“倍” 的課程價值及其學(xué)習(xí)活動設(shè)計

□齊 美 郜舒竹

本刊上一期刊登的《 “倍” 的意義不僅是除法運(yùn)算的結(jié)果》一文指出，有關(guān) “倍的認(rèn)識” 的教學(xué)存在意義不完善的問題，即將 “倍” 僅僅理解為除法運(yùn)算的結(jié)果。事實上， “倍” 還可以用于描述關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，本文進(jìn)一步分析 “倍” 的課程價值，探究如何在數(shù)學(xué)課程設(shè)計與實施中落實 “倍是關(guān)系” 的意義，并讓學(xué)生在具身活動中，借助隱喻思維體會 “倍是關(guān)系” 。但在這一過程中，學(xué)生會遇到一些認(rèn)識上的障礙，易于混淆 “倍的認(rèn)識” 中的 “倍” 與 “因數(shù)與倍數(shù)” 中的 “倍數(shù)” 兩個概念。為此，需要對這兩個概念的異同進(jìn)行比較，以避免概念上的混淆。

一、 “倍” 的課程價值

“倍” 是表達(dá)量與量、數(shù)與數(shù)之間關(guān)系的語言。這種抽象的理解需要依賴隱喻。隱喻不僅僅是一種語言現(xiàn)象，還是人類理解周圍世界的一種感知和形成概念的工具［1］。喬治·萊考夫在《數(shù)學(xué)從哪里來》一書中提到：人類天生具有內(nèi)含的算術(shù)能力，包括識別少量物體數(shù)量的計數(shù)能力和進(jìn)行簡單加減的運(yùn)算能力。不過，當(dāng)物體數(shù)量大于4 時，人類隨之需要發(fā)展組合分組能力與符號表征能力。而若想全面掌握數(shù)的運(yùn)算及其屬性，就需要提升隱喻能力（Metaphorizing Capacity）以及概念融合能力（Conceptual-blending Capacity）等認(rèn)知能力。［2］這表明概念隱喻和概念融合是人類最基本的認(rèn)知機(jī)制之一，它們共同促進(jìn)了人類從先天算術(shù)能力發(fā)展到自然數(shù)的基本算術(shù)能力的進(jìn)化。

在數(shù)學(xué)認(rèn)知中，數(shù)可被視為一組對象所形成集合的隱喻，即一種從物理對象領(lǐng)域到數(shù)字領(lǐng)域的精確映射。因此， “5和7哪個大” 和 “2比4小” 此類表達(dá)在人的頭腦中根深蒂固?？蓪嶋H上，數(shù)本身并無大小之分，人無法直接看見數(shù)的具體存在。比如，當(dāng)學(xué)生在現(xiàn)實世界看到圖1 所示的小方塊時，他們就會在頭腦中形成6 的概念，表示這些小方塊的總數(shù)量是6個。

圖1 顏色相同的6個小方塊

然而，隱喻的過程并不是一成不變的。即使是相同數(shù)量的對象，也會因為使用的映射方式不同，而在頭腦中形成不同的數(shù)。比如，當(dāng)學(xué)生看到圖2所示的小方塊時，他們可能會無意識地對其進(jìn)行分組，將2 個小方塊視為一個單位。此時，他們的意識中便會浮現(xiàn)3。這里的3表示有3組，每組包含2個小方塊。這表明 “倍表示關(guān)系” 以隱喻的方式存在于學(xué)生早期的計數(shù)階段，并豐富了他們的計數(shù)經(jīng)驗。

圖2 中間顏色不同的小方塊

學(xué)生在系統(tǒng)學(xué)習(xí) “倍表示關(guān)系” 時，會認(rèn)識三種意象圖式（Image Schema），即比較圖式、部分—整體圖式和變化圖式，分別對應(yīng)用 “倍” 描述的三種不同關(guān)系：不同對象之間的關(guān)系、部分與整體的關(guān)系和變化前后的關(guān)系。這三種意象圖式在后續(xù)分?jǐn)?shù)和比的學(xué)習(xí)中也有所體現(xiàn)，為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)和比奠定了基礎(chǔ)。

首先是比較圖式。分?jǐn)?shù)和比都具有描述不同對象之間關(guān)系的功能。以圖3為例，用分?jǐn)?shù)的語言來說，第一行小方塊的數(shù)量是第二行小方塊數(shù)量的。用比來描述，則可以說第一行小方塊與第二行小方塊的數(shù)量之比為1∶2。

