基于模糊超群構(gòu)建的Engel群及其性質(zhì)研究

閻熠 閆焱 張曉婷 王悅

文章編號：2096-398X2024）03-0203-06

（華北理工大學(xué) 理學(xué)院 河北省數(shù)據(jù)科學(xué)與應(yīng)用重點實驗室， 河北 唐山 063210）

摘 要：通過構(gòu)造滿足Engel遞減條件的模糊超群H，）上最小的等價關(guān)系，使得模糊超群關(guān)于等價關(guān)系構(gòu)建的商群等價類的集合）H/是一個Engel群，并通過等價關(guān)系的強正則性來刻畫該Engel群，最后引入模糊超群的-部分的概念，確定等價關(guān)系是可傳遞的充要條件.

關(guān)鍵詞：模糊超群；? 等價關(guān)系； 強正則關(guān)系； Engel群

中圖分類號：O152.7??? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

Research on Engel groups based on fuzzy hypergroupsand their properties

YAN Yi， YAN Yan， HANG Xiao-ting， WANG Yue

College of Science， Hebei ey Laboratory of Data Science and Application， North China University of Science and Technology， Tangshan 063210， China）

Abstract：By constructing the smallest equivalence relation ?on a fuzzy hypergroup H，） satisfying the Engel decreasing condition，the quotient group the set of equivalence classes） H/?constructed by the fuzzy hypergroup with respect to the equivalence relation is an Engel group，and the Engel group is characterized by the strong regularity of the equivalence relation.Finally，the concept of the -part of the fuzzy hypergroup is introduced，and the necessary and sufficient condition for the equivalence relation ?to be transitive is determined.

Key words：fuzzy hypergroup； equivalence relation； strong regular relation； engel group

0 引言

1934年，Marty［1］在第八屆Scandinavian數(shù)學(xué)家大會上引入了超群概念，將其作為群的推廣，他第一次將超群用于求解群、代數(shù)函數(shù)和有理分式的一些問題.模糊子集是adeh［2］在1965年作為集合的經(jīng)典概念的擴展引入的，而模糊代數(shù)結(jié)構(gòu)始于1971年Rosenfeld［3］引入的模糊子群.超群在模糊集和粗糙集理論方面均有應(yīng)用［4］，并與模糊半群、超環(huán)等有著密切聯(lián)系.

在代數(shù)超結(jié)構(gòu)理論中，超群利用某些等價關(guān)系來與經(jīng)典代數(shù)結(jié)構(gòu)理論相聯(lián)系，這些等價關(guān)系在兩種理論之間起著橋梁的作用［5］，更準(zhǔn)確地說，在超群上定義的等價關(guān)系β，使得超群與該等價關(guān)系的商結(jié)構(gòu)總是一個群.

近些年來，研究者對等價關(guān)系在超群、模糊超群以及拓?fù)涑荷线M(jìn)行了推廣和發(fā)展［6］.2012年，Ameri等［7］刻畫了一個給定的模糊半群的基本關(guān)系，并得到它的基本性質(zhì)，介紹和研究模糊超半群的完全部分的基本性質(zhì)，并給出了模糊超半群的完全部分與基本關(guān)系之間的關(guān)系；2013年，Aghabozorgi等［8］在超群上構(gòu)造等價關(guān)系v，使得商群H/v是一個冪零群；2014年，Ameri等［9］在超群上構(gòu)造等價關(guān)系ξ，使得商群H/ξ是一個Engel群；2015年，Mohammadzadeh等［10］在模糊超群上構(gòu)造等價關(guān)系ζ，使得商群H/ζ是一個可解群；2016年，Jafarpour等［11］在超群上構(gòu)造等價關(guān)系τ，使得商群H/τ是一個可解群；2016年，Nozari［12］研究了模糊超群上的基本關(guān)系β，并且研究了模糊超半群上的最小的強正則等價關(guān)系γ，使得H/γ是一個交換半群.

基于上述分析，本文在前人的研究基礎(chǔ)上，研究構(gòu)造了模糊超群H，）上新的等價關(guān)系，使得模糊超群關(guān)于新的等價關(guān)系構(gòu)建的商群H/是一個Engel群，并研究等價關(guān)系可傳遞的充要條件.通過這些工作，能夠更深入地了解模糊超群的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)，探討等價關(guān)系在聯(lián)系超結(jié)構(gòu)與經(jīng)典代數(shù)結(jié)構(gòu)上的作用，為模糊超群的發(fā)展提供更多的理論基礎(chǔ).

