薄壁桿件屈曲模態(tài)分析的力特征約束有限條法

金聲 李政 趙國(guó) 黃浩 向陽(yáng) 李占杰

DOI：?10.11835/j.issn.2096-6717.2022.024

收稿日期：2021?08?01

基金項(xiàng)目：國(guó)家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃（2019YFD1101003）；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)項(xiàng)目（2019CDXYTM0032）

作者簡(jiǎn)介：金聲（1975-?），男，博士，副教授，主要從事薄壁結(jié)構(gòu)計(jì)算理論研究，E-mail：civiljs@cqu.edu.cn。

Received： 2021?08?01

Foundation items： National Key Research and Development Program （No. 2019YFD1101003）; Fundamental Research Funds for the Central Universities （No. 2019CDXYTM0032）

Author brief： JIN Sheng（1975-?）， PhD， associate professor， main research interest： thin-walled structures， E-mail： civiljs@cqu.edu.cn.

摘要：整體、畸變、局部等基本變形模式的劃分是條理化開(kāi)展薄壁桿件工程計(jì)算的必要手段。薄壁桿件的基本變形模式傳統(tǒng)上基于簡(jiǎn)化應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，采用變形、應(yīng)變等幾何特征進(jìn)行定義，不利于因應(yīng)復(fù)雜化應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。提出一套完全基于力特征和正交完備性原則的基本模式定義。與廣義梁理論和約束有限條法相比，提出的整體、畸變、局部3種基本變形模式關(guān)于剛度嚴(yán)格正交，且完整覆蓋薄壁桿件全變形域?；谠摱x實(shí)現(xiàn)了針對(duì)薄壁桿件有限條模型的屈曲模態(tài)分解和識(shí)別。算例表明，提出的基本模式定義和屈曲模態(tài)分析方法具有開(kāi)、閉口和折、曲線形截面的一致適應(yīng)能力，剪應(yīng)變和橫向伸縮的影響在基本屈曲模式中得到合理表達(dá)，曲線形截面薄壁構(gòu)件具有與多邊形截面薄壁構(gòu)件一致的整體、畸變和局部屈曲機(jī)理。

關(guān)鍵詞：薄壁構(gòu)件；屈曲；有限條法；約束有限條法；屈曲模態(tài)；廣義梁理論

中圖分類(lèi)號(hào)：TU311.2；TU391 ????文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ????文章編號(hào)：2096-6717（2024）02-0100-08

A force-based constrained finite strip method for buckling modal analysis of thin-walled members

JIN Sheng¹，?LI Zheng¹，?ZHAO Guo¹，?HUANG Hao¹，?XIANG Yang²，?LI Zhanjie³

（1. School of Civil Engineering; Key Laboratory of New Technology for Construction of Cities in Mountain Area， Ministry of Education， Chongqing University， Chongqing 400045， P. R. China；?2. General Research Institute of Architecture & Planning Design Co.， Ltd.， Chongqing University， Chongqing 40045， P.R. China；?3. Department of Engineering， SUNY Polytechnic Institute， Utica 13502， USA）

Abstract： The separation and categorization of the basic “global （G）， distortional （D）， and local （L）”?mode classes are necessary for systematical analysis and design of thin-walled members. This paper proposes a new set of basic mode definitions totally based on the orthogonal completeness principle and the force characteristics， which distinguish from the conventional deformation/strain shape-based definitions and are more compatible with complex stress-strain relationships. In contrast to the current general beam theory （GBT） and constrained finite strip method （cFSM）， the proposed G， D， and L classes span the entire deformation space of the thin-walled member， and are strictly orthogonal to each other with respect to the stiffness of the member. Buckling mode decomposition and identification according to the proposed definitions are realized based on finite strip models of thin-wall members. Numerical validations confirm the applicability of the proposed method to open/closed polygonal/curved cross-sections， and effects from shear and transverse extension deformations can be reasonably accommodated in the GDL classes. Further， the G， D， and L buckling mechanisms of curved cross-sections are consistent with those of the polygonal ones.

