螺帶式攪拌器內部流體仿真中的數學基礎理論應用與實踐

金賢河 李栗

摘要：文章采用仿真技術，以三維流體動力學為理論基礎，利用Simdroid平臺對螺帶式攪拌器的內部流體進行了數值模擬。通過對攪拌器內部流體進行動態(tài)分析和數學統(tǒng)計，得出了流體的速度場并對其進行了分析和解釋。數學基礎理論在螺帶式攪拌器內部流體仿真中具有重要的應用價值，能夠深入研究攪拌器內部的流體運動規(guī)律，為攪拌器的設計和改進提供更加科學的理論依據。

關鍵詞：數學基礎理論；螺帶式攪拌器；CAE仿真；流體分析；Simdroid平臺

doi：10.3969/J.ISSN.1672-7274.2024.04.022

中圖分類號：TH 16，TP 391.9? ? ? ? ? 文獻標志碼：A? ? ? ? ? ?文章編碼：1672-7274（2024）04-00-04

Application and Practice of Mathematical Basic Theory in Internal Fluid Simulation of Spiral Belt Stirrer

JIN Xianhe， LI Li

（School of Mathematics and Statistics， Liaoning University， Shenyang 110036， China）

Abstract： The article adopts simulation technology， based on three-dimensional fluid dynamics theory， and uses the Simdroid platform to numerically simulate the internal fluid of the spiral belt agitator. Through dynamic analysis and mathematical statistics of the fluid inside the agitator， the velocity field of the fluid was obtained and analyzed and explained. The basic mathematical theory has important application value in the internal fluid simulation of spiral belt agitators， which can deeply study the fluid motion laws inside the agitator and provide more scientific theoretical basis for the design and improvement of the agitator.

Keywords： mathematical basic theory; spiral belt mixer; CAE simulation; fluid analysis; simdroid platform

螺帶式攪拌器是一種常用的混合設備，其內部流體特性的研究受到了廣泛關注。相關研究成果表明，攪拌器內部流體的混合效果受到多種因素的影響，例如攪拌器的結構、轉速、物料性質等。流體在攪拌器內部的流動和混合是復雜的，需要運用數學模型進行仿真研究和實驗驗證。隨著科技的不斷發(fā)展，數值計算和仿真技術得到了廣泛應用，將計算機模擬的方法應用到攪拌器內部流體的研究中，已經成為一個重要的研究方向。

在研究過程中，探究攪拌器內部流體的運動規(guī)律和特點是非常重要的。而數學基礎理論和三維流體動力學模擬方法可大大提高對該設備內部流體的理解，能夠揭示流體混合過程中復雜的運動規(guī)律和物理機制。

國內外相關研究成果表明，在數學理論應用于流體仿真方面，已經取得了一些重要成果。例如，利用CFD技術，可以對流體在攪拌器內部的流動進行三維紊流計算，揭示流體的運動規(guī)律和特性。此外，采用數值計算方法可以對流場進行數學統(tǒng)計，得出流體的速度場、壓力場、溫度場等參數。

在螺帶式攪拌器內部流體特性的研究方面，國內外的研究者們做了不少工作。例如，廖澤楚[1]等人研究了新型結構的螺帶式攪拌器內的流動特性，得出了新型攪拌器結構在流體混合方面的優(yōu)缺點。曹陽[2]運用數值模擬和實驗驗證的方法，對螺帶式攪拌器內部流體的流動進行了研究，對功率消耗和混合效果等參數的變化規(guī)律也進行探究。

綜上所述，數學理論在流體仿真中有著廣泛的應用前景，在螺帶式攪拌器內部流體特性研究中發(fā)揮著越來越重要的作用。未來，隨著科技的不斷發(fā)展，研究者們還將進一步探索數學模型在攪拌器內部流體仿真中的應用，為混合設備的設計、運行和改進帶來新的科學和技術進展。

