “顏色占得多的就多” ；17.76%的被試達到水平3，具備數(shù)量守恒觀念，且多數(shù)能采用計數(shù)方式進行比較。在實物集合比較的基礎(chǔ)上，12.50%的被試達到水平4，能比較兩個數(shù)字的大小，但僅限于一位數(shù)；61.84%的被試達到水平5，能準(zhǔn)確比較兩位數(shù)的大小。需要注意的是，水平1 至水平3 的被試表現(xiàn)出較強的過渡發(fā)展趨勢，部分被試雖不能比較實物集合的數(shù)量，但能準(zhǔn)確比較一位數(shù)和兩位數(shù)，這可能與家庭和幼兒園的數(shù)學(xué)幼小銜接教育有關(guān)。

在 “數(shù)序與序數(shù)” 維度，5.92%的被試達到水平1，無法對不同大小的圍棋子集合進行排序；15.79%的被試達到水平2，能對不同大小的圍棋子集合進行排序，但無法區(qū)分諸如 “3顆棋子” 和 “第3顆棋子” 哪個是基數(shù)哪個是序數(shù)；20.40%的被試達到水平3，能準(zhǔn)確指出某一圍棋子是一排圍棋子中的第幾顆，但無法準(zhǔn)確地將一顆圍棋子插入其中某一特定位置；5.26%的被試達到水平4，能很好地完成序數(shù)放置任務(wù)；超過半數(shù)的被試達到水平5，能理解數(shù)量序列關(guān)系中的傳遞性和可逆性。

在 “估計” 維度，3.29%的被試達到水平1，能大膽猜測數(shù)量，雖出現(xiàn)空間范圍估計傾向，但常使用不切實際的大數(shù)或小數(shù)進行估計，且無法說明理由，如看見一整盤圍棋子（60顆）就認為 “這么多應(yīng)該有100 顆” ，看見比前一盤多時只多估1 顆（實際多10 顆、15 顆、30 顆不等）；28.29%的被試達到水平2，能根據(jù)圍棋子所占空間大小匹配較為合適的數(shù)量，但仍超出既定范圍；47.37%的被試達到水平3，其估計結(jié)果較為合理，且能將估計值與心理數(shù)線上的一定范圍建立聯(lián)系；21.05%的被試達到水平4，能運用基準(zhǔn)或分組策略進行估計，如 “感覺比30多2個10” 。

（三）一年級新生 “數(shù)的運算” 的發(fā)展水平

在 “分與合” 維度，約半數(shù)的被試達到水平2，能在 “分圍棋子” 的任務(wù)中理解圍棋子集合之間數(shù)量的等量、互補、互換等關(guān)系，但無法給出恰當(dāng)?shù)慕忉?，也無法全面呈現(xiàn) “8 顆圍棋子” 的所有分解形式。22.37%的被試達到水平3，能全面呈現(xiàn)所有分法。25.00%的被試達到水平4，能從抽象層面全面呈現(xiàn)一個數(shù)的所有分解形式。在該水平對應(yīng)任務(wù)的測試中，能明顯觀察到被試 “受訓(xùn)練” 的痕跡。據(jù)不完全了解，部分被試在幼兒園或幼小銜接階段接觸過這類題目。一些學(xué)生在填寫時會默念如 “7可以分成1和6” 的口訣；有的學(xué)生知道 “7的分合有6種（比7 少1）” 的規(guī)律，但解釋不清；有的學(xué)生能規(guī)范有序地依次填入 “1、6” “2、5” “3、4” “4、3” “5、2” “6、1” ；有的學(xué)生雖能準(zhǔn)確填寫，但不知道為什么這樣填。因此，筆者一方面為學(xué)生超前的表現(xiàn)感到驚喜，另一方面也反思這樣的銜接是否過于重視知識點本身，而忽略了知識背后的道理。

在 “加減法” 維度，少數(shù)被試達到水平1，不理解加減運算的情境而隨意作答；25%的被試達到水平2，基本采用數(shù)全部的方式得到加減計算的結(jié)果；45.39%的被試達到水平3，能通過任意數(shù)的方式進行計算；28.29%的被試達到水平4，能較為熟練地運用諸如 “湊十法” 、根據(jù)已知算式推算、交換加數(shù)位置等推論性策略展開計算，如由 “13+14=27” 推算得到 “14+13=27” 。

在 “非正式乘除法” 維度，被試的發(fā)展水平主要集中在水平2，尚無被試達到水平4。其中，24.34%的被試達到水平1，無法理解乘除運算的情境而隨意作答；71.05%的被試達到水平2，能通過在情境圖上進行圈畫或?qū)嵨锊僮鞯贸鼋Y(jié)果，如 “將每3 支鉛筆分為一組，共4 組” ；4.61%的被試達到水平3，采用同數(shù)加減的策略進行計算，如通過 “3+3+3+3=12，加了4個3” ，知道 “共需4個筆筒” ；暫無被試直接依據(jù) “4個3是12” 得出結(jié)果，故無人達到水平4。

