無序、有序、良序

吳功堯

【摘要】序言課可以幫助學(xué)生勾勒藍(lán)圖，激發(fā)學(xué)生對(duì)新課的向往.本教學(xué)設(shè)計(jì)采用重構(gòu)式再現(xiàn)數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列等概念的形成過程，采用附加式講述數(shù)列的演變歷史，采用復(fù)制式或順應(yīng)式改造斐波那契數(shù)列、提丟斯的發(fā)現(xiàn)、芝諾悖論、惠施命題等史料.讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)“再創(chuàng)造”的過程，體會(huì)數(shù)學(xué)之美、數(shù)列之奇，最終達(dá)成落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的.

【關(guān)鍵詞】HPM；數(shù)列；序言課；核心素養(yǎng)

1 引言

數(shù)列序言課是指數(shù)列內(nèi)容正式開始前的一節(jié)課，旨在讓學(xué)生明確即將學(xué)習(xí)的對(duì)象、目的以及方法.一堂好的序言課可以幫助學(xué)生抓住主線、勾勒全局，可以啟迪思想、滲透方法，還可以吸引學(xué)生眼球、激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.本教學(xué)設(shè)計(jì)將從數(shù)學(xué)史的視角，以“從無序到有序，從有序到良序，從良序到模型，從模型到應(yīng)用，從應(yīng)用到歷史”為主線來組織教學(xué)，為學(xué)生營造敢于質(zhì)疑、善于思考、勤于動(dòng)手、樂于探究的教學(xué)環(huán)境，讓學(xué)生在知識(shí)“再創(chuàng)造”的過程中深刻理解數(shù)列的核心和本質(zhì).

2 教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施

2.1 從無序到有序

師：為何要將數(shù)字進(jìn)行排列，如何排列，排列好后又將研究什么內(nèi)容？請(qǐng)同學(xué)們拿出課前發(fā)給你們的壓花標(biāo)本，數(shù)一數(shù)花瓣的數(shù)量.

師：花瓣的數(shù)量看起來很隨機(jī)，大家能不能找到這些數(shù)字的內(nèi)在規(guī)律？

生：第一個(gè)數(shù)和第二個(gè)數(shù)都是1，從第三個(gè)數(shù)開始，每一個(gè)數(shù)都是前兩個(gè)數(shù)之和.

師：我們用an表示數(shù)列，首項(xiàng)是a1，第二項(xiàng)是a2，依次地，第n項(xiàng)記為an.請(qǐng)同學(xué)們寫一寫斐波那契數(shù)列的符號(hào)表示.

生：a1=a2=1，an+2=an+an+1， n∈N*.

花瓣的數(shù)量大致滿足斐波那契數(shù)列的規(guī)律.在“花瓣的數(shù)量”這一情境中，設(shè)計(jì)數(shù)一數(shù)、找一找、說一說等環(huán)節(jié)，讓學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)腦、動(dòng)口，自己發(fā)現(xiàn)規(guī)律，體會(huì)數(shù)學(xué)之美.

2.2 從有序到良序

師：數(shù)學(xué)在天文學(xué)中的應(yīng)用有很多，數(shù)學(xué)公式可以簡(jiǎn)單而有效地揭示天體運(yùn)行規(guī)律，例如開普勒三大定律、牛頓萬有引力定律等.采用順應(yīng)式改造“提丟斯的發(fā)現(xiàn)”這一史料，設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)處理、數(shù)據(jù)分析、數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)等環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生修正誤差數(shù)據(jù)，補(bǔ)全殘缺數(shù)據(jù)，讓學(xué)生像天文學(xué)家那樣去思考，體會(huì)數(shù)列之奇，結(jié)合實(shí)例，歸納概括出數(shù)列的定義.

2.3 從良序到模型

師：同學(xué)們可以先舉一些體育中的數(shù)列的例子.

生1：舉辦奧運(yùn)會(huì)的年份.

生2：中國歷屆奧運(yùn)會(huì)的金牌數(shù).

無論從應(yīng)用的，數(shù)學(xué)的，還是歷史的角度來看，等差和等比數(shù)列都是最基礎(chǔ)、最重要的數(shù)列模型.圍繞等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念，設(shè)計(jì)舉例、分類、建模等環(huán)節(jié)，重構(gòu)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的歷史，通過師生互動(dòng)、生生互動(dòng)，從應(yīng)用的、數(shù)學(xué)的、歷史的三個(gè)角度突出等差數(shù)列和等比數(shù)列的重要地位，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，讓學(xué)生體會(huì)參與之樂.

2.4 從模型到應(yīng)用

考古隊(duì)在考察埃及胡夫金字塔時(shí)發(fā)現(xiàn)，136.5米高的金字塔頂上竟然有蝸牛.考古人員尚且要借助復(fù)雜的機(jī)械才能登上塔頂，小小的蝸牛是如何爬上去的呢？后來，考古人員在金字塔坡面上陸續(xù)發(fā)現(xiàn)了多處蝸牛爬行的痕跡.漸漸地，人們開始相信即便是蝸牛也能憑借毅力登上金字塔頂.那么，一只蝸牛想要爬上金字塔頂?shù)降仔枰嗌贂r(shí)間呢？已知胡夫金字塔側(cè)面的高度為178.5米，假設(shè)蝸牛沿著側(cè)高爬行，在第一個(gè)小時(shí)內(nèi)爬行了10米.