1? ?流體仿真中的數學基礎理論

1.1 流體力學理論

流體力學是研究流體運動規(guī)律和力學性質的學科，是流體仿真的基礎理論。對流體力學理論進行研究，可以建立流體運動的數學模型，提高流體仿真的準確性。

流體模型在計算過程中需要遵循幾個基本物理原理：質量守恒原理、動量守恒原理和能量守恒原理[3]。由基本物理原理得到流動控制方程：質量守恒方程（連續(xù)方程）、動量守恒方程、能量守恒方程。

（1）質量守恒方程。

得到? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1）

（2）動量守恒方程。

（2）

（3）能量方程。

（3）

1.2 解析幾何理論

解析幾何在CAE中的應用主要有三個方面：一是在設計準備階段，可以精確分析幾何圖形，了解不同形狀之間的互相關系，以及定義材料參數和迭代設計參數；二是在設計數據處理中，可以快速檢測幾何錯誤、重疊和縫隙等缺陷，并能夠根據物理原理和計算條件，預測表面張力分布等；三是在設計結果評估階段，可以根據幾何特征快速定量分析關鍵尺寸和重要參數，從而保證模型的正確性和有效性。

1.3 數值計算方法

流體仿真需要大量的計算，而數值計算方法提供了對流體力學方程的近似解法，擴展了流體仿真的應用范圍。

在流體仿真中，流體運動的控制方程一般為偏微分方程組，較為復雜的流動問題在目前還無法求解其精確解，只能通過相應的數值計算方法來分析[4]。而偏微分方程數值求解是流體仿真的核心，常用的離散化方法有有限元法、有限差分法、有限體積法等[5]。

有限元法對螺帶式攪拌器內部流體進行數值模擬的具體步驟如下。

①將攪拌器的幾何模型離散化為有限元網格。

②利用Navier-Stokes方程描述流體的運動，其矢量形式為：

（4）

使用歐拉法對方程進行求解，得到流場的速度和壓力分布。

③根據黏性流體本構方程和初始條件，求解方程組得到流體的運動狀態(tài)和力學特性參數。

④經過多次迭代計算，獲取穩(wěn)定收斂的數值解，得到最終的流場分布。

1.4 計算機模擬技術

計算機模擬技術為流體仿真提供了高效的手段，可以模擬各種流體現象和行為，通過仿真實驗快速驗證和改進設計方案，提高流體系統(tǒng)的性能，縮短設計周期。本次研究使用北京云道智造科技有限公司研發(fā)的自主可控的通用仿真平臺進行流體仿真模擬。此平臺具有CAD建模功能、網格剖分功能、求解分析功能、后處理功能與App開發(fā)功能。

綜上所述，數學基礎理論在流體仿真中具有不可替代的角色，它是流體仿真技術的核心要素之一，對于實現精確、高效、可靠的流體仿真具有至關重要的作用。

2? ?螺帶式攪拌器的CAE仿真

2.1 幾何建模

螺帶式攪拌器的葉片為螺帶狀，螺帶的數量為兩到三根，被安裝在攪拌器的螺桿上。螺帶式攪拌器的螺距決定了螺帶的外徑，螺帶的外徑與螺距相等。文中選擇的是兩根螺帶的螺帶攪拌器，內部結構圖見圖一，主要結構為中央螺桿、兩根螺帶以及外部罐身。三維螺旋線的螺距決定了兩條平行螺帶之間的距離。三維螺旋線的半徑決定了螺帶距離中央螺桿的半徑，設置不同的螺旋線半徑可以生成不同的螺帶組合。三維螺旋線的高度可以決定攪拌器葉片整體的高度。外部罐身兩旁有入口和出口，液體由入口進入，在罐內經過充分攪拌后經由出口段。

