初中數(shù)學(xué)解題能力培養(yǎng)的基本措施

黃燕

摘要：初中階段是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的重要階段.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，采取有效措施加強(qiáng)學(xué)生解題能力的培養(yǎng)，會直接影響學(xué)生的數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)效果.基于此，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師需要采取有效的情景設(shè)計(jì)方式，充分激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并利用典型例題對學(xué)生進(jìn)行解題訓(xùn)練.通過“一題多解”“一題多變”等方式讓學(xué)生找到解題的樂趣，從而在解題教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，提高其運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).文章以一道中考試題為例，分析培養(yǎng)學(xué)生解題能力的有效措施.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；解題能力；培養(yǎng)；基本措施

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2024）11-0026-03

在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，比較普遍的現(xiàn)象是學(xué)生能夠聽懂教師課堂教學(xué)中相關(guān)例題的解題過程，但是在課后作業(yè)或練習(xí)過程中則無法順利完成類似問題的有效解決.這說明學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力存在嚴(yán)重的不足.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，解題本質(zhì)上是數(shù)學(xué)知識的實(shí)際應(yīng)用，因此解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心任務(wù)之一.通過提升學(xué)生的解題能力，能夠有效提升其學(xué)習(xí)效果.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需要采取有效措施培養(yǎng)學(xué)生解題能力，從而全面提升其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1 試題呈現(xiàn)

例題（2023年綿陽市中考數(shù)學(xué)第25題）如圖1所示，拋物線經(jīng)過△AOD的三個(gè)頂點(diǎn)，其中O為原點(diǎn)，A（2，4），D（6，0），點(diǎn)F在線段AD上運(yùn)動，點(diǎn)G在線段AD上方的拋物線上，GF∥AO，GE⊥DO于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)I，AH平分∠OAD，C（-2，-4），AH⊥CH于點(diǎn)H，連接FH.

（1）求拋物線的解析式及△AOD的面積；

（2）當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動到拋物線的對稱軸上時(shí)，求△AFH的面積；

（3）試探究FGGI的值是否是定值，如果是，求出該定值，如果不是，說明理由.

2 試題解析

本題以二次函數(shù)圖象為背景，主要考查待定系數(shù)法、二次函數(shù)的性質(zhì)、三角形面積、平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，這是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》規(guī)定的最基礎(chǔ)最核心的內(nèi)容［1］.本題涉及的知識點(diǎn)較多，圖形較為復(fù)雜，綜合性較強(qiáng)，具有較強(qiáng)的選拔性功能，是一道探究型的中考壓軸題.問題（1）相對較為簡單，但問題（2）（3）對學(xué)生而言具有一定的難度，學(xué)生需熟練掌握二次函數(shù)及基本圖形的相關(guān)性質(zhì)，能夠根據(jù)圖形的基本特征添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造相似三角形，然后利用相似三角形的性質(zhì)解決問題.

（1）根據(jù)已知條件，拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O，所以可直接設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx，a≠0.將點(diǎn)A（2，4），D（6，0）代入到拋物線解析式中可得4a+2b=4，

36a+6b=0，解得a=-12，b=3.由此可知，拋物線的解析式為y=-12x2+3x.

由點(diǎn)A（2，4），D（6，0）可知，OD=6，點(diǎn)A到OD的距離h=4，由三角形的面積公式可知△AOD的面積為S△AOD=12OD·h=12×6×4=12.

（2）由（1）可知，拋物線解析式為y=-12x2+3x，所以拋物線的對稱軸為直線x=3，所以當(dāng)點(diǎn)F在拋物線對稱軸上時(shí)，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為3，所以根據(jù)點(diǎn)A、F、D三點(diǎn)的橫坐標(biāo)就可以判斷出AFAD=14，所以AD=4AF.

如圖2所示，連接OC，OH.根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)可以得到OA在直線y=2x上，所以根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)（-2，-4）可以知A、O、C三點(diǎn)共線，且點(diǎn)A和點(diǎn)C關(guān)于O點(diǎn)對稱，所以可得OA=OC.因?yàn)锳H⊥CH，所以△AHC為直角三角形，根據(jù)直角三角形的相關(guān)性質(zhì)可以得到OC=OA=OH，所以∠AHO=∠OAH.由AH平分∠OAD可知∠OAH=∠DOH，所以∠DOH=∠OHA，所以O(shè)H∥AD.設(shè)OH到AD的距離為d，由（1）可知S△AOD=12，所以S△AOD=12AD·d=12，△AFH的面積可以表示為S△AFH=12AF·d.因?yàn)锳D=4AF，所以S△AFHS△AOD=14，所以S△AFH=3.

