物體脫離軌道瞬間的速度分析

摘 要：軌道運動一直是高中物理教學中的重點內容.本文將從有、無約束作用下的固定軌道、動態(tài)的軌道三種不同的模型對物體脫離軌道的運動進行分析，尋找解題的一般規(guī)律，并且將對動態(tài)軌道的典型問題進行重點研究.

關鍵詞：軌道運動；模型建構；相對運動；速度分量

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2024）04-0108-03

高中物理對于動力學中關于力和運動、功能關系的研究，通常會在有預設軌道中來進行運動的分析和討論.而且預設軌道中，往往會涉及固定軌道和動態(tài)軌道兩種情況.對于不同的模型，討論的方向會有所不同.本文重點研究物體在不同條件下脫離軌道瞬間的速度問題.

1 有約束作用下的固定軌道脫離分析

有約束作用下的固定軌道，即物體的運動軌跡只能沿軌道，通常研究的為小環(huán)套嵌于軌道上或小球在有內外軌的軌道中的運動模型.下面將對小環(huán)在軌道上的運動脫離速度問題進行分析.

例1 如圖1，位于豎直平面內的光滑軌道由四分之一圓弧ab和拋物線bc組成，圓弧半徑Oa水平，b點為拋物線頂點.已知R=0.5 m，h＝2 m，s＝2m.取重力加速度大小g＝10 m/s2.若環(huán)從a點靜止釋放，求環(huán)到達c點時速度的水平分量和豎直分量的大小[1].

1.1 模型分析法

如圖2，bc段為以b為頂點的拋物線，顯然bc段軌道對應某一平拋運動的軌跡.下面先求出bc段軌道對應的平拋運動.設初速度為v0，c點速度方向與水平方向夾角為θ.由平拋運動知識可得：

小結 物體在有、無約束條件下的固定軌道運動脫離時，物體的速度方向始終沿切線方向，分析脫離速度的過程中可以從運動原型入手，也可以借助數學方法尋找切線，同時還可以結合受力的特點研究物體的速度.對于固定軌道而言，物體脫離速度沿切線方向.那么是不是意味著所有的軌道運動的脫離速度都是沿切線方向呢？答案顯然是否定的.物體脫離動態(tài)軌道的運動中，脫離速度的方向一般不沿切線方向，而是相對速度的方向沿切線方向.接下來重點探究物體脫離動態(tài)軌道的速度問題.

3 運動軌道脫離分析

3.1 物體與軌道發(fā)生相對運動時的脫離速度研究

例3 如圖6所示，質量為m的凹槽置于水平面

上，凹槽弧形是半徑為R的圓軌道的一部分，圖中θ=60°.一質量為m的小球在A點正上方高度為R處由靜止釋放，所有接觸面均光滑，不計空氣阻力，求小球飛離凹槽瞬間的水平速度和豎直速度.

點評 在動態(tài)軌道上運動的物體，由于軌道速度不為零，物體的脫離速度方向不沿切線方向，而是相對軌道的速度沿切線方向.動態(tài)軌道問題往往會與動量守恒的問題相結合，軌道速度為水平方向.所以處理此類問題時，一般會設定物體的速度的水平分量和豎直分量，通過相對速度與豎直速度的合速度沿軌道切線方向來解決問題.

3.2 物體與軌道發(fā)生相對運動時的脫離速度應用

變式1 如圖7所示，質量為m的小球從凹槽上方h的高度自由釋放，凹槽的質量也為m.求小球飛離凹槽瞬間的速度.所有接觸面均光滑，不計空氣阻力.

答案：2gh

變式2 如圖8所示，光滑的水平面上固定平行導軌PQ、MN，兩導軌之間的距離為2R.一質量為m光滑凹槽置于平行導軌之間，凹槽弧形部分為半圓形，且半徑為R.現(xiàn)一質量為m小球以v0向左運動，所有接觸面均光滑，不計空氣阻力，求小球運動到凹槽b點時的速度.

答案：小球的速度大小為3/2v0，方向與水平方向成θ（θ=arctan2）角斜向左下.

變式3 如圖9，曲邊形abcd由兩段半徑為R，圓心角為60°的扇形和線段bc構成，其質量為m，一質量也為m小球以v0=3 m/s的速度向右運動，沖上曲面體abcd，試分析小球從b點飛離后能否落在bc段.若能，求出落點到b的距離，若不能，分析原因.已知R=0.1 m，xbc=0.4 m.所有接觸面均光滑，不計空氣阻力.

答案：小球從b點飛離后能落在bc段，且離b點的距離為x=3/5m.

4 結束語

物體在有、無約束的固定軌道上運動時，脫離瞬間的速度沿切線方向.在運動軌道上的脫離速度則是相對速度的方向為切線方向，所以在研究脫離速度的問題時，首先要確定的是軌道是否固定.

不論是固定軌道還是動態(tài)軌道，物體脫離速度相對于軌道都是沿切線方向，在這點上，不同類型的軌道運動脫離速度都是統(tǒng)一的.

參考文獻：

［1］ 楊成柱.高考熱點及分類突破訓練（一）[J].試題與研究，2015（22）：77-78.

[2] 馮海燕.借助圓錐曲線知識和求導方法解決拋體運動問題[J].物理通報，2016（5）：37-38.

［責任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-11-05

作者簡介：蔡飛（1980.10-），湖北省鄂州人，本科，中學二級教師，從事高中物理教學研究.