（1）若蝸牛每小時(shí)的爬行距離都比上一個(gè)小時(shí)減少0.2米，試問蝸牛能否爬上金字塔頂？若能爬上塔頂，大約需要多少時(shí)間？

（2）若蝸牛每小時(shí)的爬行距離都比上一個(gè)小時(shí)減少一半，試問蝸牛能否爬上金字塔頂？若能爬上塔頂，大約需要多少時(shí)間？

（3）若蝸牛在第n個(gè)小時(shí)內(nèi)爬行的距離是最初爬行距離的1/n倍，試問蝸牛能否爬上金字塔頂？若能爬上塔頂，大約需要多少時(shí)間？

師：對(duì)于問題（1），可以先列舉一下各小時(shí)內(nèi)的爬行距離.

生：10，9.8，9.6，9.4，9.2，…

師：按照這一規(guī)律，第n個(gè)小時(shí)爬行了多少？

生：an=－0.2n+10.2.

師：我們稱之為通項(xiàng)公式.前n個(gè)小時(shí)共爬行了多少距離？

生：Sn=10+9.8+9.6+9.4+9.2+…+（10.2－0.2n）.

師：上述和式怎么求？

師：我們還是從特殊情形入手，先求前10項(xiàng)的和.

生：S10=10+9.8+9.6+9.4+9.2+9+8.8+8.6+8.4+8.2

=10+5×9+4×8+2×（0.8+0.6+0.4+0.2），

其中0.8+0.2=0.6+0.4=1，所以最終結(jié)果是91.

師：10個(gè)小時(shí)爬了一半多，小小的蝸牛原來有這么大的潛力，請(qǐng)?jiān)偎伎家幌?，原式能不能直接配?duì)求和.

生：因?yàn)?0+8.2=9.8+8.4=9.6+8.6=9.4+8.8=9.2+9=18.2，所以可以用首項(xiàng)加尾項(xiàng)乘以項(xiàng)數(shù)除以2得到結(jié)果.

師：推廣到一般情形下呢？

生：也是如此，Sn=（10+10.2－0.2n）×n/2=（10.1－0.1n）n.

師：蝸牛能否爬上金字塔頂？若能，大約需要多少時(shí)間？

生：S22=173.8，S23=179.4，爬上塔頂大約需要23個(gè)小時(shí).

師：至此等差數(shù)列求和公式呼之欲出.后面我們將系統(tǒng)學(xué)習(xí)等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)及其應(yīng)用.若將條件改為“蝸牛每小時(shí)的爬行距離都比上一個(gè)小時(shí)減少一半”，又如何呢？

生1：第一個(gè)小時(shí)10米，第二個(gè)小時(shí)5米，第三個(gè)小時(shí)2.5米，第四個(gè)小時(shí)1.25米，……

生2：……

師：大家各有各的道理，到底能不能登頂，要算過才知道.類比第（1）問的思考過程，請(qǐng)同學(xué)們寫出前n個(gè)小時(shí)爬行的總距離.

師：數(shù)列1， 1/2， 1/3， 1/4， … ， 1/n，稱為調(diào)和數(shù)列.隨著n的增大，調(diào)和數(shù)列的項(xiàng)越來越小，它的前n項(xiàng)和慢慢增大.法國數(shù)學(xué)家Oresme首次證明：隨著n的增大，Hn會(huì)趨近于無窮大.因此，如果不考慮蝸牛的壽命，它定能登上金字塔頂.比較1+1/2+1/22+1/23+…+1/2n－1=2－1/2n－1和1+1/2+1/3+1/4+…+1/n→+ω發(fā)現(xiàn)，盡管和式都在增大，結(jié)果卻有著天壤之別，前式趨于定值，后式則趨于無窮大.“無窮”概念，讓人產(chǎn)生無限遐想.歷史上，古人在認(rèn)識(shí)“無窮”的過程中，也經(jīng)歷了很多次認(rèn)知沖突.（稍作停頓）幾百年來，數(shù)學(xué)家們對(duì)調(diào)和數(shù)列做了很多研究，至今沒有給出它的求和公式.如果你能推導(dǎo)出它的求和公式，那么你將成為下一個(gè)轟動(dòng)世界的數(shù)學(xué)家.柔弱的蝸牛，有著大大的夢(mèng)想，創(chuàng)造了生命的奇跡.只要敢想敢拼，持之以恒，一切皆有可能.