圖3 2行不同數(shù)量的小方塊

其次是部分—整體圖式。分?jǐn)?shù)與比都包含描述部分與整體關(guān)系的意義。例如，將長方形ABCD沿著中線EF對折再打開（如圖4），所形成的長方形ABFE的面積是長方形ABCD面積的，也可以說長方形ABFE與長方形ABCD的面積之比是1∶2。

圖4 長方形ABCD的對折打開圖

最后是變化圖式。分?jǐn)?shù)與比在變化圖式的應(yīng)用上有所不同。先看分?jǐn)?shù)，假設(shè)一個月前，樹苗A高8分米，樹苗B高12分米?，F(xiàn)在它們的高度分別是11 分米和15 分米。請問：哪株樹苗長得快？用加法來推理，可以得出兩株樹苗都長高了3 分米，因此長得一樣快。而用乘法來推理，得出的結(jié)果卻是樹苗A長得更快。這是因為與原先的高度相比，樹苗A長高了，樹苗B長高了，所以樹苗A長得更快。再看比，變化圖式在比例問題上體現(xiàn)為表征形式的相似。例如，將一個保溫杯縮小為原來的一半畫在紙張上，那么在原始圖像中相等的東西，在新建立的圖像中也應(yīng)該相等。這意味著從原始圖像到新建立圖像的映射過程描述為相似性，但圖像元素中內(nèi)部結(jié)構(gòu)的比不變。［3］

除了能為學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)和比奠定基礎(chǔ)，倍的學(xué)習(xí)還能幫助學(xué)生發(fā)展單位化的眼光。杜威在《數(shù)的心理學(xué)》中提到：數(shù)被簡單定義為多少個度量單位（Units of Measurement），往往是抽象的［4］?？梢?，表示一個量數(shù)值的數(shù)與度量單位和重復(fù)次數(shù)密不可分。從離散的角度來看，數(shù)是許多個度量單位所構(gòu)成的統(tǒng)一體；從抽象的角度來看，數(shù)則是一個度量單位所形成的局部。例如，50 元既可以看成是由50 個1 元組成的，也可以直接看作一個度量單位。用倍的語言來說就是：50元是1元的50倍，或者50元的1倍。當(dāng)然，50還可以由其他不同的組合方式組成，如2 個25、5 個10、10 個5 等。選擇的度量單位不同，度量的方式也不同。

綜觀學(xué)生從整數(shù)到分?jǐn)?shù)、小數(shù)再到無理數(shù)的數(shù)概念學(xué)習(xí)過程，倍、分?jǐn)?shù)、比這三個概念密切相關(guān)。以乘法比較的相關(guān)問題為例，在倍的學(xué)習(xí)中，通常將較小量看作單一量（標(biāo)準(zhǔn)量），與較大量進(jìn)行比較。而在分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)中，通常將較大量看作單位 “1” （標(biāo)準(zhǔn)量），與較小量進(jìn)行比較。這兩種方式分別用 “一個數(shù)是另一個數(shù)的多少倍？” 和 “一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾？” 來表述。例如，如果短木棒長10厘米，長木棒長15厘米，那么既可以說長木棒的長度是短木棒長度的1.5 倍，也可以說短木棒的長度是長木棒長度的。此外， “倍” 還是理解 “比” 的重要基礎(chǔ)，因此可以用組合單位的方式來理解比。比如：如果4顆藍(lán)莓的價格是1元，那么這4顆藍(lán)莓就可以看作一個單位?；谶@個單位可以推導(dǎo)出其他倍數(shù)成立的情況，如8 顆藍(lán)莓2 元、40 顆藍(lán)莓10元等。同時，也可以將單位進(jìn)行縮小運(yùn)算，得出2顆藍(lán)莓為0.5元、1顆藍(lán)莓為0.25元。也就是說，任何數(shù)量的藍(lán)莓都可以通過使用這些組合的單位來定價。

綜上所述， “倍” 這一概念在小學(xué)數(shù)學(xué)課程中具有重要價值。它不僅能夠豐富學(xué)生早期的計數(shù)經(jīng)驗，為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)和比奠定基礎(chǔ)，還能幫助學(xué)生發(fā)展單位化的眼光。因此，如何設(shè)計相關(guān)的學(xué)習(xí)活動，以促進(jìn)學(xué)生理解 “倍” 這一概念就顯得尤為重要。

