算籌與算盤(pán)：古人生活中的數(shù)學(xué)智慧

黃心馨

中國(guó)珠算博物館“鎮(zhèn)館之寶”：紫檀大算盤(pán)

從古至今，數(shù)學(xué)在我們的生活中發(fā)揮著不可替代的作用。回望歷史，我們的祖先就已經(jīng)發(fā)明了巧妙的計(jì)量與計(jì)算的工具和方法，并在使用的過(guò)程中隨著需求的變化和適用范圍的擴(kuò)大而不斷改進(jìn)。從考古發(fā)現(xiàn)和歷史文獻(xiàn)記載中，可以窺見(jiàn)古人的數(shù)學(xué)智慧。

數(shù)學(xué)與算籌

在中國(guó)歷史上，較早出現(xiàn)的一種計(jì)量工具稱為“算籌”，與之對(duì)應(yīng)的計(jì)算方法名為“籌算”。從考古發(fā)現(xiàn)可以得知，算籌在漢代就已經(jīng)應(yīng)用于當(dāng)時(shí)人們的生活中。

算籌的形制是一根根長(zhǎng)短、粗細(xì)相同的長(zhǎng)條，材質(zhì)多為竹子，也有象牙、骨、金屬等。從不同時(shí)期的歷史文獻(xiàn)記載和考古發(fā)現(xiàn)中，我們可以看到算籌的長(zhǎng)度、數(shù)量的變化。

為了方便使用，算籌的長(zhǎng)度由長(zhǎng)變短。在西漢時(shí)期的出土文物中，算籌的長(zhǎng)度多為六漢寸，換算成現(xiàn)代的計(jì)量單位為13厘米左右。如廣州南越王墓的象牙籌、陜西千陽(yáng)的西漢骨籌，長(zhǎng)度均約六漢寸。在西漢時(shí)期桓寬所著的《鹽鐵論·卷四》中，記載了西漢算籌的長(zhǎng)度規(guī)格，即“運(yùn)之六寸，轉(zhuǎn)之息耗”?！尔}鐵論》是西漢時(shí)期較為客觀地記錄統(tǒng)治階級(jí)內(nèi)部當(dāng)權(quán)派和非當(dāng)權(quán)派關(guān)于國(guó)家的財(cái)政、經(jīng)濟(jì)、外交、文化等大政方針問(wèn)題爭(zhēng)論的著作，其中所提到的，一定程度上能夠代表當(dāng)時(shí)算籌的常規(guī)形制。到了東漢時(shí)期，算籌的長(zhǎng)度減少到四漢寸，也就是9厘米左右。河北石家莊東漢墓所出土的算籌，長(zhǎng)度已不到四漢寸，這樣更容易拿取和收納。東漢著名的數(shù)學(xué)著作《數(shù)術(shù)記遺》中，記錄了14種算法，籌算（積算）為其中之一，書(shū)中注說(shuō)算籌“長(zhǎng)四寸”；到了隋代，在《隋書(shū)·律歷志》中，則記載“其算用竹，廣二分，長(zhǎng)三寸”，反映出算籌長(zhǎng)短的變化。

象牙算籌（圖片來(lái)源：陜西歷史博物館）

神禾原秦陵出土紅白籌及黑籌

算籌整套的數(shù)量也經(jīng)歷了由多到少的變化。在《漢書(shū)·律歷志》中有記載，一套算籌共271根，一套也叫“一握”。而到了元代著作《湛然居士集》中，一套算籌只有91根。整套的算籌能夠被收納在一個(gè)長(zhǎng)橢圓形的袋子中，名為算袋。算袋的樣子酷似墨魚(yú)，在唐代段成式所著的筆記小說(shuō)集《酉陽(yáng)雜俎》中，有一段與墨魚(yú)相關(guān)的文學(xué)創(chuàng)作，內(nèi)容為“昔秦皇東游，棄算袋于海，化為此魚(yú)”。還有記載，唐代官員會(huì)在腰間的革帶上佩戴算袋。

可以看出，算籌長(zhǎng)度的縮減、數(shù)量的減少是古人在使用過(guò)程中根據(jù)需要和使用方便而不斷改進(jìn)的結(jié)果。

數(shù)學(xué)與算盤(pán)

算盤(pán)是中國(guó)人更為熟悉的一種計(jì)算工具。與算盤(pán)相對(duì)應(yīng)的運(yùn)算技術(shù)——珠算，也有著悠久的歷史。在《數(shù)術(shù)記遺》中，就出現(xiàn)了“珠算”一詞——“珠算，控帶四時(shí)，經(jīng)緯三才”。北周數(shù)學(xué)家甄鸞對(duì)原文進(jìn)行了注解：“刻板為三分，其上下二分以停游珠，中間分以定算位。位各五珠，上一珠與下四珠色別，其上別色之珠當(dāng)五，其下四珠，珠各當(dāng)一?！贝藭r(shí)的珠算，是作為籌算時(shí)的輔助工具出現(xiàn)的，這種工具目前未見(jiàn)實(shí)物流傳，但從古籍的描述中可以推測(cè)，日后真正意義上的算盤(pán)的出現(xiàn)與其頗有淵源。