1 基礎(chǔ)知識

定義1［10］ 對于一個非空集合H，H的一個模糊子集μ是一個從H到實數(shù)區(qū)間［0，1］的函數(shù).設(shè)P*H）表示H所有非零模糊子集的集合，同時對于H的兩個模糊子集μ1和μ2，若稱μ1比μ2更小，記作μ1≤μ2，且對于x∈H，有μ1x）≤μ2x），由此定義：

μ1∨μ2）x）=maxμ1x），μ2x）（1）

μ1∧μ2）x）=minμ1x），μ2x）（2）

H上的一個模糊超運算是一個映射：H×HMT ExtraaA@PH），記作a，b）MT ExtraaA@ab=ab，則結(jié)構(gòu)H，）被稱為一個模糊超廣群.

定義2［13］ 若對于a，b，c∈H，ab）c=abc），取H的模糊子集μ，對于r∈H有：

aμ）r）=Vt∈Hat）r）∧μt）），μ≠00，μ=0（3）

μa）r）=Vt∈Hμt）∧ta）r）），μ≠00，μ=0（4）

則一個模糊超廣群H，）被稱為一個模糊超半群.

定義3［13］ 設(shè)μ，ν是模糊超半群H，）的兩個模糊子集，則對于t∈H，定義μν）t）= Vt∈Hμp）∧pq）t）∧νq））.

定義4［10］ 若對于x∈H，xH=Hx=χH，則一個模糊超半群H，）被稱為模糊超群，其中χH是H的特征函數(shù).

定理1［14］ 若H，）是一個模糊超群，則χaχb=ab，對a，b∈H均成立.

定義5［14］ 設(shè)ρ是一個在模糊超群H，）上的等價關(guān)系，ρH×H.則對任意的非空子集A和B，定義

AρBaρb（5）

其中a∈A，b∈B.

定義6［14］ 設(shè)ρ是模糊超群H，）上的一個等價關(guān)系，若ρ滿足

xρyaxρayxρyxaρya）（6）

則ρ被稱為在左邊右邊）強模糊正則的.若ρ在左邊、右邊均強模糊正則，則稱它為強模糊正則的.

考慮下列在商群H/ρ上的超運算，對aρ，bρ∈H/ρ：

aρbρ=cρ：a′b′）c）>0，aρa′，bρb′（7）

定理2［10］ 若H，）是一個模糊超半群，并且ρ是H上的等價關(guān)系.則有：

i）若H/ρ，）是一個超半群，則關(guān)系ρ在H，）上是模糊正則的;

ii）若H/ρ，）是一個半群，則關(guān)系ρ在H，）上是強模糊正則的.

2 模糊超群上的強正則關(guān)系n

在本節(jié)中，將構(gòu)造并分析定義在模糊超群H上的等價關(guān)系n，通過證明其強正則性使得商群H/n是一個Engel群.

定義7［13］ 若H，）是一個模糊超群，對k≥0有：

i）L0H）=H;

ii）Lk+1，sH）=t∈Hxs）r）>0，tsx）r）>0，其中x∈Lk，sH），r∈H.

定義8［9］ 在任意群G中，任意兩個元素x，y∈G的交換子被定義為［x，y］=tt∈x－1y－1xy.若AG，則有［A，y］=tt∈A－1y－1Ay，因此［［x，y］，y］=tt∈［x，y］－1y－1［x，y］y.

綜上所述，定義［x，ny］=［［x，n－1y］，y］= tt∈［x，n－1y］－1y－1［x，n－1y］y.且有，Ax= tt∈xAx－1.

定理3［10］ 若對n∈瘙綃，n，s=∪m≥1m，n，s，其中1，n，s是對角關(guān)系，則對m≥1，m，n，s是一個如下所定義的關(guān)系：

xm，n，syz1，…，zm）∈Hm（8）

σ∈Sm：若ziLn，sH），σi）=i，則

∏mi=1zix）=z1…zm）x）>0（9）

∏mi=1zσi）y）=zσ1）…zσm））y）>0（10）

其中Sm是一個m階的對稱群.

顯然，關(guān)系n，s是自反的和對稱的，稱n，s是n，s的傳遞閉包.

定理4［9］ 由于n，s是n，s的傳遞閉包，則對n∈，有βn，sγ.

定理5 對n∈，關(guān)系n，s是一個強正則關(guān)系.