二、 “用‘倍’看關(guān)系” 的學(xué)習(xí)活動設(shè)計

學(xué)習(xí)活動是學(xué)生通過自我理解、生生互動、師生交流實現(xiàn)變教為學(xué)的一種方式。從多元表征的認(rèn)知功能來看，設(shè)計學(xué)習(xí)活動的意義在于整合各種表征的優(yōu)勢與特點，形成更為完善的內(nèi)在表征結(jié)構(gòu)。而精心設(shè)計多元表征的學(xué)習(xí)活動，能夠幫助學(xué)生深入理解并內(nèi)化多元表征，生成整個表征結(jié)構(gòu)，并學(xué)會建構(gòu)多元表征的策略與方法等。［5］

人的認(rèn)知是在其心智、身體與環(huán)境互動的過程中，無意識形成的具有穩(wěn)定性的思維方式。這種思維方式會不自覺地支配人們的行為，兼具 “意象” 和 “圖式” 的意義。［6］作為一個抽象數(shù)學(xué)概念，學(xué)生對 “倍” 的理解與掌握需要經(jīng)歷三個階段：首先是現(xiàn)實世界中的具身操作，其次是思維世界中的具身經(jīng)驗積累，最后是符號世界的抽象表征。學(xué)生若要理解某個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，就必須在這個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與另一個更易理解的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)之間建立對應(yīng)關(guān)系。而表征是建立意義、交流信息、促進(jìn)理解的重要手段。［7］

“倍的認(rèn)識” 是人教版教材三年級上冊的教學(xué)內(nèi)容。教學(xué)時，教師可以按照具身活動操作、個體經(jīng)驗聯(lián)結(jié)、多元圖式建構(gòu)、關(guān)鍵概念辨析四個步驟，幫助學(xué)生主動建構(gòu)倍的心理意義、理解倍的數(shù)學(xué)含義，形成多元化表征的能力。

教學(xué)伊始，教師通過展示兩組不同小方塊學(xué)具之間的關(guān)系，激活學(xué)生已有的知識經(jīng)驗，如加、減法之間的關(guān)系，引出課題——用 “倍” 看關(guān)系。教學(xué)中，教師主要安排以下四個學(xué)習(xí)任務(wù)。

任務(wù)一：用學(xué)具擺出 “2倍” 關(guān)系

學(xué)具的拼擺是一種將抽象的數(shù)學(xué)概念 “2 倍” 關(guān)系具體化的活動。在具身操作活動中，學(xué)生通過摸、擺、拼等方式，深入體會 “2 倍” 關(guān)系的實質(zhì)，從而形成對比不同對象的意象圖式。這種具身體驗使學(xué)生更容易理解和構(gòu)建數(shù)量關(guān)系的模型。在這一過程中，學(xué)生經(jīng)歷用不同的對象表示 “2 倍” 關(guān)系，體會 “2倍” 關(guān)系的表述既可以是 “6個小方塊是3個小方塊的2倍” ，也可以是 “8個小方塊是4個小方塊的2 倍” ，以及更多類似的表述。但無論學(xué)具如何拼擺，其倍數(shù)關(guān)系都具有一個共同的特征，即內(nèi)在的抽象性?？梢姡斫膺@種抽象概念需要依賴具體的、具有象征意義的操作。

任務(wù)二：結(jié)合自身經(jīng)驗，舉例說明 “2倍” 關(guān)系

數(shù)學(xué)語言有助于提升學(xué)生的敘述性表征能力和邏輯推理能力。學(xué)生通過運(yùn)用自身經(jīng)驗舉例說明 “2倍” 關(guān)系，實現(xiàn)了新舊知識的整合與同化。在這一過程中，他們能夠靈活運(yùn)用倍數(shù)關(guān)系描述不同物體之間的數(shù)量關(guān)系，如 “有兩堆鉛筆，4支鉛筆是2 支鉛筆數(shù)量的2 倍” “2 塊粉橡皮是1 塊白橡皮數(shù)量的2 倍” 。這不僅有助于監(jiān)測學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，還能提升他們運(yùn)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實世界的能力。