螺帶攪拌器各參數：罐身整體高度為1.3 m，半徑為0.5 m；入口高度為0.1 m，半徑為0.03 m；出口高度為0.1 m，半徑為0.05 m；內部螺旋桿半徑為0.015 m，高度為1 m，距離罐身為0.15 m；內部螺旋帶截面的半徑厚度為0.01 m，寬度為0.05 m，高度為1 m，螺距為0.3 m。如圖1所示。

2.2 劃分網格

網格劃分方法主要分為結構化網格劃分和非結構化網格劃分兩種。兩種網格劃分各有使用環(huán)境，主要根據網格區(qū)域內的毗鄰位點是否具有相同的毗鄰單元進行劃分。

結構化網格只能用于規(guī)則的形狀，因此不適用此建模。非結構網格設置具有靈活性，對復雜的結構處理結果更為準確，因此選用非結構網格設置對螺帶葉片以及罐身進行網格劃分。

由于螺帶葉片與流體接觸處速度場變化過于復雜，為了確保計算結果的準確性，對外部罐身約束網格尺寸為0.02 m，對內部葉片整體約束網格尺寸為0.01 m，最終得到網格單元總數為201萬個。

2.3 計算模型選擇

螺帶式攪拌器在工作的過程中涉及層流的穩(wěn)態(tài)單項流動，Simdroid平臺中提供了多種流體的流動分析。對于流體運動的描述分為層流和湍流兩種。層流應用于流體層與層之間互相沒有任何干擾，層與層之間既沒有質量的傳遞也沒有動量的傳遞。湍流應用于流體層與層之間相互干擾，且干擾的力度還會隨流動而增大，層與層之間既有質量的傳遞又有動量的傳遞。根據流體流動過程及流動過程中流體的物理參數是否與時間有關，可以將流體分為定常流動和非定常流動：流體運動過程中的物理量與時間無關為定常流動，也稱為穩(wěn)態(tài)流動。流體流動過程中某個或某些物理量與時間有關為非定常流動，也稱為瞬態(tài)流動。螺帶式攪拌器工作時的物理量與時間無關，所以為定常流動。

流體在仿真的過程中需要關注的性質有流體的黏性。黏性是流體在運動的狀態(tài)下所產生的抵抗剪切變形的性質。黏性大小是由黏度衡量的，流體的黏度主要有動力黏度和運動黏度之分。

動力黏度：，單位：Pa.s

運動黏度：，單位：

式中，τ為切應力，du/dy為流體的剪切變形速率。

其次還應該關注雷諾數，雷諾數是流體力學中最著名的無量綱數，是決定流動是層流還是湍流的參數。雷諾數的意義是流體的慣性力和黏性力之比，雷諾數從小到大的變化是黏性力逐漸減弱的過程。

（5）

式中，ρ為密度；V為流體流速；L為特征長度；μ為動力黏性系數。

2.4 邊界參數設置

在穩(wěn)態(tài)單向流模型中，流體從入口進入，在攪拌器內攪拌后從出口被壓出。因此入口處被設置成速度入口，進入速度為1 m/s，出口處被設置成壓力出口，其余罐面為無滑移壁面，螺帶葉片整體設置為旋轉壁面，繞z軸的旋轉速度為3 rad/s。初始場的速度設置為入口方向1 m/s。

2.5 仿真結果分析

2.5.1 流體仿真效果圖及分析

上述控制方程和邊界條件構成封閉的方程組，利用Simdroid平臺可計算得出結果模型的效果圖。

當內外螺帶半徑分別為0.2 m、0.4 m時，得出速度云圖、等值線圖、切面云圖、流線圖，分別如圖2～圖5所示。

流體仿真中的速度云圖代表流體在不同位置的速度大小及分布情況，使用不同顏色來表示流場不同位置的速度大小，圖2能夠很直觀地展示出流體在罐壁處的速度呈現出螺旋式的均勻變化。

流體仿真中的速度等值線圖通過連通等速線行程線條來表示速度分布，等值線表示在兩個點間流體速度相等的線，被等值線包圍的區(qū)域表明其中所有點的流體速度相等，圖3可以直觀看出螺帶與壁面之間的流體速度變化情況，螺線處的速度快而罐體邊緣處的速度緩慢。