證明：設(shè)對n∈，n，s是一個等價關(guān)系.若要證明n，s強模糊正則，則需要證明它在左邊和右邊均強模糊正則，即對x，y，z∈H：

xn，syxzn，syz，zxn，szy（11）

設(shè)xn，sy成立，則m∈，使得xm，n，sy成立.z1，…，zm）∈Hm，且有σ∈Sm：若ziLnH），σi）=i，使得

∏mi=1zix）>0，∏mi=1zσi））y）>0（12）

再令z∈H，對任意的r，u∈H，有xz）r）>0，yz）u）>0，即：

∏mi=1zizr）=Vp∏mi=1zi）p）∧pz）r）（13）

設(shè)p=x，則∏mi=1zizr）>0.由于當(dāng)ziLnH）時，σi）=i，有：

∏mi=1zσi）z）u）=Vq∏mi=1zσi）q）∧qz）u）（14）

再令q=y，則當(dāng)ziLnH），σi）=i時，有∏mi=1zσi））z））u）>0.

設(shè)zm+1=z，σ′∈Sm+1：

σ′i）=σi），i∈1，2，…，mm+1，i=m+1（15）

則對r，s∈H，

∏mi=1zir）>0，∏mi=1zσ′i）u）>0（16）

當(dāng)ziLn，sH）時，σ′i）=i.

若xn，sy，則k∈，使得x=u0，u1，…，uk=y

∈Hk+1，即

x=u0n，su1n，s…n，suk=y（17）

由此可得

xz=u0zn，su1zn，s…n，sukz=yz（18）

即xzn，syz.同理可得zx[n，szy.綜上所述，n，s在模糊超群H上是一個強正則關(guān)系.

證畢.

定理6 對n∈，有n+1，sn，s.

證明：令xn+1，sy，則

z1，…，zm）∈Hm（19）

此時σ∈Sm：若ziLn，sH），σi）=i，使得∏mi=1zix）>0，∏mi=1zσi）y）>0，再令σ1=σ，則有Ln+1，sH）Ln，sH），即得n+1，sn，s.

證畢.

推論1 若H，）是交換模糊超群，則有β=n，s=v=γ.

定義9［9］ 設(shè)G是一個群，對任意的y∈G，i∈0，1，…的子群i，yG），有下列性質(zhì)：

0，yG）=e，1，yG）=〈x∈G;［x，y］=e〉（20）

k，yG）=〈x∈G;［x，ky］=e〉，同時，對于一個固定點s∈G，定義L0，sG）=G，且

Lk+1，sG）=［x，s］，x∈Lk，sG）（21）

根據(jù)上述定義，可以得到下列推論.

推論2 一個群G是n-Engel的，當(dāng)且僅當(dāng)對y∈G，n，yG）=G.

定理7［10］ 若H，）是一個模糊超群，且ρ是H上的一個強模糊正則關(guān)系，則對一個固定點s∈H，有：

Lk+1，sH/ρ）=［t，s］t∈Lk，sH）（22）

其中s是s相對關(guān)系ρ的類.

推論3 H/n，s是一個n-Engel群.

證明：設(shè)G=H/n，s.下證對s，有

Ln+1－i，sG）i，sG）（23）

設(shè)i=0，則有Ln+1，sG）0，sG）=e.根據(jù)定理7，可得Ln+1，sH/ρ）=e.再令a∈Ln－i，sG），由于a∈Ln－i，sG），所以［a，s］∈Ln+1－i，sG）.根據(jù)歸納假設(shè)，Ln+1－i，sG）i，sG）.因此［［a，s］，is］=e，即a∈i+1，sG）.設(shè)i=n+1，所以

Ln+1－n+1），sG）=n+1），sG）（24）

對于任意的s均成立，由此可得對于任意的s，有L0，sG）=n+1，sG）.所以G=n+1，sG），即G是n-Engel的，H/n，s是一個n-Engel群.

證畢.

3 基于滿足Engel遞減條件的模糊超群構(gòu)建的Engel群

在本節(jié)中，將構(gòu)造并分析定義在滿足Engel遞減條件的模糊超群H，）上最小的等價關(guān)系，通過證明其強正則性使得H/是一個Engel群.

定義10［10］ 設(shè)H，）是一個有限模糊超群，s∈H，則定義H上的關(guān)系：

=∩n≥1n，s（25）

定理8［10］ 模糊超群H，）上的等價關(guān)系ρ被稱為Engel的，當(dāng)且僅當(dāng)其構(gòu)建的商群H/ρ是一個Engel群.