Keywords： thin-walled members；?buckling；?finite strip method；?constraint finite strip method；?buckling modes；?generalized beam theory

正如“拉、彎、扭”等基本模式的劃分，建立實(shí)體截面桿件的材料力學(xué)計(jì)算脈絡(luò)劃分薄壁桿件的“整體（G）、畸變（D）、局部（L）”等基本模式是條理化開(kāi)展其工程分析的必要措施。例如，為確定薄壁桿件的穩(wěn)定性能，注意到不同模式失穩(wěn)的屈曲機(jī)理差異顯著，而缺陷、屈曲后、材料彈塑性等因素對(duì)不同失穩(wěn)模式的影響方式和作用效果也各不相同，因此對(duì)G、D、L等基本屈曲模式的界定尤為必要；在北美^[1]、澳大利亞^[2]和中國(guó)^[3]得到廣泛研究和應(yīng)用的直接強(qiáng)度法（DSM）^[4]就是直接基于這3種屈曲臨界力確定穩(wěn)定承載力的。薄壁構(gòu)件的臨界力等計(jì)算需綜合考慮梁理論和板理論，因此難以建立具有普遍適應(yīng)性的解析方法。采用殼單元的有限元法雖可得到滿(mǎn)意的屈曲結(jié)論，但需在其耦合多種基本變形的大量屈曲解中尋找所需要的屈曲模式類(lèi)別，較為繁瑣且易發(fā)生誤判。通過(guò)限定變形沿桿長(zhǎng)的函數(shù)，有限條法（FSM）^[5]極大簡(jiǎn)化了一般殼有限元的模型和結(jié)論；特別地，所得到的有限條特征曲線（signature curve）以?xún)蓚€(gè)極小值點(diǎn)給出了DSM等穩(wěn)定承載力計(jì)算所需的局部和畸變屈曲結(jié)論。利用了不同類(lèi)別屈曲臨界波長(zhǎng)具有差異性這一屈曲特點(diǎn)，但未揭露它們屈曲機(jī)理的差異性，且并不總是有效^[6]。

廣義梁理論（GBT）^[7-9]受到經(jīng)典梁理論中彎曲與扭轉(zhuǎn)模式特點(diǎn)（尤其是橫截面正應(yīng)變場(chǎng)間正交特點(diǎn)）的啟發(fā)，通過(guò)推廣，在板件數(shù)量多于3的薄壁桿件中導(dǎo)出橫截面正應(yīng)變場(chǎng)正交于彎、扭的畸變變形模式。鑒于基本模式定義對(duì)于建立實(shí)用桿件理論的基礎(chǔ)性作用，GBT被視為薄壁桿件的基本“理論”而不僅僅是一種“方法”^[10]。例如，?dány等^[11]將GBT模式定義引入FSM，提出約束有限條法（cFSM）實(shí)現(xiàn)對(duì)屈曲模式的客觀選擇和識(shí)別。GBT的G、D基本模式定義直接繼承和發(fā)展自Euler-Bernoulli梁理論和Vlasov的開(kāi)口薄壁梁扭轉(zhuǎn)理論，經(jīng)典梁理論與用于處理截面變形的板理論間的協(xié)調(diào)性值得探討：例如，經(jīng)典梁理論中，不同模式（如彎曲和扭轉(zhuǎn)）變形關(guān)于桿件剛度正交，但GBT基本模式只關(guān)于部分剛度正交，會(huì)使分析中產(chǎn)生額外的耦合項(xiàng)。又如，剪應(yīng)變和橫向伸縮對(duì)各類(lèi)屈曲存在一定影響，但在GBT的G、D、L模式中假定為零，帶來(lái)閉口截面桿件扭轉(zhuǎn)變形分類(lèi)的困難^[12]，并在考慮較完整本構(gòu)的有限元或有限條模型中造成顯著的約束效應(yīng)和偏高的臨界力結(jié)論^[13]；特別地，傳統(tǒng)上應(yīng)用于多邊形截面的GBT模式定義不可應(yīng)用于曲線形薄壁截面^[14]。針對(duì)上述問(wèn)題，Jin等^[15]提出了一套不同于GBT的模式定義，并基于FSM實(shí)現(xiàn)了一種新的約束有限條法fFSM。fFSM將傳統(tǒng)模式定義中易致“過(guò)約束”的部分變形特征規(guī)定替換為力特征規(guī)定。例如對(duì)于L模式，繼承了傳統(tǒng)上中線向平移為零這一變形特征規(guī)定，但對(duì)于G和D，則從力的角度做出規(guī)定：G、D模式是僅作用于中線方向的力荷載所致變形，這使得L與GD模式間關(guān)于考慮任意線性本構(gòu)的桿件剛度嚴(yán)格正交。雖然Jin等^[15]在G、D模式中引入了剪應(yīng)變的影響，但橫向伸縮的影響未得到協(xié)同考慮，單列為E模式；此外，為滿(mǎn)足模式分解的完備性，還補(bǔ)充了翹曲模式X。但E和X模式并未展現(xiàn)獨(dú)立的工程應(yīng)用意義，反而造成其方法的冗長(zhǎng)和低效。一直以來(lái)，曲線形截面和多邊形截面的模式定義在GBT中無(wú)法得到統(tǒng)一^{[14， 16-17]}，Jin等^[15]借助曲線形截面的切線方向解決這個(gè)問(wèn)題，但這也凸顯了兩類(lèi)截面模式定義在自由度處理上的對(duì)立性。