根據(jù)上述分析，一年級新生具有超出預(yù)期的認知起點，因此本單元知識可以也應(yīng)當(dāng)作為培養(yǎng)數(shù)感的載體，以避免知識的簡單重復(fù)，使學(xué)生在了解、理解、掌握甚至運用部分知識的基礎(chǔ)上，根據(jù)各自原有的認知水平，實現(xiàn)更大程度的發(fā)展。同時，測試中表現(xiàn)出的薄弱點可以確定為本單元學(xué)習(xí)的難點，如難以區(qū)分基數(shù)和序數(shù)等。

三、 “0～9數(shù)的認識” 單元學(xué)習(xí)心理過程的建構(gòu)

在一年級新生數(shù)感發(fā)展已有水平的基礎(chǔ)上，預(yù)設(shè)其學(xué)習(xí)心理過程的階段及具體表現(xiàn)。

（一） “0～9數(shù)的認識” 單元學(xué)習(xí)心理過程建構(gòu)的基礎(chǔ)

首先，根據(jù)皮亞杰兒童認知發(fā)展階段理論，新知的學(xué)習(xí)應(yīng)以學(xué)生現(xiàn)有認知水平為起點，即以數(shù)感發(fā)展水平的測試結(jié)果為基準(zhǔn)。其次，單元知識結(jié)構(gòu)決定了學(xué)習(xí)內(nèi)容及其教學(xué)方式，為開展學(xué)習(xí)活動提供了方向。最后，以建構(gòu)主義為基礎(chǔ)的APOS 理論適用于數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，探討數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理結(jié)構(gòu)與心理機制。其中，心理結(jié)構(gòu)由低到高分為活動（Action）、程序（Process）、對象（Object）、圖式（Schema）四個層次；心理機制則是促進心理結(jié)構(gòu)形成的方法，包括內(nèi)化、壓縮、解壓、協(xié)調(diào)、逆轉(zhuǎn)等。［8］74

值得注意的是，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理結(jié)構(gòu)的建立并非簡單的線性過程，而是在 “程序” 與 “對象” 的交替前進中螺旋上升的環(huán)形進程。當(dāng) “程序” 被壓縮成 “對象” 時，存在反向解壓的潛在過程，即還原為先前的 “程序” ，并協(xié)調(diào)其他 “程序” 形成新 “對象” ，或逆轉(zhuǎn)為具有相反意義的新 “對象” 。綜上所述，APOS 理論提供了三種學(xué)習(xí)新知的方式，即 “活動—程序—對象” “兩對象—兩程序—相互協(xié)調(diào)的程序—新對象” 和 “對象—程序—逆轉(zhuǎn)后的程序—新對象” （如圖1）。［8］76

圖1 基于APOS理論的數(shù)學(xué)知識建構(gòu)過程

（二） “0～9數(shù)的認識” 單元的學(xué)習(xí)心理過程

APOS理論只是提供了數(shù)學(xué)知識建構(gòu)的一般心理過程，下面將結(jié)合 “0～9 數(shù)的認識” 單元的具體學(xué)習(xí)內(nèi)容以及學(xué)生實際情況，將知識結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為心理結(jié)構(gòu)，并預(yù)設(shè)相應(yīng)的學(xué)習(xí)活動，從而將知識邏輯轉(zhuǎn)化為學(xué)習(xí)邏輯（如表3）。

表3 “0～9數(shù)的認識” 單元的學(xué)習(xí)心理過程

上述學(xué)習(xí)心理過程預(yù)設(shè)為教學(xué)設(shè)計提供了參考：階段1為課前學(xué)生的準(zhǔn)備狀態(tài)；階段2到階段3的重點是從現(xiàn)實背景中抽象出數(shù)，初步理解數(shù)0～9的基數(shù)、序數(shù)的含義；階段4 重點掌握0～9 數(shù)的順序；階段5 到階段6 重點掌握0～9 數(shù)的大小比較；階段7到階段8重點掌握0～9數(shù)的分解與組成；階段9 到階段11 重點掌握0～9 數(shù)的加減運算；階段12 回顧并整體建構(gòu) “0～9 數(shù)的認識” 單元知識結(jié)構(gòu)；階段13 則強調(diào)靈活運用所學(xué)知識解決實際問題。由于這一學(xué)習(xí)心理過程預(yù)設(shè)并未涵蓋數(shù)的讀寫、階段性練習(xí)與復(fù)習(xí)，因此在實際教學(xué)中，教師應(yīng)根據(jù)實際情況適當(dāng)添加相關(guān)活動，將其穿插于各階段之間。

通過對一年級新生的數(shù)感發(fā)展水平進行診斷，并據(jù)此預(yù)設(shè) “0～9 數(shù)的認識” 單元的學(xué)習(xí)心理過程，為設(shè)計單元整體教學(xué)奠定了基礎(chǔ)。