螺帶式攪拌器內部流體的切面云圖可以說明在攪拌器運轉時，流體在不同位置的流速分布情況。能夠看出，在入口處以及螺帶外緣處的流體流速較快，而螺帶內側靠近螺桿處的流速相對平緩，可能造成攪拌不均，為工程師后續(xù)優(yōu)化設備設計和操作參數提供了一定的依據。

螺帶式攪拌器中流體的流線圖可以清楚地展示流體的流動軌跡，可以用來分析流體的流動情況、混合情況、受力情況等。圖5中流線在入口處淤積而在出口處稀疏，反映出可能存在的流體動力學問題，如不均勻的流速分布、流體的回流、漩渦等情況。

2.5.2 仿真結果對比分析

以流線圖為例，將對于不同螺帶半徑的流體仿真結果做對比分析。當內外螺帶半徑如表1所示時，所得的流線圖如圖6所示。

研究結果顯示，螺帶半徑對于攪拌器內部流動狀態(tài)的影響比較顯著。當外螺帶半徑為0.4 m，內螺帶半徑分別為0.2 m、0.25 m、0.3 m時，流體在攪拌器中的運動會呈現出較為復雜的漩渦運動，并且會出現流體卡頓等現象，導致攪拌效果不佳，并伴隨流體沉積等現象。當內外螺帶半徑較為接近時，如當內螺帶半徑為0.25 m，外螺帶半徑分別為0.35 m、0.3 m、0.25 m時，流體運動比較均勻，出現的漩渦也相對簡單，此時攪拌效果比較好，其中以外半徑為0.3 m，內半徑為0.25 m攪拌效果最佳。

3? ?結束語

在本文中，我們通過建立數學模型和進行數值模擬，采用仿真技術，以三維流體動力學為理論基礎，利用Simdroid平臺對螺帶式攪拌器內部流體運動規(guī)律進行了深入研究，通過對攪拌器內部流體進行動態(tài)分析和數學統(tǒng)計，得出如下結論。

（1）螺帶式攪拌器內部流體在螺帶外緣速度更快，在中心螺桿處速度較緩。同時，較小的螺帶半徑使流體流動更劇烈，較大的螺帶半徑因流體流速過慢易產生不均勻混合效應。

（2）螺帶半徑差值較大的攪拌器容易出現復雜的漩渦運動，同時出現流體卡頓、沉積等現象，攪拌效果并不理想。螺帶半徑相接近的攪拌器能夠取得較好的攪拌和混合效果，同時也具有較小的渦流。在進行了多組實驗并分析流線分布圖后得出結論：螺帶半徑分別為0.3 m、0.25 m時攪拌效果為最佳。

（3）本文對于螺帶式攪拌器的設計和優(yōu)化具有重要意義，能夠指導實際生產中的應用和改進。同時本文還展示了數學基礎理論在仿真工程上的應用，進而拓展到工業(yè)領域，可為進一步發(fā)展和完善這些技術提供有益參考。

雖然本文介紹的研究課題取得了一定的成果，但仍有許多問題需要我們進一步探究和解決。例如，我們沒有考慮流體的非牛頓性和非均勻性對攪拌器內部流動的影響；同時，我們也沒有對攪拌器內的氣體液體兩相流進行研究。這些問題仍值得我們在以后的研究中深入探討。

參考文獻

[1] 廖澤楚，高偉，劉磊，等．螺帶式混凝土攪拌器混合特性及DEM模擬[J]．過程工程學報，2019（4）：668-675.

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[4] 趙歡．粘彈性流體在雙層系統(tǒng)中的雙擴散對流線性穩(wěn)定性研究[D]．濟南：山東大學，2019.

[5] 劉晶．結構與非結構網格的生成、轉化及應用[D]．南京：南京理工大學，2006.