在宋代，已經(jīng)可見(jiàn)算盤(pán)的身影。在我們熟知的《清明上河圖》中，有一處“趙太丞家”的場(chǎng)景，在其正對(duì)門(mén)的柜子上，擺放著一個(gè)長(zhǎng)方形的分檔之物，形似算盤(pán)。此外，1921年河北邢臺(tái)宋巨鹿故城曾出土類似算盤(pán)珠的物件。有文獻(xiàn)記載，元代的詩(shī)詞和著作中 ，“算盤(pán)”一詞已多有出現(xiàn)，如劉因的《算盤(pán)詩(shī)》、劉君錫的《龐居士誤放來(lái)生債》等。如果說(shuō)宋元時(shí)期仍處于由算籌到算盤(pán)演變的過(guò)渡時(shí)期，那么到了明代，以算盤(pán)為計(jì)算工具的珠算就可以說(shuō)較為普遍了。明代程大位所著的《算法統(tǒng)宗》，就是一本以算盤(pán)為主要計(jì)算工具、以珠算為主要計(jì)算方法的應(yīng)用型中國(guó)古代數(shù)學(xué)論著。這部著作描述了算盤(pán)的用法，在書(shū)中提供了算盤(pán)學(xué)習(xí)圖示，為算盤(pán)的實(shí)際使用和推廣提供了便利。此外，這部著作還完善了珠算的運(yùn)算法則，并整理了大量運(yùn)算口訣，被認(rèn)為是完成了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)由籌算向珠算過(guò)渡的標(biāo)志性著作。

珠算使用的算盤(pán)

“見(jiàn)簡(jiǎn)即用，見(jiàn)繁即變”的智慧

從籌算到珠算，體現(xiàn)著古人一以貫之的數(shù)學(xué)思維，以及在生活實(shí)踐中積累的數(shù)學(xué)智慧?！盎I算”一詞除了代表著古代的一種運(yùn)算方法，在古代漢語(yǔ)中還有著“計(jì)謀”“謀略”的意思，以“籌”字所組的詞語(yǔ)也多有智慧的含義，如運(yùn)籌帷幄、略勝一籌、拔得頭籌等?？梢?jiàn)，從字源含義來(lái)看，籌算方法自產(chǎn)生之日起就深刻影響著人們生活的各個(gè)方面，精巧的算籌，蘊(yùn)含著古人在生活中的大智慧。運(yùn)算過(guò)程中，一般不會(huì)留下書(shū)面的計(jì)算痕跡。在擺放算籌時(shí)，遵循縱橫相間的規(guī)則，如《孫子算經(jīng)》中所記錄的：“凡算之法，先識(shí)其位。一從十橫，百立千僵。千十相望，萬(wàn)百相當(dāng)。”

籌算使用的是十進(jìn)制的運(yùn)算法則。《孫子算經(jīng)》中記錄了籌算的計(jì)數(shù)法和乘法、除法的運(yùn)算規(guī)則，均在三行里演算。如在乘法運(yùn)算中，一個(gè)乘數(shù)置于上層，另一個(gè)乘數(shù)置于下層，所得的積記于中層；在除法運(yùn)算中，被除數(shù)位于中層，除數(shù)位于下層，所得的商記于上層。后來(lái)，在長(zhǎng)期的使用過(guò)程中，籌算的方法逐漸簡(jiǎn)化，變?yōu)槟軌蛟谝粋€(gè)橫行里演算的做法。

成書(shū)于漢代的數(shù)學(xué)巨著《九章算術(shù)》影響著后來(lái)以算盤(pán)為計(jì)算工具的珠算?！毒耪滤阈g(shù)》中記錄了開(kāi)平方和開(kāi)立方的具體方法，雖然其成書(shū)的年代算盤(pán)還沒(méi)有出現(xiàn)，但書(shū)中記錄的開(kāi)方方法，每一個(gè)數(shù)位都可以對(duì)應(yīng)算盤(pán)上的每一檔，一則說(shuō)明漢代數(shù)學(xué)算力的優(yōu)秀，一則也可以看出從算籌到算盤(pán)的發(fā)展，是古人數(shù)學(xué)智慧的延續(xù)。

在古代，復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題能夠在算籌和算盤(pán)上被化為簡(jiǎn)單的運(yùn)算法則。北宋時(shí)期著名的科學(xué)家沈括在其著作《夢(mèng)溪筆談》中，提出了算數(shù)當(dāng)化繁為簡(jiǎn)的思想，他認(rèn)為“然算術(shù)不患多學(xué)，見(jiàn)簡(jiǎn)即用，見(jiàn)繁即變，不膠一法，乃為通術(shù)也”。這樣的思想也使數(shù)學(xué)計(jì)算方法和計(jì)算工具不斷改進(jìn)，“九歸口訣”和“撞歸口訣”等口訣的產(chǎn)生，就體現(xiàn)了古人將復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算進(jìn)行簡(jiǎn)化的智慧，直接促成了算盤(pán)這樣一種構(gòu)造簡(jiǎn)單、運(yùn)算高效的算具的產(chǎn)生。同時(shí)，這些口訣也成為珠算的重要口訣。

古人將生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題化解于構(gòu)造簡(jiǎn)單的算籌與算盤(pán)上，寫(xiě)出了一部部影響至今的中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)著作。除了影響深遠(yuǎn)的《九章算術(shù)》《算法統(tǒng)宗》，還有明代后期的《盤(pán)珠算法》《數(shù)學(xué)通軌》《算學(xué)新說(shuō)》等。北宋數(shù)學(xué)家賈憲所著的《黃帝九章算經(jīng)細(xì)草》，解決了原本的珠算方法在開(kāi)高次方根時(shí)受限的問(wèn)題，給出了著名的開(kāi)方作法本源圖，即賈憲三角。到南宋時(shí)期，數(shù)學(xué)家楊輝將其引用到所著的《詳解九章算法》中，后人也稱賈憲三角為楊輝三角。精巧的算籌與算盤(pán)，體現(xiàn)了中國(guó)古代數(shù)學(xué)思想重視問(wèn)題導(dǎo)向、注重實(shí)踐應(yīng)用的特點(diǎn)，蘊(yùn)含了古人“大道至簡(jiǎn)”的智慧。

算籌與對(duì)應(yīng)的數(shù)字