定理9［9］ 若存在整數(shù)k≥0，則模糊超群H，）在Engel遞減條件EDC）下滿足：對n≥k，有n，s=.

定理10 關(guān)系是滿足EDC條件的模糊超群H，）上的強正則關(guān)系，使得H/是一個Engel群.

證明：由于=∩n≥1n，s，n，s是H，）上的強模糊正則關(guān)系，則也是H上的強模糊正則關(guān)系.根據(jù)定理9，在Engel遞減條件EDC）下：對n≥k，有n，s=，則對m∈，H/=H/m，s，即H/是一個Engel群.

證畢.

推論4 關(guān)系是在有限模糊超群H，）上定義的強模糊正則關(guān)系，使得H/是一個Engel群.

證明：由于=∩n≥1n，s，n，s是強模糊正則關(guān)系，則是H，）上的強模糊正則關(guān)系.則k∈，使得k+1，s=k，s，即=k，s，根據(jù)k的任意性可知，H/k是Engel群，則H/也成為有限模糊超群H，）上的Engel群.

證畢.

引理1［9］ 對于有限群，Engel條件等價于冪零性.

推論5 關(guān)系是有限模糊超群H，）上最小的強模糊正則關(guān)系，使得H/是一個Engel群.

4 強正則關(guān)系的傳遞性條件

在本節(jié)中，將介紹模糊超群H，）上的-部分，并定義關(guān)系可傳遞的充要條件.

定義11［9］ 設(shè)X是模糊超群H，）的一個非空子集.若滿足下列條件，則稱X為H，）的-部分：對k∈，z1，…，zm）∈Hm，且對σ∈Sm，若zi∪n≥1Ln，sH），使得σi）=i，對于x∈H和y∈H/X，有：

∏mi=1zix）>0，∏mi=1zσi）y）>026）

定理11［15］ 設(shè)X是模糊超群H，）的一個非空子集，則下列性質(zhì)是等價的：

i）X是H的-部分;ii）x∈X，xyy∈X;iii）x∈X，xyy∈X.

定理12 下列條件是等價的：i）對于x∈H，x）是H的-部分;ii）是可傳遞的.

證明：i）ii））設(shè)xy，則

z1，…，zm）∈Hm，使得x=z0z1…zm=y，由于對0≤i≤m，zi）都是一個-部分，則當(dāng)i∈［0，m］時，有zi∈zi－1），即y∈x），由此可得xy;ii）i））設(shè)x∈H，z∈x），則有zy;利用的傳遞性，有y∈x），再由x∈H，可得y∈X，即x）是H的-部分.

證畢.

定義12［10］ 包含所有A的-部分的交集稱為A在H，）中的-閉包，記作A）.下面定義集合MA），其中A為H，）的非空子集：

i）M1A）=A;

ii）Mn+1A）=x∈Hz1，…，zm）∈Hm，∏mi=1zix）>0，σ∈Sm，若zi∪n≥1Ln，sH），

σi）=i，且a∈MnA），∏mi=1zia）>0.由此可定義MA）=∪n≥1MnA）.

定理13 對于模糊超群H，）的任意非空集合，有下列性質(zhì)：

i）MA）=A）;ii）A）=∪a∈Aa）.

證明：i）由于A）是包含A的所有-部分的交集，設(shè)∏mi=1zia）>0，σ∈Sm，使得若zi∪n≥1LnH），σi）=i.n∈，a∈MnA），有∏mi=1zia）>0，因此t∈H，有∏mi=1zσi）t）>0，由此可得t∈Mn+1A），再由MA）=∪n≥1MnA），可得t∈MA）.由于n是任意的，所以可得MA）是一個-部分.根據(jù)定理12，可以得到若AB，B是一個-部分，則MA）B.設(shè)MnA）B，令z∈Mn+1A），則k∈，z1，…，zm）∈Hm，使得∏mi=1ziz）>0，σ∈Hm，當(dāng)zi∪n≥1Ln，sH）時，σi）=i，此時t∈MnA），使得∏mi=1zσi）t）>0，由于MnA）B，則t∈B，綜上所述，B是一個-部分，則z∈B，即MA）=A）.

ii）令a∈A，a）A），由i）可知A）=∪n≥1MnA），由于M1A）=A=∪a∈Aa，由此可得對n∈，有MnA）=∪a∈AMna），則取z∈Mn+1A），k∈，z1，…，zm）∈Hm，有∏mi=1ziz）>0，且σ∈Hm，使得若zi∪n≥1Ln，sH），σi）=i，則a∈MnA），使得∏mi=1zσi）a）>0.根據(jù)n的任意性，則a∈MnA）=∪b∈AMnb），即對a′∈Mnb），b∈A，有∏mi=1zσi）a′）>0.因此z∈Mn+1b），由此可得Mn+1A）∪b∈AMn+1b），即A）=∪a∈Aa）.