設(shè)計(jì)意圖 圍繞等差數(shù)列求和、等比數(shù)列求和、數(shù)列極限等知識(shí)，借助芝諾悖論、惠施命題、形數(shù)理論、調(diào)和級(jí)數(shù)等數(shù)學(xué)史料，設(shè)計(jì)了三個(gè)由易到難、由淺入深的問題，引導(dǎo)學(xué)生借助類比、不完全歸納、以形助數(shù)等方法分析和解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，讓學(xué)生體會(huì)思維之趣.

2.5 從應(yīng)用到歷史

教師引導(dǎo)學(xué)生回顧所學(xué)知識(shí)和方法，并按知識(shí)的內(nèi)在邏輯完成思維導(dǎo)圖.

最后，播放“數(shù)列的演變史”微視頻，讓學(xué)生了解數(shù)列經(jīng)歷了萌芽、發(fā)展、興盛和完善四個(gè)階段.萌芽階段的主要成就是泥版和紙草書上的數(shù)列問題，發(fā)展階段的主要成就是古希臘、古印度以及中國古代數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中的數(shù)列問題，興盛階段的主要成就是斐波那契《算盤全書》和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)文獻(xiàn)中的數(shù)列問題，完善階段的主要成就是文藝復(fù)興以后西方數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中的數(shù)列知識(shí).

3 教學(xué)反思

3.1 序言課要突出所序數(shù)學(xué)分支的最核心、最本質(zhì)的思想

解析幾何的核心思想是坐標(biāo)化，立體幾何的核心思想是公理化.數(shù)列的核心思想是什么呢？數(shù)列有著悠久的歷史，最早可以追溯到遠(yuǎn)古時(shí)期，Ishango骨具上的刻痕就是最好的佐證.古人在記錄獵物的數(shù)目、星星的數(shù)量時(shí)便產(chǎn)生了數(shù)的序列.數(shù)列的產(chǎn)生源于人類描述事物時(shí)間、空間亦或是內(nèi)在順序的需要，所以數(shù)列的核心思想是有序性.內(nèi)容的選擇、情境的設(shè)計(jì)應(yīng)始終圍繞這一核心思想展開.

3.2 遴選所序內(nèi)容，區(qū)分知識(shí)等級(jí)是序言課教學(xué)成功的關(guān)鍵

在設(shè)計(jì)數(shù)列序言課時(shí)，困擾筆者的主要問題是：哪些知識(shí)要講，哪些可以直接跳過；哪些知識(shí)需要細(xì)講，哪些可以一筆帶過.我們可以參考三個(gè)維度遴選所序內(nèi)容：一是“教學(xué)維度”，主要側(cè)重于與傳統(tǒng)的按教材分節(jié)教學(xué)對(duì)照；二是“學(xué)生維度”，側(cè)重于考量學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)和存在的困難；三是“歷史維度”，側(cè)重于數(shù)學(xué)史的啟迪及它所提供的幫助.然后利用思維導(dǎo)圖呈現(xiàn)所序內(nèi)容，區(qū)分知識(shí)的不同等級(jí).一級(jí)為核心概念，是二級(jí)概念的上位概念，將對(duì)其創(chuàng)設(shè)情境、開展活動(dòng)；二級(jí)概念需介紹其大致內(nèi)容，目的為烘托一級(jí)概念，并帶出三級(jí)概念；三級(jí)概念只介紹其名稱，與前兩級(jí)概念形成完整的板塊知識(shí)圖譜.在實(shí)際課堂教學(xué)中，教師可以在推進(jìn)教學(xué)流程的同時(shí)，逐步引導(dǎo)學(xué)生完成知識(shí)圖譜，建構(gòu)知識(shí)框架.

3.3 設(shè)計(jì)兼具趣味性、層次性、可探究性的問題情境至關(guān)重要

在小學(xué)及初中階段，學(xué)生接觸過很多數(shù)列的例子.例如：小學(xué)一年級(jí)的孩子要求能夠按規(guī)律寫數(shù)字，小學(xué)六年級(jí)的教材提供了斐波那契數(shù)列的閱讀材料.學(xué)生儲(chǔ)備的這些知識(shí)為序言課教學(xué)既帶來了方便，也帶來了挑戰(zhàn).在序言課教學(xué)中，若是簡(jiǎn)單地舉一些例子，歸納概括出數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念，一節(jié)課下來學(xué)生感覺收獲不大，似乎都是些小學(xué)初中的知識(shí).因此，我們需要優(yōu)化知識(shí)的呈現(xiàn)方式，將知識(shí)重新包裝，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)兼具趣味性、層次性、可探究性的問題情境，讓學(xué)生在探究中，完成知識(shí)的“再創(chuàng)造”，在過程中，建構(gòu)知識(shí)框架，在思辨中，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

4 結(jié)語

“良好的開端是成功的一半”.序言課能夠幫助學(xué)生完成知識(shí)框架的初步建構(gòu)，為后續(xù)學(xué)習(xí)做好知識(shí)、方法和心理準(zhǔn)備.用奧蘇貝爾的理論來說，序言課可以架構(gòu)起已有知識(shí)和新知識(shí)之間的橋梁，起到先行組織者的作用.

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