任務(wù)三：通過折紙活動，找到 “8倍” 關(guān)系

教師先向?qū)W生示范將長方形紙張對折的過程，引導(dǎo)學(xué)生觀察紙張對折過程中面積發(fā)生的變化，使學(xué)生初步理解 “倍” 表示部分與整體的關(guān)系。隨后，讓學(xué)生展開自主探究，自行嘗試將一張長方形紙對折、對折、再對折。通過這樣的三次對折，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：整個長方形的面積分別是每次對折后小長方形面積的2 倍、4 倍、8 倍。這一發(fā)現(xiàn)打破了學(xué)生的線性認(rèn)知，使他們意識到紙張的對折過程并非簡單的線性變化，而是涉及更復(fù)雜的非線性關(guān)系。從表征的感覺通道來說，折紙是一種動作表征，能激活學(xué)生頭腦中關(guān)于倍數(shù)關(guān)系的認(rèn)知，促進(jìn)他們對這一知識的理解與應(yīng)用。為此，可以引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)對折紙張，讓他們思考接下來會形成怎樣的倍數(shù)關(guān)系，由此激發(fā)他們的求知欲和探索精神。

任務(wù)四：小組討論 “增加了2 倍” 與 “增加為原來的2倍” 的意思是否一樣

任務(wù)四要求學(xué)生學(xué)習(xí) “倍” 的另一種含義，即描述物體數(shù)量變化前后的關(guān)系，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光，使學(xué)生學(xué)會動態(tài)地看待倍數(shù)關(guān)系。通過小組討論和辨析，學(xué)生體會到小方塊 “增加了2 倍” 與 “增加為原來的2 倍” 這兩種表達(dá)方式在意義上的差異。具體來說， “小方塊增加了2倍” 形成了新的標(biāo)量關(guān)系。將初始狀態(tài)下小方塊的數(shù)量看作單一量，增加了2倍表明增加的量是單一量的2倍，那么結(jié)束狀態(tài)下小方塊的數(shù)量就是原來的3 倍。這一變化后與變化前的增量，意義指向標(biāo)量關(guān)系的動態(tài)改變。而意義又源于差異。［8］為此，要讓學(xué)生在差異中進(jìn)一步理解倍數(shù)關(guān)系的不同含義。

這四個任務(wù)不僅能幫助學(xué)生理解 “倍” 的含義并建構(gòu) “倍” 的意義，還能在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中起到承上啟下的作用，喚醒學(xué)生的已有經(jīng)驗，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)、比等概念奠定基礎(chǔ)。其中，任務(wù)一幫助學(xué)生理解不同對象之間的關(guān)系，是他們學(xué)習(xí)比的概念的重要基礎(chǔ)，如寵物店里貓與狗的數(shù)量之比是3∶2、圓周長與直徑之比為π∶1 等。而這些比的概念又延伸出重要的數(shù)學(xué)推理方法——比例推理。利用比例推理，就能有效解決路程問題、比例尺問題、密度問題以及濃度問題等。［9］任務(wù)三著重引導(dǎo)學(xué)生理解部分與整體的關(guān)系，是建立分?jǐn)?shù)概念的起點，旨在通過折紙活動，讓學(xué)生更直觀地理解分?jǐn)?shù)的面積模型。此外，分?jǐn)?shù)還涉及測量的意義。以分?jǐn)?shù)為例，它表示以分?jǐn)?shù)為單位長度，數(shù)出這樣的3個單位長度，即3倍的。按照這樣的認(rèn)識，學(xué)生明白了分?jǐn)?shù)是單位分?jǐn)?shù)的倍數(shù)，從而拓展了對分?jǐn)?shù)的認(rèn)知。任務(wù)四旨在引導(dǎo)學(xué)生思考如何解釋加法推理和乘法推理的區(qū)別，以幫助學(xué)生更好地掌握加法比較和乘法比較之間的異同。綜上所述，這四個任務(wù)不僅有助于學(xué)生對 “倍” 概念的理解與掌握，還能為他們后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下堅實基礎(chǔ)。

三、 “倍” 與 “倍數(shù)” 異同比較

繼學(xué)生在低年級學(xué)習(xí) “倍的認(rèn)識” 之后，教材又在五年級編排了 “因數(shù)與倍數(shù)” 的學(xué)習(xí)內(nèi)容。由于學(xué)生先前已接觸過 “倍” 的概念，因此在理解 “因數(shù)與倍數(shù)” 中的 “倍數(shù)” 時，他們會遇到一些認(rèn)知障礙。所謂認(rèn)知障礙，指的是概念本身所形成的障礙，也可以解釋為錯誤的思維方式。學(xué)生的思維方式會影響學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解方式，而這種理解方式又會反過來影響學(xué)生的思維方式。［10］因此，有必要對 “因數(shù)與倍數(shù)” 中的 “倍數(shù)” 與 “倍的認(rèn)識” 中的 “倍” 的異同進(jìn)行比較，以避免學(xué)生混淆這兩個概念。

