含絕對(duì)值的一元一次方程的解法淺析

羅明珍

【摘要】本文通過(guò)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，從“代數(shù)法”和“零點(diǎn)分段法”“解析法”三個(gè)方面出發(fā)，試圖層層遞進(jìn)、由淺入深地去探索兩類簡(jiǎn)單的含有絕對(duì)值的一元一次方程的解法.

【關(guān)鍵詞】轉(zhuǎn)化；絕對(duì)值；零點(diǎn)分段法

絕對(duì)值符號(hào)中含有未知數(shù)的一次方程，叫做含絕對(duì)值的方程，簡(jiǎn)稱絕對(duì)值方程. 解這類方程的基本思路是：脫去絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為普通的一元一次方程求解.

題型1 只有一個(gè)絕對(duì)值里含有未知數(shù)，如x=－2.

這個(gè)問(wèn)題學(xué)生容易錯(cuò)解為x=－2，但事實(shí)上，此問(wèn)題等價(jià)于方程x=2，于是x=±2，只要掌握了這種方法，那么諸如x－1=－2、2x－1=－2等此類只有一個(gè)絕對(duì)值里含有未知數(shù)的方程，都能轉(zhuǎn)化為此類題型輕松求解了.

題型2 兩個(gè)絕對(duì)值里都含有未知數(shù)，且含有絕對(duì)值的兩項(xiàng)同號(hào)，如x+1=2x－2.

②如圖3，當(dāng)－1

③如圖4，當(dāng)x≥1時(shí)，x+1=x+1，2x－2=2x－2，原方程可轉(zhuǎn)化為x+1=2x－2，解得x=3.

因此，綜上所述，x=3或x=1/3.

解法3 解析法

考慮到絕對(duì)值的幾何意義本質(zhì)上就是距離，于是可以把諸如題型2的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如下問(wèn)題：

在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P（x+1，2x－2），若點(diǎn)P到兩坐標(biāo)軸的距離相等，求x的值.

如圖5、圖6，根據(jù)平面直角坐標(biāo)系的知識(shí)，可知到兩坐標(biāo)軸的距離相等的點(diǎn)一定在象限的角平分線上，因此又可分為以下兩種情況：

情況1 若點(diǎn)P在第一、三象限的角平分線上，則有x+1=2x－2，解得x=3.

情況2 若點(diǎn)P在第二、四象限的角平分線上，則有（x+1）+（2x－2）=0，解得x=1/3.

綜上所述x=3或x=1/3.

可見(jiàn)如果將這類問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系中的問(wèn)題，會(huì)變得更加形象、直觀，也更加有趣，更重要的是方法上更加具有普遍意義.

題型3 兩個(gè)絕對(duì)值里都含有未知數(shù)，且含有絕對(duì)值的兩項(xiàng)同號(hào)，并含有常數(shù)項(xiàng)，如x+1=2x－2－2.

這個(gè)題仍然可以用題型2中的解法1和解法2進(jìn)行分類討論來(lái)求解，在此不作贅述. 接下來(lái)主要運(yùn)用解析法來(lái)嘗試解答.

形如x+1=2x－2這類兩個(gè)絕對(duì)值里都含有未知數(shù)，且含有絕對(duì)值的兩項(xiàng)同號(hào)的方程我們已經(jīng)會(huì)轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系中的問(wèn)題來(lái)求解. 現(xiàn)在x+1=2x－2－2只比x+1=2x－2多了一個(gè)常數(shù)項(xiàng)，有沒(méi)有可能把題型3的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為形如題型2的方程來(lái)求解呢？

沿著這個(gè)思路，我們先把題型3的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系中的問(wèn)題：

在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P（2x－2，x+1），若點(diǎn)P到x軸的距離比到y(tǒng)軸的距離少2，求x的值.

如果把平面直角坐標(biāo)系向下平移兩個(gè)單位，那么得到的新的點(diǎn)P′到x軸的距離與到y(tǒng)軸的距離就相等了，此時(shí)點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（2x－2，x+3）. 這樣一來(lái)就轉(zhuǎn)化成了題型2的問(wèn)題，于是可以分為以下兩種情況：

情況1 若點(diǎn)P在第一、三象限的角平分線上，則有2x－2=x+3，解得x=5.因此點(diǎn)P′（8，8）.

情況2 若點(diǎn)P在第二、四象限的角平分線上，則有（2x－2）+（x+3）=0，解得x=－1/3.因此點(diǎn)P′（－8/3，8/3）.

有趣的是，由于新的坐標(biāo)系沿著y軸方向上下移動(dòng)并不會(huì)改變橫坐標(biāo)的值，因此可得在原坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)也為8或－8/3，從而進(jìn)一步可得x=5或x=－1/3.

含有兩個(gè)絕對(duì)值的一元一次方程遠(yuǎn)不止本文中提到的類型. 本文旨在研究含有兩個(gè)絕對(duì)值的一元一次方程的解法，希望能給初中孩子一些方法上的啟發(fā).

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