利用新的力特征定義，在G、D模式中不僅引入剪應(yīng)變影響，同時(shí)引入?yún)f(xié)同橫向伸縮，僅需G、D、L即可完整覆蓋薄壁構(gòu)件全變形域，從而大幅簡(jiǎn)化實(shí)現(xiàn)的方法，并拓展其適用范圍。對(duì)于采用多邊形擬合的曲線形截面薄壁構(gòu)件，該方法也無(wú)須借助額外切線方向的定義，實(shí)現(xiàn)了曲線形截面和多邊形截面各屈曲模式內(nèi)在機(jī)理的理論一致性。

1 模式定義

由m個(gè)平板件構(gòu)成的開(kāi)口多邊形薄壁截面如圖1所示，采用n個(gè)單元離散，節(jié)點(diǎn)數(shù)量為n+1，其中交點(diǎn)數(shù)量為m-1。在GBT和cFSM中，該截面的G和D模式總自由度數(shù)量同主節(jié)點(diǎn)（即交點(diǎn)和開(kāi)口端節(jié)點(diǎn)）數(shù)量，計(jì)m+1。文獻(xiàn)[15]的fFSM采用不同的G和D定義：G和D是橫截面中線向力作用下的變形，并保持零橫向伸縮。對(duì)于圖示截面，作用于各節(jié)點(diǎn)的中線向力具有m+n個(gè)取值自由度（每個(gè)交點(diǎn)考慮兩個(gè)中線向平移自由度，其他節(jié)點(diǎn)考慮一個(gè)），扣除n個(gè)單元的橫向伸縮變形自由度，因此，GD模式共m個(gè)自由度，比GBT/cFSM的GD模式自由度數(shù)量少1，原因是并未包含GBT軸向伸縮模式，文獻(xiàn)[15]發(fā)現(xiàn)，這對(duì)GD模式屈曲分析結(jié)果的影響可忽略。

GBT定義整體和畸變模式的原則之一，是各板件的面外變形由面內(nèi)變形所帶動(dòng)，fFSM對(duì)GD模式的中線向力限定繼承了這一原則，但文獻(xiàn)[15]對(duì)GD的零橫向伸縮假定有必要予以解除。根據(jù)薄壁桿件中、長(zhǎng)半波屈曲變形（以畸變和整體變形為主）的彈性力分布特點(diǎn)，本文采用一個(gè)力特征規(guī)則取代零橫向伸縮規(guī)則：對(duì)于GD模式，規(guī)定中線向的力在每一平板件的橫截面上是均勻施加的，如圖2所示。這個(gè)力特征的規(guī)定不再?gòu)?qiáng)行約束橫向伸縮，而就GD的自由度而言，每一板件具有一個(gè)中線向力的取值自由度，共計(jì)m個(gè)。

對(duì)于閉口或含閉室的薄壁截面，在GBT和cFSM中需引入額外的整體變形模式以考慮閉室的扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)變。本方法因不作零剪應(yīng)變假設(shè)，無(wú)須額外處理，參見(jiàn)文獻(xiàn)[15]。

綜上，提出模式定義原則1：GD模式是橫截面中線向力作用下的變形，在任一板件橫截面上，中線向力是均勻的。

G和D模式通過(guò)拆分GD模式空間得到。文獻(xiàn)[15]通過(guò)在GD模式的切向平移上應(yīng)用“剛周邊”原則得到G，但該原則限制了橫向伸縮，現(xiàn)放棄這一變形特征規(guī)定。先采用力特征原則定義D模式，再利用正交規(guī)則導(dǎo)出G模式。

