巧借導函數(shù)解決高中數(shù)學不等式壓軸難題

摘 要：文章結(jié)合自身教學和解題經(jīng)驗，以實際例題為例，談談應如何結(jié)合函數(shù)思想解決高中數(shù)學不等式壓軸難題.

關(guān)鍵詞：導函數(shù)；不等式；高中數(shù)學

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2024）04-0025-03

不等式問題是高中數(shù)學的必考知識點，同時也是重難點.高中數(shù)學不等式的壓軸難題主要出現(xiàn)在解答題最后一題的第二小問中，與函數(shù)、數(shù)列等知識點聯(lián)系較為緊密，考查形式多為不等式的證明或恒成立問題，難度較大.在求解時，我們可以根據(jù)已知條件，結(jié)合函數(shù)與方程思想，巧借導函數(shù)解決高中數(shù)學不等式壓軸難題.

1利用導函數(shù)解決不等式證明問題

在利用導函數(shù)解決不等式證明問題時，需要結(jié)合構(gòu)造法.根據(jù)所要證明的不等式，構(gòu)造與之相關(guān)的函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值加以證明[1].高中階段，常見的構(gòu)造方法包括：

（1）直接構(gòu)造法.將需要證明的不等式f（x）>g（x）轉(zhuǎn)化為證明f（x）-g（x）>0或f（x）-g（x）<0，進而通過構(gòu)造輔助函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）并證明函數(shù)F（x）與0的關(guān)系進而證明原不等式；

（2）適當放縮構(gòu)造函數(shù).根據(jù)已知條件適當放縮，或利用常見的放縮結(jié)論，如

題后反思 本題主要考查函數(shù)與不等式的綜合問題.在求解時需要利用構(gòu)造法將不等式問題與函數(shù)結(jié)合起來，再結(jié)合導函數(shù)的性質(zhì)，判斷函數(shù)與零點的關(guān)系進而證明.構(gòu)造函數(shù)展開討論是解決本題的關(guān)鍵和突破點，思路要重點把握.

2 利用導函數(shù)解決不等式恒成立問題

在利用導函數(shù)解決不等式的恒成立問題時，有兩種常見思路：一種是先利用綜合法，結(jié)合導函數(shù)的零點之間的大小關(guān)系的決定條件，確定分類討論的標準.分類后，判斷不同區(qū)間函數(shù)的單調(diào)性得到最值，進而證明不等式[3].另一種，則是直接通過導函數(shù)，確定其與零點之間的關(guān)系，并以此劃分分類標準證明不等式恒成立.通常，若a>f（x）對x∈D恒成立，則只需要a>［f（x）］max；若af（x0）成立，則只需要a>［f（x）］min；若存在x0∈D，使a

題后反思 本題主要考查的是不等式的恒成立以及函數(shù)的單調(diào)性問題.第一小問比較簡單，直接對f（x）求導，根據(jù)導函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系即可順利求解.第二小問中涉及了不等式的恒成立問題，求解時，首先需要將不等式進行變形，構(gòu)造函數(shù)，進而對新函數(shù)進行求導，并判斷出在已知區(qū)間內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性情況，找出極值，綜合求解.本題主要考查同學們的推理能力和計算能力，屬于高中數(shù)學壓軸題中的中等難度題，思路和方法要重點掌握.

3 結(jié)束語

雖然不等式問題在高中數(shù)學壓軸題中較為常見，但在求解時也是有具體的方法和思路可循的.在解決高中數(shù)學的不等式壓軸難題時，我們需要利用函數(shù)與方程思想，將原不等式進行適當變形或直接利用構(gòu)造法將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題.再利用導函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值之間的關(guān)系綜合求解.當然，高中階段不等式壓軸問題中還常涉及含參變量問題、求取值范圍問題，同學們都需要在日常的學習和訓練過程中，及時對不等式壓軸問題進行歸納和總結(jié)，保證自己在考場上能做到游刃有余.

參考文獻：

［1］ 劉海洋，張玲敏.導數(shù)綜合題之謀略[J].中學生數(shù)理化， 2019（03）：6-8.

［2］ 鐘柏舟.淺析“求導法”在高中數(shù)學應用題中的應用[J].數(shù)理化解題研究， 2017（01）：61.

［3］ 石建春.如何用導數(shù)法解題[J].語數(shù)外學習， 2021（06）：51.

［責任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-11-05

作者簡介：李強（1981.9-），男，江蘇省揚州人，本科，中學一級教師，從事中學數(shù)學教學研究.