高中數(shù)學(xué)k階遞推數(shù)列的研究

【摘要】由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式是數(shù)列學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，但是遞推數(shù)列無(wú)法直接求解.在某些情況下，遞推數(shù)列的遞推關(guān)系可能非常復(fù)雜或無(wú)法用解析的方式表示，這樣就無(wú)法直接求解數(shù)列的某一項(xiàng)或整個(gè)數(shù)列.所以學(xué)生通常都喜歡求出通項(xiàng)公式，這樣感覺把整個(gè)數(shù)列都把握了.本文主要解決由k階遞推數(shù)列推導(dǎo)出數(shù)列通項(xiàng)公式的問(wèn)題，并且利用矩陣知識(shí)進(jìn)行證明，解決遞推數(shù)列推導(dǎo)出數(shù)列通項(xiàng)公式的問(wèn)題.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；k階遞推數(shù)列；通項(xiàng)公式

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段根據(jù)數(shù)列的遞推公式推導(dǎo)數(shù)列的通項(xiàng)公式是一個(gè)難點(diǎn)內(nèi)容.如果我們從一個(gè)高觀點(diǎn)下研究就會(huì)有全新的思考和認(rèn)識(shí).本文對(duì)中學(xué)課本中學(xué)生比較難理解的遞推數(shù)列進(jìn)行研究和推廣，希望對(duì)學(xué)生有所啟迪.

下面以高中引入的矩陣知識(shí)為例推導(dǎo)斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式［1］.

斐波那契數(shù)列an滿足

an+2=an+1+ana1=1，a2=1n∈N* ，

若遞推公式使用矩陣［1］表示，

則有an+2=11an+1ann∈N*，

于是有an+2an+1=1110an+1ann∈N*，

記A=1110，

則有an+2an+1=Aan+1ann∈N*，

an+2an+1=Aan+1an=A2anan－1=A3an－1an－2=…=Ana2a1=An11n∈N*.

1" 計(jì)算an.

An的第2行去乘11 就是an+1，但用乘法求An是非常麻煩的.現(xiàn)在我們用矩陣的特征值理論計(jì)算An，現(xiàn)有特征值理論的有關(guān)定理如下［2］：

定理1" 屬于矩陣A的不同特征值的特征向量是線性無(wú)關(guān)的.

定理2" n階方陣A相似于對(duì)角矩陣的充要條件是A具有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.

1.1" 計(jì)算A的特征值與其對(duì)應(yīng)的特征向量

由于f（λ）=|A-λE|=1-λ" 11" -λ=λ2-λ-1=0，

得A的特征根為λ1=1+52，λ2=1－52，

當(dāng)λ=λ1時(shí)，

解方程組A－λ1EX=0，

A－λ1E=1－λ111－λ1→1－λ100，

得同解方程組為x1=λ1x2，x1=x2，

所以得A屬于λ1的特征向量為α1=λ1，1T，

同理求得λ2的特征向量為α2=λ2，1T，

因?yàn)棣?≠λ2，由定理1可知α1，α2線性無(wú)關(guān).

1.2" 求A的相似對(duì)角陣

取P=α1，α2=λ1λ211，

則易知P為可逆陣，再計(jì)算P-1，

P|E=λ11λ211001 →

1001－1λ2－λ11λ2－λ1λ2λ2－λ1－λ1λ2－λ1，

所以求得P－1=1λ2－λ1－1λ21－λ1

=1515－12－15+12 .

由定理2知，對(duì)于矩陣A，有P－1AP=B（1） ，

其中B是A的相似對(duì)角陣

B=λ100λ2=1+52001－52 ，

由（1）式易得A=PBP－1，A2=（PBP－1）（PBP－1）=PB2P－1，…，An=PBnP－1

2" 計(jì)算An與an

=151+52n+1－1－52n+11+52n－1－52n1+52n－1－52n1+52n－1－1－52n－1.

an：an+2an+1=An11=PBnP－111

=151+52n+1－1－52n+11+52n－1－52n1+52n－1－52n1+52n－1－1－52n－111

=151+52n3+52－1－52n3－521+52n－13+52－1－52n－13－52.

對(duì)比兩相等矩陣的對(duì)應(yīng)元素，得數(shù)列的通項(xiàng)公式為

an+1=551+52n－13+52－

1－52n－13－52，

an=551+52n－1－52n.

上述利用矩陣特征值理論解決斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式，我們可簡(jiǎn)寫為：

此二階循環(huán)數(shù)列an的特征方程為

x2=x+1，

其解為x1=1+52，x2=1－52.

設(shè)an=c1x1n+c2x2n，

解方程組c11+52+c21－52=1，c1（1+52）2+c2（1－52）2=1，

得c1=55，c2=－55，

an=551+52n－1－52n ，

此例若用待定系數(shù)法將不勝其煩且技巧性極強(qiáng)，這就是現(xiàn)代數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)中所遇到的一個(gè)特點(diǎn)：在高觀點(diǎn)下解決中學(xué)問(wèn)題將會(huì)事半功倍.

本文從矩陣特征值角度研究了2階遞推公式，我們進(jìn)行階數(shù)推廣.

定義1" 對(duì)于數(shù)列an：a1，a2，…，an，… ，如果存在一個(gè)自然數(shù)k和k個(gè)實(shí)數(shù)常數(shù)λ1，λ2，…，λkλk≠0，能使an+k=λ1an+k－1+λ2an+k－2+…+λkan，對(duì)所有正整數(shù)n均成立，那么an叫做k階遞推數(shù)列［3］.

定義2" 對(duì)于k階遞推數(shù)列相應(yīng)的k次方程xk=λ1xk－1+λ2xk－2+…+λk－1x+λkλk≠0 ，叫做k階遞推數(shù)列an的特征方程［4］.

K階遞推數(shù)列是數(shù)列中一類常見的數(shù)列.等比數(shù)列即為一階遞推數(shù)列（顯然an+1=qan ，其中q=λ1≠0 ；等差數(shù)列即為二階遞推數(shù)列（顯然由an+2－an+1=an+1－an=d ，可得an+2=2an+1－an ）.

我們總結(jié)為以下定理：

定理" 如果具有關(guān)系式：an+2=λ1an+1+λ2anλ2≠0①的二階遞推數(shù)列an的特征方程：x2=λ1x+λ2λ2≠0②有兩個(gè)不同的實(shí)根x1，x2，那么數(shù)列an的通項(xiàng)公式可表示為an=c1xn1+c2xn2③.

其中實(shí)系數(shù)c1，c2 由方程組：

c1x1+c2x2=a1c1x21+c2x22=a2④唯一確定［5］.