關(guān)于帶電粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)模型剖析

張海紅

【摘要】電磁問題是永恒的物理話題，人們對(duì)電磁的探索從發(fā)現(xiàn)電、發(fā)現(xiàn)磁，再到后來的發(fā)現(xiàn)電磁感應(yīng)，逐步推進(jìn).本文聚焦帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動(dòng)模型，沿著它的足跡發(fā)現(xiàn)磁場中的美麗曲線.

【關(guān)鍵詞】高中物理；帶電粒子；勻強(qiáng)磁場

法拉第電磁感應(yīng)的發(fā)現(xiàn)使人們第一次意識(shí)到電與磁并不是兩個(gè)獨(dú)立的物理學(xué)部分，從此電磁學(xué)應(yīng)運(yùn)而生.本文聚焦帶電粒子在不同勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動(dòng)軌跡，帶領(lǐng)大家感受磁場的獨(dú)特魅力，理解此類題目的解決步驟［1］.

1 直線邊界模型

例1 如圖1所示，一勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外，其邊界如圖中虛線所示，ab為半圓，ac、bd與直徑ab共線，ac間的距離等于圓的半圓的半徑.一束質(zhì)量為m，電荷量為qq>0的粒子，在紙面內(nèi)從c點(diǎn)垂直于ac射入磁場，這些粒子具有各種速率.不計(jì)粒子之間的相互作用.在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長的粒子，其運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（? ）

（A）7πm6qB.?? （B）5πm4qB.

（C）4πm3qB.? （D）3πm2qB.

問題分析 本題為典型的帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其中洛侖茲力提供向心力，使得粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng).面對(duì)這類題目，解題主要分為三步：確定圓心、明確半徑、求得時(shí)間.因粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，故粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間則與速度大小無關(guān)，而是由粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角決定，即t=θ2πT.根據(jù)這個(gè)思路，本題中需要找到運(yùn)動(dòng)軌跡所對(duì)應(yīng)的最大圓心角，通常這種情況下，會(huì)使用放縮法畫圖尋找［2］.

解析 分析題目，本題不是簡單的直線邊界模型，其中根據(jù)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的不同，粒子還會(huì)進(jìn)入半圓邊界之中，屬于直線邊界模型的變形題.此時(shí)可以假設(shè)以ab的一半長度為半徑畫圓，半徑為R，采用放縮法畫圖，如圖2.

粒子從c點(diǎn)垂直于ac射入磁場，故圓心必在ac直線上，可將圓的半徑從零開始逐漸放大，以0.5R、1.5R為界限進(jìn)行觀察，當(dāng)運(yùn)動(dòng)軌跡所在的圓周半徑r≤0.5R或者r≥1.5R時(shí)，粒子會(huì)在ac、bd區(qū)域垂直射出，這是由于粒子圓周運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性，粒子以多大的銳角θ射入磁場，就會(huì)以多大的銳角θ出磁場，此時(shí)磁場中粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡為半圓，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為半個(gè)周期；當(dāng)0.5R

此時(shí)的圓心角θ可以根據(jù)∠cae求出.Oc=2R，Oe為半圓弧邊界的半徑R，同時(shí)可以發(fā)現(xiàn)△Oae為等邊三角形，∠cae為△Oae其中一個(gè)角的補(bǔ)角，即θ=120°=23π，

說明運(yùn)動(dòng)的圓心角為θ=2π－23π=43π.

運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=θ2πT=43π2πT=23T.

再根據(jù)T=2πmqB代入，得出最長的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t=23T=23×2πmqB=4πm3qB，

故（C）選項(xiàng)正確，（A）（B）（D）選項(xiàng)錯(cuò)誤.

2 圓形邊界模型

例2 如圖3，直角坐標(biāo)系xOy平面內(nèi)，有一半徑為R的圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向里，邊界與x，y軸分別相切于a、b兩點(diǎn)，一質(zhì)量為m，電荷量為q的帶電粒子從b點(diǎn)沿平行于x軸正方向進(jìn)入磁場區(qū)域，離開磁場后做直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過x軸時(shí)速度方向與x軸正方向的夾角為60°，不計(jì)帶電粒子重力，下列判斷正確的是（? ）

（A）粒子帶正電.

（B）粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R.

（C）粒子運(yùn)動(dòng)的速率為3qBRm.

（D）粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為πm6qB.

問題分析 粒子離開磁場時(shí)的速度方向與x軸正方向的夾角為60°，根據(jù)這個(gè)特點(diǎn)，可以嘗試畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，洛倫茲力提供向心力，求半徑，算速度，根據(jù)運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角計(jì)算時(shí)間［3］.

解析 畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖4，因?yàn)榱Ｗ舆M(jìn)入磁場后向下偏移，所以粒子帶負(fù)電，（A）選項(xiàng)錯(cuò)誤；

畫軌跡后延長速度方向，對(duì)頂角相等，得到速度延長線與粒子入射方向夾角為60°，根據(jù)角度的幾何關(guān)系tan60°=rR，解得半徑r=3R.由r=mvqB可得速率為v=3qBRm，（B）選項(xiàng)錯(cuò)誤，（C）選項(xiàng)正確.

由圖中幾何間的關(guān)系可知圓心角為60°，所以運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=π32πT=16T=16×2πmqB=πm3qB，故（D）選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故答案選（C）.

3 結(jié)語

帶電粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)問題，解題時(shí)首先需要畫軌跡，確定圓心或者半徑，再利用帶電粒子在磁場中受洛倫茲力，其為粒子運(yùn)動(dòng)提供向心力，從而根據(jù)勻速圓周運(yùn)動(dòng)公式和牛頓第二定律求解時(shí)間、速率等問題.在此類問題的求解中，粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間與所對(duì)應(yīng)的圓心角有關(guān)，根據(jù)圓心角占總圓周的比例，再得出在周期中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間.

參考文獻(xiàn)：

［1］張偉.巧妙構(gòu)建帶電粒子在電磁場中運(yùn)動(dòng)問題的全景思維——基于江蘇省高考物理試卷壓軸題的變式拓展［J］.數(shù)理化解題研究，2023（31）：102-105.

［2］楊巧及.帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動(dòng)之邊界磁場［J］.數(shù)理化解題研究，2023（31）：95-97.

［3］劉定粉.帶電粒子在圓形或環(huán)形磁場中的運(yùn)動(dòng)賞析［J］.數(shù)理天地（高中版），2023（22）：2-3.