GBT的D模式是由正交于截面拉、彎、扭正應(yīng)變場(chǎng)的特定正應(yīng)變場(chǎng)導(dǎo)出的^[18]。溯源GBT關(guān)于D的最初理念^{[7， 9]}，在橫截面上，其正應(yīng)力和剪應(yīng)力分別是自平衡的。鑒于此，提出模式定義原則2：作用在D模式一個(gè)橫截面上的中線向力是自平衡的。

上述兩個(gè)原則中，以關(guān)于力的兩個(gè)假定“軸向外力為0、橫向外力均勻”分別替換傳統(tǒng)的零剪應(yīng)變和零橫向伸縮假定，各板件彎曲及拉壓時(shí)所協(xié)同發(fā)生的剪應(yīng)變和橫向伸縮在GD和D模式中得以引入，因此，不必專(zhuān)門(mén)定義相應(yīng)模式，只需G、D、L 這3種基本模式即可，即本文的模式定義原則3：G、D和L模式覆蓋薄壁桿件全變形域。

G模式可根據(jù)其與D的正交性得到，而L則根據(jù)其與GD的正交性得到。有必要對(duì)正交的力學(xué)意義予以明確。GBT諸模式的正交原則并不統(tǒng)一，其G、D、L模式之間關(guān)于中面翹曲子剛度C^M（薄壁中面翹曲相關(guān)，見(jiàn)文獻(xiàn)[19]）正交，但它們與剪切模式之間關(guān)于子剛度D^M（文獻(xiàn)[19]，中面剪切相關(guān)）正交，而與橫向伸縮模式之間的正交性則不可考。本文沿用Euler-Bernoulli和Vlasov經(jīng)典梁理論基本變形模式（如：拉、彎、扭）間的正交原則，即模式定義原則4：G、D、L之間關(guān)于桿件剛度正交。

2 對(duì)薄壁桿件有限條模型的約束算法

有限條法采用縱向條單元離散薄壁桿件，如圖3所示。為得到有限條特征曲線，每個(gè)節(jié)點(diǎn)（即條單元的一條側(cè)邊）考慮3個(gè)平移自由度和一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，它們沿桿長(zhǎng)的分布為單半波的三角函數(shù)。關(guān)于有限條法的詳細(xì)說(shuō)明可參考文獻(xiàn)[20]。

在整體坐標(biāo)系X-Y-Z中，薄壁構(gòu)件有限條模型的整體剛度方程為

式中：位移列向量Δ元素?cái)?shù)量為4k（k為節(jié)點(diǎn)數(shù)），包括各節(jié)點(diǎn)的X、Y、Z向平移U、V、W及Y向轉(zhuǎn)角θ；荷載列向量P是相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)力N_X、N_Y、N_Z及力矩M；K_e是桿件的彈性剛度矩陣。

2.1 GD模式

有限條模型的荷載是定義在節(jié)點(diǎn)上的。將GD 模式荷載定義（圖2）中的均布力等效為節(jié)點(diǎn)力，以隸屬于板件的節(jié)點(diǎn)j為例，作用在板件i橫截面上集度為q_i的均布中線向力等效到節(jié)點(diǎn)j的集中力為

式中：A_j（i）為板件i中所有毗鄰節(jié)點(diǎn)j的單元總截面積；方位角α_i是在Y正平面上從X向到板件i截面中線方向的逆時(shí)針轉(zhuǎn)角。

將方程（2）應(yīng)用于所有節(jié)點(diǎn)并綜合，得到GD模式變形的外荷載列向量P^GD

式中：q_W為各板件中線向力集度q₁，q₂…q_m所構(gòu)成的列向量，這表明GD模式荷載的取值具有m個(gè)自由度。4k行m列變換矩陣J^GD中各元素根據(jù)方程（2）描述的關(guān)系確定。

2.3 D模式

D模式是在GD模式基礎(chǔ)上進(jìn)一步定義得到，要求所施加的中線向力是自平衡的，即

式中：α是各板件中線方位角α₁，α₂…α_m所組成的列向量，r是從原點(diǎn)到各板件的距離r₁，r₂…r_m（以其中線方向繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正）所組成的列向量，對(duì)角矩陣A以各板件的橫截面積A₁，A₂…A_m為對(duì)角線元素。