一方面，兩個概念存在諸多差異。首先，兩者所指的對象不同， “因數(shù)與倍數(shù)” 中的 “倍數(shù)” 指的是用測量單位來測量的對象，而 “倍的認(rèn)識” 中的 “倍” 指的是測量過程中進(jìn)行的次數(shù)。例如，在看待12這個數(shù)時，12可以看作3個4或4個3，這里的3和4就是12的因數(shù)。同時，12也是3和4的倍數(shù)。因測量需同時具備測量的對象和測量的單位，所以因數(shù)和倍數(shù)是相互依存的。但在 “倍的認(rèn)識” 中， “倍” 描述的是測量單位和測量對象所形成的標(biāo)量關(guān)系。［11］即12是3的 “4倍” 或4的 “3倍” 。

其次，兩者的使用范圍不同。 “倍數(shù)” 的使用范圍僅限于正整數(shù)除法且除盡的情況，而 “倍” 的使用范圍則更廣，不僅包括整數(shù)倍，還包括小數(shù)倍和分?jǐn)?shù)倍。在人教版教材五年級下冊第二單元中，教材明確了兩個整數(shù)相除后可能出現(xiàn)的兩種情況，并據(jù)此給出了因數(shù)和倍數(shù)的定義： “在整數(shù)除法中，如果商是整數(shù)且沒有余數(shù)（或者說余數(shù)為0），我們就說除數(shù)是被除數(shù)的因數(shù)，被除數(shù)是除數(shù)的倍數(shù)?！?例如，在12÷2=6這種情況下，12是2和6的倍數(shù)，2和6 是12 的因數(shù)。也可以說12 是2 的6 倍 或6 的2倍。然而，在9÷5=1……4這種情況下，由于商不為整數(shù)，因此9和5之間并不構(gòu)成因數(shù)與倍數(shù)的關(guān)系。不過，當(dāng)9÷5=1.8 時，說9 是5 的1.8 倍，這種表述依然是符合數(shù)學(xué)邏輯的。

最后，兩者所延伸出的概念也不同。 “倍數(shù)” 可以進(jìn)一步延伸出公倍數(shù)、最小公倍數(shù)等概念，而 “倍” 延伸出的概念則與比的概念緊密相連，如正方形的對角線與邊長之比是

在此基礎(chǔ)上， “比” 的學(xué)習(xí)又為之后中學(xué)要學(xué)習(xí)的斜率、三角函數(shù)、相似等知識打下重要基礎(chǔ)。

另一方面，兩個概念間也存在一些共同點。首先，無論是 “倍” 還是 “倍數(shù)” ，它們的形成都離不開測量對象和測量單位。倍數(shù)和因數(shù)相互依存， “倍” 連接倍數(shù)與因數(shù)，這兩個概念都不能獨立存在。不能說12 是倍數(shù)，必須描述清楚12 是3 的倍數(shù)或者12 是3 的4 倍。其次，兩者名稱相似，如果不加以區(qū)分，對于沒有學(xué)習(xí)過 “倍數(shù)” 概念的學(xué)生來說，極可能認(rèn)為這與 “倍” 是同一個概念，從而造成認(rèn)知障礙。最后，算式的呈現(xiàn)方式相同，兩個概念都可以使用除法或乘法算式來表達(dá)。比如，描述12是3的倍數(shù)時，可以用除法算式12÷3=4或者乘法算式3×4=12 來表達(dá)。描述12 是3 的4 倍時，同樣可以用除法算式12÷3=4或者乘法算式3×4=12來表達(dá)。

綜上所述，通過對 “倍” 的課程價值分析、 “用‘倍’看關(guān)系” 的學(xué)習(xí)活動設(shè)計以及 “倍” 與 “倍數(shù)” 概念的異同比較，可進(jìn)一步加深學(xué)生對 “倍” 的理解。 “倍” 不僅連接了觀察對象之間的關(guān)系，也發(fā)展了學(xué)生單位化的眼光。學(xué)生在關(guān)系中發(fā)展單位化的眼光，又用單位化的眼光理解關(guān)系，滿足了他們用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實世界、提升自身核心素養(yǎng)的要求。