證畢.

推論6 模糊超群H，）上的等價關(guān)系M對x，y）∈H2滿足：

xMyx∈My），

其中My）=My）.

證明：顯然，M是自反的和傳遞的，下證M為對稱的，則相當(dāng)證明：

i）對于n≥2，x∈H，有MnM2x）） =Mn+1x）;

ii）當(dāng)且僅當(dāng)y∈Mnx）時，x∈Mny）.

設(shè)a∈MnM2x）），則∏mi=1zia）>0，且σ∈Sm，使得當(dāng)zi∪n≥1Ln，sH）時，σi）=i，且有y∈M2x），∏mi=1zσi）y）>0.

設(shè)MnM2x））=Mn+1x），則Mn+1M2x））= am，z1，…，zm）∈Hm，∏mi=1zia）>0，σ∈Sm，若zi∪n≥1Ln，sH），σi）=i，則t∈MnM2x）），∏i=1zσi）t）>0，由此可得，當(dāng)且僅當(dāng)y∈M2x）時，x∈D2y）.

設(shè)當(dāng)且僅當(dāng)y∈Mnx）時，x∈Mny），再設(shè)x∈Mn+1y），則有m∈，使得z1，…，zm）∈Hm，此時σ∈Sm，若zi∪n≥1Ln，sH），σi）=i，且∏mi=1zσi）t）>0，由此可得，t∈M2x）.由于t∈Mny），根據(jù)假設(shè)y∈Mnt），可得t∈M2x），因此y∈MnM2x））=Mn+1x）.

證畢.

定義13［16］ 若H，）是一個模糊超群，則H/是一個群，定義映射ψ：H→H/是一個典范投射.令1為群H/的單位元，集合ψ－11）被稱為H，）的ψ-heart，記作ω.

定理14 若H，）是一個模糊超群，G是H的一個非空子集，有：

i）ψ－1ψG））=x∈H：ωG）x）>0=x∈H：x）ωG）>0;ii）若G是H的一個-部分，則ψ－1ψG））=G.

引理2 設(shè)H，）是一個模糊超群，H1H為H的一個模糊子超群，則具有以下性質(zhì)：

i）ab）c=abc），對a，b，c∈H;ii）aH1=χH1，對a∈H1.

推論7 ω是H，）的最小模糊子超群，也是H，）的-部分.

證明：設(shè)ω是H，）的模糊子超群，則對任意的a，b，c∈ω，ab）c=abc）.

取x，y∈ω，z∈H，使得zy）x）>0，因此zy=x，即z=1，由此可得z∈ω，則對于y∈H，有ωy=χω.

下證H1x）=ωθ，由于z∈ψ－1ψx）），則有ψz）=ψx），從而z）=x），即zx.再由z∈z），得z∈θz）=ωx）=H1x）.

由此可得，若x∈ω，則有H1x）=ω，這表明ω是H的-部分.綜上所述，ω是H的最小模糊子超群，也是H的-部分.

證畢.

5 結(jié)論

本文基于模糊超群構(gòu)造了一種強正則的等價關(guān)系，證明了滿足Engel遞減條件的模糊超群H，）關(guān)于該等價關(guān)系構(gòu)建的商群H/是一個Engel群.最后，引入模糊超群的-部分的概念，確定了該等價關(guān)系傳遞性的充要條件.

證實了可以在模糊超群上構(gòu)建出Engel群，為研究刻畫有限群的性質(zhì)結(jié)構(gòu)提供了新的思路和方法.

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【責(zé)任編輯：陳 佳】

基金項目：國家自然科學(xué)基金項目12171137）

作者簡介：閻 熠（2000—），男，山東德州人，在讀碩士研究生，研究方向：群的推廣

通訊作者：閆 焱（1979—），女，河北唐山人，教授，研究方向：環(huán)與代數(shù)，yanhblg@163.com