當(dāng)構(gòu)件中的板件不小于3個(gè)，或者說(shuō)，有限條模型包含至少3個(gè)中線不交于同一點(diǎn)且不平行于同一直線的單元時(shí)，D的該平衡條件有效數(shù)量是3，即要求兩個(gè)橫向合力和一個(gè)縱向合力矩為0。因此是m×（m-3）矩陣，而φ^D是一個(gè)任意的（m-3）元列向量，即D模式的自由度為m-3。

2.4 G模式

因?yàn)镚模式屬于GD模式，荷載可寫(xiě)作

根據(jù)其與D模式的正交性可知

2.5 屈曲模態(tài)分解和識(shí)別

2.5.1 屈曲模態(tài)分解

有限條法所構(gòu)造的線性屈曲問(wèn)題特征值方程是

式中K_e和K_g分別是桿件的彈性和幾何剛度矩陣。求解該方程得到的特征向量d即屈曲模態(tài)變形，λ是相應(yīng)的荷載或應(yīng)力的臨界值系數(shù)。

本文實(shí)現(xiàn)屈曲模態(tài)分解的方法與cFSM一致：通過(guò)約束通用屈曲方程（22）得到指定類(lèi)別屈曲的特征值方程

式中上標(biāo)“^*”指所需的屈曲類(lèi)別，可以是“^L”“^D”“^G”，或它們的任意組合，其中的模態(tài)彈性剛度矩陣為

模態(tài)幾何剛度矩陣為

2.5.2 屈曲模態(tài)識(shí)別

因G、D、L覆蓋薄壁桿全變形域，所以它們的約束矩陣C^*各列向量構(gòu)成薄壁桿件變形空間的一組基，可用于分解該桿件的一個(gè)任意的變形，例如任意一個(gè)屈曲變形，從而定量該變形或該屈曲的每一基本模式參與度。設(shè)有一個(gè)屈曲模態(tài)變形Δ^Ω，對(duì)其開(kāi)展分解

解得φ^*，進(jìn)而得到原屈曲變形Δ^Ω中的“^L”“^D”“^G”類(lèi)子變形

及它們的應(yīng)變能

由于L、D、G間關(guān)于剛度的嚴(yán)格正交性，可知

因此，各模式基于應(yīng)變能占比的模態(tài)參與系數(shù)為

2.6 方法的實(shí)現(xiàn)

采用MATLAB編制程序，實(shí)現(xiàn)了上述計(jì)算過(guò)程。條單元的彈性剛度矩陣和幾何剛度矩陣可調(diào)用開(kāi)源軟件CUFSM^?[21]內(nèi)的klocal和kglocal函數(shù)文件進(jìn)行構(gòu)造。在計(jì)算流程方面，根據(jù)有限條模型的單元和節(jié)點(diǎn)構(gòu)成，綜合出桿件的整體彈性剛度矩陣及GD模式荷載變換矩陣J^GD后，即可分別按式（9）、式（15）和式（21）確定各變形模式的約束矩陣，進(jìn)而按式（23）和式（26）開(kāi)展屈曲模態(tài)分解和識(shí)別。

3 算例1：卷邊槽鋼軸壓桿

本例分析卷邊槽鋼軸壓桿的屈曲模態(tài)。桿件腹板高200 mm，翼緣寬90 mm，卷邊長(zhǎng)20 mm，板厚2 mm；材料彈性模量210 GPa，泊松比0.3。在腹板、翼緣和卷邊上分別設(shè)置7、3、1個(gè)等分節(jié)點(diǎn)，建立該桿件的有限條模型。采用CUFSM算得有限條特征曲線和cFSM模態(tài)分解結(jié)論，可導(dǎo)出為文本文件，或在程序內(nèi)設(shè)置斷點(diǎn)于運(yùn)行過(guò)程中截獲。上述結(jié)果與本文方法得到的屈曲模態(tài)分解結(jié)果對(duì)比見(jiàn)圖4。有限條特征曲線系該有限條模型線性屈曲的最低臨界應(yīng)力曲線，本文和cFSM對(duì)其模態(tài)識(shí)別的結(jié)論對(duì)比見(jiàn)圖5。CUFSM基于應(yīng)變能范數(shù)（strain energy norm）^{[22， 23]}計(jì)算模態(tài)參與系數(shù)時(shí)，基向量R_i按?進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化。為與本文直接基于應(yīng)變能的模態(tài)參與系數(shù)作對(duì)比，圖5中各cFSM模態(tài)參與系數(shù)c^*根據(jù)式（31）計(jì)算。

