GeoGebra可視化教學(xué)在高中數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中的應(yīng)用

【摘要】GeoGebra的幾何作圖、代數(shù)運(yùn)算和數(shù)據(jù)處理等功能強(qiáng)大，具有動(dòng)態(tài)性、便捷性、多功能性等特點(diǎn)，受到許多教師和教育研究者的青睞.本文利用GeoGebra軟件探究圓錐曲線中的動(dòng)點(diǎn)軌跡問題，有機(jī)整合教材內(nèi)容，由淺入深，生動(dòng)形象展現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)軌跡生成的過程，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)研究數(shù)學(xué)的興趣.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；GeoGebra；課堂教學(xué)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》將“數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)”作為單獨(dú)的主題，與“函數(shù)”“幾何與代數(shù)”“概率與統(tǒng)計(jì)”共同組成貫穿高中數(shù)學(xué)課程的主線內(nèi)容.可見數(shù)學(xué)探究活動(dòng)在數(shù)學(xué)教育中的重要地位.數(shù)學(xué)探究活動(dòng)在學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念、原理的生成過程，經(jīng)歷從數(shù)學(xué)研究對象的獲得再到應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的過程中起到不可或缺的作用.

在實(shí)際教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，利用GeoGebra軟件，可以展示理論分析無法做到的動(dòng)態(tài)可視性，將數(shù)學(xué)的抽象化為直觀形象，可以輕松處理一些黑板粉筆無法處理的數(shù)據(jù)，使數(shù)學(xué)探究活動(dòng)更貼近生活、符合實(shí)際，能有效解決課堂的重點(diǎn)、難點(diǎn)，提高課堂效率．同時(shí)，GeoGebra功能強(qiáng)大，操作簡潔方便，有強(qiáng)大的代數(shù)和幾何功能，可以和學(xué)生一起，通過改變參數(shù)、設(shè)置變量等方式探究數(shù)學(xué)概念、原理，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中獲得理性思考和邏輯分析的能力，幫助學(xué)生提高研究和解決問題的能力.

1" 整合教材資源，優(yōu)化探究內(nèi)容

1.1" 探究橢圓的第一定義

把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于定值2a（2agt;|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距．

人教A版教材是通過定長細(xì)繩實(shí)驗(yàn)畫出橢圓的軌跡，從而歸納出橢圓的第一定義.這個(gè)實(shí)驗(yàn)的優(yōu)點(diǎn)是可以和學(xué)生一起動(dòng)手操作，感受橢圓概念的生成過程，缺點(diǎn)是不方便改變繩子的長度和定點(diǎn)距離．通過GeoGebra可以改進(jìn)這個(gè)實(shí)驗(yàn)．如圖1，拖動(dòng)滑動(dòng)條a和滑動(dòng)條c，可以改變P點(diǎn)到F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離，以及2a和定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離2c，點(diǎn)擊動(dòng)畫按鈕可以得到不同的橢圓（如圖1）.然后拋出思考題：如果2a=2c，P點(diǎn)軌跡還是一個(gè)橢圓嗎？點(diǎn)擊a=c按鈕，可以發(fā)現(xiàn)P點(diǎn)軌跡變成了一條線段．通過GeoGebra可視化動(dòng)畫生成橢圓，然后讓學(xué)生歸納橢圓的定義，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、抽象的能力．雙曲線、拋物線的定義也可以類似進(jìn)行探究，由于篇幅有限，本文不展開討論．

圖1

1.2" 探究圓錐曲線的統(tǒng)一定義（第二定義）

人教A版選擇性必修一P113頁設(shè)置了有關(guān)橢圓第二定義的例題.

例1" 動(dòng)點(diǎn)P（x，y）與定點(diǎn)F（4，0）的距離和P到定直線l：x=254的距離的比是常數(shù)45，求動(dòng)點(diǎn)P 的軌跡.

通過直接法很容易得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)長軸、短軸長分別是10，6的橢圓x225+y29=1.講完拋物線后，可以帶領(lǐng)學(xué)生重溫例1，拋出例1的變式探究題目．

變式1" 動(dòng)點(diǎn)P（x，y）與定點(diǎn)F（4，0）的距離和P到定直線l：x=94的距離的比是常數(shù)43，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡.

變式2" 動(dòng)點(diǎn)P（x，y）與定點(diǎn)F（4，0）的距離和P到定直線l：x=－4的距離的比是常數(shù)1，求動(dòng)點(diǎn)P 的軌跡.

變式3" 動(dòng)點(diǎn)P（x，y）與定點(diǎn)F（c，0）的距離和P.到定直線l：x=a2c的距離的比是常數(shù)ca（agt;0，cgt;0，a≠c），求動(dòng)點(diǎn)P 的軌跡.