（3）如圖3所示，過點(diǎn)A作AL⊥OD于點(diǎn)L，過點(diǎn)F作FK⊥GE于點(diǎn)K，

由點(diǎn)A的坐標(biāo)（2，4）可得AL=4，OL=2，DL=4.根據(jù)勾股定理可得OA=25.因?yàn)锳L=LD=4，所以△ALD為等腰直角三角形，∠ADL=45°.又因FK⊥GE，所以∠KIF=∠EID=∠ADL=45°，所以設(shè)FK=IK=m.因?yàn)镚F∥OA，所以△AOL∽△GFK，所以GKAL=FKOL=FGOA，所以GK=2m，F(xiàn)G=5m，GI=3m，所以FGGI=5m3m=53（定值）.

3 一題多解

通過問題（3）的解題過程可以發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)行問題解答的過程中主要是通過構(gòu)造相似三角形的方式進(jìn)行求解的.通過輔助線OL和FK構(gòu)造了△AOL∽△GFK，從而根據(jù)△AOL三邊的長度判斷出FGGI=53（定值）.因此，可考慮應(yīng)用其他方式構(gòu)造相似三角形求解.

解法2如圖4所示，連接OH，過點(diǎn)A作AM⊥OD，交OD于L，交OH于M.由（2）可知OH∥AD，所以FI∥OM，因?yàn)锳M⊥OD，EG⊥OD，所以AM∥GI.因?yàn)镺A∥FG，所以△AOM∽△GFI，由相似三角形的性質(zhì)可得FGGI=AOAM.由點(diǎn)A的坐標(biāo)（2，4）可得AL=4，OL=2，DL=4，OA=25，所以△ALD為等腰直角三角形.因?yàn)镺H∥AD，所以△OLM∽△DLA，所以△OLM為等腰直角三角形，所以O(shè)L=LM，所以FGGI=AOAM=256=53（定值）.

“一題多解”是通過從不同角度對一個(gè)問題進(jìn)行思考，給出不同求解方法的策略.這樣的解題方式能夠有效拓展學(xué)生的思維模式，讓學(xué)生在解題過程中根據(jù)具體問題尋找更好的解題策略，從而提升其解題能力.

4 變式教學(xué)

變式在不改變原題條件的情況下，將問題（3）改編為：當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動到拋物線的對稱軸上時(shí)，求△FIG的面積.

解析根據(jù)已知可以知道△FIG的面積為S△FIG=12FK·IG=12m·3m=32m2，所以只需要得到m的值就可以對面積進(jìn)行計(jì)算.由問題（2）可知，當(dāng)點(diǎn)F處于拋物線的對稱軸上時(shí)，F(xiàn)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，由A（2，4），D（6，0）可以計(jì)算出直線AD的解析式為y=-x+6，所以點(diǎn)F的坐標(biāo)為（3，3）.由點(diǎn)A的坐標(biāo)可以計(jì)算出直線OA的解析式為y=2x.因?yàn)镺A∥GF，所以設(shè)直線GF的方程為y=2x+n，將F（3，3）代入可得直線GF的方程為y=2x-3，聯(lián)立y=2x-3，y=-12x2+3x，可得12x2-x-3=0.根據(jù)一元二次方程的求根公式可得x1=1+7，x2=1-7.因?yàn)辄c(diǎn)G在第一象限，所以點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為1+7，所以m=1+7-3=7-2，所以△FIG的面積為S△FIG=32m2=32（7-2）2=33-672.

與原題的問題（3）相比，這個(gè)變式更具難度，所涉及的知識點(diǎn)更多，綜合性更強(qiáng).通過變式教學(xué)的方式，能夠更好地讓學(xué)生將所學(xué)的知識運(yùn)用到解題實(shí)踐中，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，幫助其建構(gòu)系統(tǒng)的知識體系，從而提升學(xué)生對知識的應(yīng)用能力和解題能力[2].

5 結(jié)束語

在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，為提升學(xué)生的解題能力，教師可以采取“一題多解”的方式拓寬學(xué)生的解題思路，通過“變式教學(xué)”的方式引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行解題實(shí)踐，從而幫助學(xué)生建構(gòu)知識體系，提高其數(shù)學(xué)思維能力，提升其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

［1］ 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］．北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［2］ 丁素琴. 在思考中探索在拓展中創(chuàng)新：例談初中數(shù)學(xué)解題能力培養(yǎng)的基本措施[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2021（5）：49-50，58.

［責(zé)任編輯：李璟］