式中：為CUFSM基于應(yīng)變能范數(shù)算得的模態(tài)參與系數(shù)。

上述對(duì)比結(jié)論如下：

1）短波長(zhǎng)區(qū)域的有限條特征曲線，特別是其中第一波谷點(diǎn)，反映薄壁構(gòu)件局部屈曲的主要性質(zhì)。本文獲得與cFSM一致的L臨界應(yīng)力曲線（圖4），該曲線在半波長(zhǎng)度l₀< 300 mm的區(qū)段與有限條特征曲線吻合良好。

2）有限條特征曲線在大波長(zhǎng)區(qū)段（l₀>2 000 mm）為整體屈曲。彎、扭等整體變形存在橫向伸縮效應(yīng)，但cFSM 的整體模式定義規(guī)定橫向正應(yīng)變?yōu)?，該規(guī)定造成的約束導(dǎo)致圖4中其整體屈曲臨界應(yīng)力較FSM的結(jié)論顯著偏高，達(dá)到10%左右^[24]，參見(jiàn)表1中對(duì)半波長(zhǎng)度4 000 mm處各計(jì)算結(jié)論的對(duì)比。這同時(shí)也表現(xiàn)在圖5的屈曲模態(tài)識(shí)別結(jié)論中：在l₀>2 000 mm區(qū)段，其ST模式（剪切和橫向伸縮模式）占有一定比例。本文方法利用力特征定義取代了零橫向伸縮限定，所得到的整體屈曲結(jié)論與cFSM聯(lián)合考慮剪切、橫向伸縮及整體變形的屈曲結(jié)論（見(jiàn)表1中cFSM方法的“G+ST”屈曲結(jié)論）一致，且與FSM的結(jié)論吻合良好，圖5中識(shí)別結(jié)論也佐證了這一點(diǎn)。

3）有限條特征曲線的第二波谷區(qū)段主要反映構(gòu)件畸變屈曲性質(zhì)?；兦?，板件在各自中面內(nèi)存在一定拉壓，伴生橫向伸縮；同時(shí)，由于屈曲半波不長(zhǎng)，剪應(yīng)變亦有一定影響。因此，圖5的cFSM識(shí)別結(jié)論中，ST模式占比在該區(qū)段有所提升。這些變形在本文的D模式定義中得到考慮，因此在該區(qū)段獲得更接近有限條特征曲線的D臨界應(yīng)力曲線和更高的D模態(tài)占比。

4 算例2：曲線形截面

對(duì)文獻(xiàn)[16]的軸壓鋼橢圓管行屈曲模態(tài)分析。該橢圓管壁厚6 mm，截面長(zhǎng)半徑150 mm，短半徑100 mm；鋼材彈性模量210 GPa，泊松比0.3。采用22個(gè)條單元構(gòu)建該橢圓管的有限條模型，CUFSM所得到的有限條特征曲線見(jiàn)圖6。根據(jù)文獻(xiàn)[16]的分析，該橢圓管局部屈曲的軸壓力臨界值為17 790 kN，這與有限條特征曲線第一個(gè)波谷點(diǎn)（l₀= 60 mm）處的臨界力結(jié)論吻合。

采用cFSM的L模式定義，即約束各交點(diǎn)的所有平移自由度，得到的L模式臨界力曲線見(jiàn)圖6。從圖6中可發(fā)現(xiàn)，該結(jié)論與前述結(jié)論存在顯著差異。對(duì)比橫截面的橫向變形可推斷其原因：曲線形截面采用多邊形擬合后，各節(jié)點(diǎn)因相鄰單元中線不平行，在cFSM中按交點(diǎn)處理，因而L模式的橫向變形僅余22個(gè)節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。對(duì)節(jié)點(diǎn)橫向平移的過(guò)度約束導(dǎo)致不良L屈曲結(jié)論。

