萬廣磊
超市里有些水果擺放成金字塔的形狀,從上往下數(shù),第一層有1個(gè),第二層有4個(gè),第三層有9個(gè),以此類推,如果是第n層,就有n2個(gè)蘋果(n≥1)。那么,把每一層的水果都加起來,一共有多少個(gè)蘋果呢?也就是計(jì)算12+22+32+…+n2,結(jié)果等于多少呢?
隨著學(xué)習(xí)的深入,我們會(huì)接觸到一個(gè)公式,即12+22+32+…+n2=[n(n+1)(2n+1)6],n≥1。怎么來證明這個(gè)公式的正確性呢?下面,我們通過圖形來探究一番。
方法一
我們先來驗(yàn)證12+22+32+42的結(jié)果。如圖1,我們用小正方體的個(gè)數(shù)來分別表示12、22、32、42,下方紅色的立體圖形是由對應(yīng)的上方白色的立體圖形拼接而來。
圖2—圖4中,小正方體的總量都可以表示12+22+32+42。
我們將圖2—圖4拼接在一起,得到圖5,加粗的黑色線條是拼接線。
將兩個(gè)圖5中的圖形再拼接,便得到圖6。
圖6是一個(gè)長方體,其體積可以表示為6(12+22+32+42)。我們再觀察,發(fā)現(xiàn)其高為4、長為9、寬為5,體積又可以表示為4×5×9,即公式中的4×(4+1)×(2×4+1)。所以6(12+22+32+42)=4×(4+1)×(2×4+1)。
我們?nèi)绻麑⑿≌襟w的數(shù)量增加至n個(gè),n≥4,按照圖1—圖6的方式拼接,最后可以得到一個(gè)高為n、長為(2n+1)、寬為(n+1)的長方體,該長方體的體積可以表示為n(n+1)(2n+1),又可以表示為6(12+22+32+…+n2),所以12+22+32+…+n2=[n(n+1)(2n+1)6]。
方法二
我們?nèi)匀幌葋眚?yàn)證12+22+32+42的結(jié)果。圖7中的立方體表示12+22+32+42。
我們準(zhǔn)備三個(gè)這樣的立方體,如圖8,將這三個(gè)立方體拼接到一起,得到圖9。
我們將圖9最上一層的小正方體整體橫切[12]的高度,如圖10,陰影部分是橫切掉的整體。
如圖11,將橫切下來的小立方體整體補(bǔ)位在圖10的最上一層,正好得到一個(gè)長方體。其長為5、寬為4、高為4+[12],體積可以表示為5×4×(4+[12])。該長方體的體積又等于3(12+22+32+42),即3(12+22+32+42)=5×4×(4+[12]),即6(12+22+32+42)=5×4×(8+1)=4×(4+1)×(2×4+1)。
我們?nèi)绻麑⑿≌襟w的數(shù)量增加至n個(gè),n≥4,按照圖7—圖11的方式拼接,最后可以得到一個(gè)寬為n、長為(n+1)、高為(n+[12])的長方體,該長方體的體積可以表示為n(n+1)(n+[12]),又可以表示為3(12+22+32+…+n2),所以12+22+32+…+n2=[n(n+1)(2n+1)6]。
以上兩個(gè)圖形的證明方法是不是給你豁然開朗的感覺?請同學(xué)們動(dòng)動(dòng)腦筋,思考還有沒有其他證明方法。
(作者單位:江蘇省南京市鼓樓實(shí)驗(yàn)中學(xué))