在本文的方法中，該有限條模型的平板件數(shù)量為22，GD模式在每一板件上僅賦一個(gè)橫向力取值自由度。在與之正交的情況下，L模式仍具有44個(gè)描述該截面橫向變形的自由度，包括足夠的節(jié)點(diǎn)橫向平移自由度。所得到的L屈曲臨界力和屈曲變形（圖6）與有限條特征曲線在第一個(gè)波谷處吻合良好。

閉口截面的扭轉(zhuǎn)變形中，閉室中面剪應(yīng)變顯著，如Bredt剪應(yīng)變等。零中面剪應(yīng)變的假定使得cFSM的G模式定義不適用于閉口截面，因此，CUFSM不能給出本例的屈曲模態(tài)分析結(jié)論。本文的G和D模式定義中不作零剪應(yīng)變的假定，代之以零軸向力的假定。文獻(xiàn)[15]的分析表明，該假定在G和D模式中合理引入了相應(yīng)的剪應(yīng)變效應(yīng)。在中等和較長(zhǎng)波長(zhǎng)處，本文的D和G結(jié)論分別與FSM的結(jié)論吻合良好，見(jiàn)圖7，圖中所繪制的D和G屈曲的橫截面變形與文獻(xiàn)[16]導(dǎo)出的結(jié)論基本一致。此外，在圖8中，對(duì)有限條特征曲線解進(jìn)行了模態(tài)識(shí)別，識(shí)別結(jié)論印證了模態(tài)分解結(jié)論與特征曲線的良好吻合性。

5 結(jié)論

薄壁桿件的模式定義不僅僅用于屈曲模態(tài)分析，更是建立這類(lèi)桿件工程實(shí)用計(jì)算理論的基礎(chǔ)。作為理論基礎(chǔ)，模式定義應(yīng)具備對(duì)不同簡(jiǎn)化層次模型的一般適應(yīng)性、對(duì)不同類(lèi)型截面的一致概括性、對(duì)經(jīng)典理論的傳承性和足夠的簡(jiǎn)潔性。GBT發(fā)展至今，尤其在其考慮橫向伸縮、剪應(yīng)變等因素后，在上述方面表現(xiàn)出一定的不足。筆者認(rèn)為：1）從力特征的角度定義基本模式比傳統(tǒng)上從變形或應(yīng)變特征角度的定義方式具有更強(qiáng)的復(fù)雜本構(gòu)適應(yīng)能力；2）模式正交性的力學(xué)意義應(yīng)予以明確，原則應(yīng)貫穿始終；正交性不僅是定義所需實(shí)現(xiàn)的目標(biāo)之一，也可作為手段之一。

為探討上述觀點(diǎn)的合理性，將其落實(shí)為薄壁構(gòu)件的4條模式定義原則，針對(duì)薄壁桿件有限條模型的線性屈曲，開(kāi)展屈曲模態(tài)分析，并與已有方法進(jìn)行對(duì)比。結(jié)果表明，所定義的局部、畸變和整體模式良好表征了薄壁構(gòu)件不同波長(zhǎng)屈曲的主要變形特征和屈曲特點(diǎn)；橫向伸縮和剪應(yīng)變?cè)诟髂Ｊ角械男?yīng)得到了合理處置。文中的分析還表明：曲線形截面薄壁構(gòu)件的整體、畸變和局部屈曲機(jī)理與多邊形截面是一致的。

參考文獻(xiàn)

[1] ?North american specification for the design of cold-formed steel structural members （2016 edition）： AISI S100-16 [S]. Washington （DC）： American Iron and Steel Institute， 2016.

[2] ?Cold-formed Steel Structures： AS/NZS 4600：2005 [S]. Standards Australia / Standards New Zealand， 2005.

[3] ?冷彎型鋼結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)范（征求意見(jiàn)稿）： GB 50018—XXXX [R]. 武漢： 中南建筑設(shè)計(jì)院股份有限公司， 2017.

Technical Code of Cold-Formed Steel Structures （Exposure Draft）： GB 50018—XXXX [R]. Wuhan： Central-South Architectural Design Institute co.，ltd， 2017. （in Chinese）

[4] ?SCHAFER B W. Review： The Direct Strength Method of cold-formed steel member design [J]. Journal of Constructional Steel Research， 2008， 64（7/8）： 766-778.

[5] ?CHEUNG Y K. The finite strip method in the analys of elastic plates with two opposite simply supported ends [J]. Proceedings of the Institution of Civil Engineers， 1968， 40（1）： 1-7.

[6] ??D?NY S， SCHAFER B W. A full modal decomposition of thin-walled， single-branched open cross-section members via the constrained finite strip method [J]. Journal of Constructional Steel Research， 2008， 64（1）： 12-29.

[7] ?DAVIES J M， LEACH P. First-order generalised beam theory [J]. Journal of Constructional Steel Research， 1994， 31（2/3）： 187-220.

[8] ?DAVIES J M， LEACH P， HEINZ D. Second-order generalised beam theory [J]. Journal of Constructional Steel Research， 1994， 31（2/3）： 221-241.

[9] ?SCHARDT R. Generalised beam theory [M]. Berlin： Springer Verlag， 1989.

[10] ?DAVIES J M. Recent research advances in cold-formed steel structures [J]. Journal of Constructional Steel Research， 2000， 55： 267-288.

[11] ??D?NY S， SCHAFER B W. Buckling mode decomposition of single-branched open cross-section members via finite strip method： Derivation [J]. Thin-Walled Structures， 2006， 44（5）： 563-584.

[12] ?KHEZRI M， RASMUSSEN K J R. An energy-based approach to buckling modal decomposition of thin-walled members with arbitrary cross-sections， Part 2： Modified global torsion modes， examples [J]. Thin-Walled Structures， 2019， 138： 518-531.

[13] ?CASAFONT M， MARIMON F， PASTOR M， et al. Linear buckling analysis of thin-walled members combining the Generalised Beam Theory and the Finite Element Method [J]. Computers & Structures， 2011， 89（21/22）： 1982-2000.

[14] ?SILVESTRE N. Generalised beam theory to analyse the buckling behaviour of circular cylindrical shells and tubes [J]. Thin-Walled Structures， 2007， 45（2）： 185-198.

[15] ?JIN S， LI Z J， TANG Q， et al. A combined force/displacement-based constrained finite strip method for modal stability analysis of thin-walled members [J]. Thin-Walled Structures， 2021， 159： 107322.

[16] ?SILVESTRE N. Buckling behaviour of elliptical cylindrical shells and tubes under compression [J]. International Journal of Solids and Structures， 2008， 45（16）： 4427-4447.

[17] ?GON?ALVES R， CAMOTIM D. GBT deformation modes for curved thin-walled cross-sections based on a mid-line polygonal approximation [J]. Thin-Walled Structures， 2016， 103： 231-243.

[18] ?SILVESTRE N， CAMOTIM D. On the mechanics of distortion in thin-walled open sections [J]. Thin-Walled Structures， 2010， 48（7）： 469-481.

[19] ?BEBIANO R， GON?ALVES R， CAMOTIM D. A cross-section analysis procedure to rationalise and automate the performance of GBT-based structural analyses [J]. Thin-Walled Structures， 2015， 92： 29-47.

[20] ?LI Z J， BATISTA ABREU J C， LENG J Z， et al. Review： Constrained finite strip method developments and applications in cold-formed steel design [J]. Thin-Walled Structures， 2014， 81： 2-18.

[21] ?SCHAFER B W. CUFSM 5.04-Elastic buckling analysis of thin-walled members by the finite strip method and constrained finite strip method for general end boundary conditions [CP/OL]. 2020： Department of Civil Engineering， Johns Hopkins University. https：//www.ce.jhu.edu /cufsm.

[22] ?LI Z， HANNA M T， ?D?NY S， et al. Impact of basis， orthogonalization， and normalization on the constrained Finite Strip Method for stability solutions of open thin-walled members [J]. Thin-Walled Structures， 2011， 49（9）： 1108-1122.

[23] ?張登祥， 李占杰， SchaferB W. 冷彎薄壁構(gòu)件屈曲模態(tài)力學(xué)準(zhǔn)則的有限元驗(yàn)證[J]. 建筑結(jié)構(gòu)， 2012， 42（10）： 65-70.

ZHANG D X， LI Z J， SCHAFER B. Finite element verification of the mechanic criteria of cold-formed thin-walled steel member，s buckling mode definitions [J]. Building Structure， 2012， 42（10）： 65-70. （in Chinese）

[24] ??D?NY S， SCHAFER B W. Buckling mode decomposition of single-branched open cross-section members via finite strip method： application and examples [J]. Thin-Walled Structures， 2006， 44（5）： 585-600.

（編輯??王秀玲）