通過直接法易得變式1動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是雙曲線，變式2動(dòng)點(diǎn)P 的軌跡是拋物線．變式3當(dāng)agt;cgt;0時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P 的軌跡是橢圓，當(dāng)cgt;agt;0時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P 的軌跡是雙曲線．下面通過GeoGebra探究圓錐曲線的統(tǒng)一定義．如圖2，拖動(dòng)滑動(dòng)e，發(fā)現(xiàn)當(dāng)|PF||PM|=e∈（0，1）時(shí)，P點(diǎn)軌跡為橢圓；當(dāng)|PF||PM|=e=1時(shí)，P點(diǎn)軌跡為拋物線；當(dāng)|PF||PM|=e∈（1，+∞）時(shí)，P點(diǎn)軌跡為雙曲線．

圖2

然后讓學(xué)生歸納出圓錐曲線的統(tǒng)一定義：到定點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離（F點(diǎn)不在l上）的比e是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線．這里e為離心率，F(xiàn)為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線．

借助GeoGebra可視化軟件，有機(jī)整合教材資源，生成一系列有關(guān)圓錐曲線定義的問題，由淺入深，層層相扣，采用螺旋上升的教學(xué)方式，加深學(xué)生對圓錐曲線定義的理解.

2" GeoGebra可視化探究動(dòng)點(diǎn)軌跡問題

動(dòng)點(diǎn)軌跡問題貫穿整個(gè)圓錐曲線的教學(xué)過程，是圓錐曲線教學(xué)的基礎(chǔ)和根基.動(dòng)點(diǎn)軌跡問題以抽象、多變難懂而聞名.學(xué)生望動(dòng)點(diǎn)軌跡問題卻步，不知如何入手解決這類問題.借助GeoGebra解決動(dòng)點(diǎn)軌跡問題，直觀展現(xiàn)了動(dòng)點(diǎn)軌跡的生成過程，降低了此類問題的難度，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)圓錐曲線的信心.

探究1" 圓O的半徑為定長r，A 是圓O內(nèi)一定點(diǎn)，P是圓O上任意一點(diǎn)，線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是什么？為什么？

探究2" 圓O的半徑為定長r，A 是圓O外一定點(diǎn)，P是圓O上任意一點(diǎn)，線段AP的垂直平分線l和直線OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是什么？為什么？

分析"" 在GeoGebra繪圖中用畫圓工具畫出一個(gè)圓O，用對象上的點(diǎn)作出圓O上的點(diǎn)P，作出直線OP.

在圓O內(nèi)作點(diǎn)A，連接AP，作出線段AP的垂直平分線l.作出直線OP與l的交點(diǎn)Q，跟蹤點(diǎn)Q軌跡.啟動(dòng)動(dòng)畫，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)Q的軌跡是橢圓.

理由：因?yàn)閨QA|+|QO|=|QP|+|QO|=|OP|gt;|OA|，所以Q的軌跡是以O(shè)，A為焦點(diǎn)的橢圓.

將點(diǎn)A拖到圓O外，啟動(dòng)動(dòng)畫，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)Q軌跡是雙曲線.

理由：因?yàn)閨|QO|－|QA||=||QO|－|QP||=|OP|lt;|OA|，所以Q的軌跡是以O(shè)，A為焦點(diǎn)的雙曲線.

探究3" 已知雙曲線x24－y216=1與直線l：y=kx+m（k≠±2）有唯一的公共點(diǎn)M，過點(diǎn)M且與l垂直的直線分別交x軸、y軸于A（x，0），B（0，y）兩點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)P（x，y）的軌跡方程.并說明軌跡是什么曲線.如果推廣到一般雙曲線，能得到什么相應(yīng)的結(jié)論？

分析" 這個(gè)題目乍一看，不容易看出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡.這類軌跡問題是學(xué)生學(xué)習(xí)的一大難點(diǎn)，也是教師教學(xué)的一個(gè)大的挑戰(zhàn).運(yùn)用GeoGebra可以降低教學(xué)的難度.如圖8，點(diǎn)擊P選擇追蹤工具，拖動(dòng)M點(diǎn)，觀察點(diǎn)P的軌跡.發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P的軌跡是雙曲線.

聯(lián)立雙曲線與直線l的方程并消去y得到：

（4-k2）x2－2mkx－（m2+16）=0①=1＼*GB3.

因?yàn)閗≠±2，M是雙曲線與直線l的唯一公共點(diǎn)，令Δ=0得到m2=4（k2－4）②=2＼*GB3.

圖3

解方程①=1＼*GB3并結(jié)合直線l方程得M點(diǎn)坐標(biāo)為km4－k2，4m4－k2，即M－4km，－16m，

其中km≠0.于是，過點(diǎn)M且與l垂直的直線為y+16m=－1kx+4km.

可得A－20km，0，B0，－20m，

P－20km，－20m，

即x=－20km，y=－20m.

因此，x2=400k2m2=400m2m24+4=100+1600m2=100+4y2，

即x2100－y225=1，其中y≠0.所以點(diǎn)P的軌跡方程是x2100－y225=1（y≠0），軌跡是焦點(diǎn)在x軸上，實(shí)軸長為20，虛軸長為10的雙曲線（去掉兩個(gè)頂點(diǎn)）.

如果將此題推廣到一般的雙曲線x2a2－y2b2=1（agt;0，bgt;0），直線l：y=kx+m（k≠±ba），其他條件不變.拖動(dòng)滑動(dòng)條，改變兩個(gè)參數(shù)a，b的值，拖動(dòng)M點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P的軌跡依然是雙曲線.類似第一個(gè)問題的解法可得點(diǎn)P（x，y）的軌跡方程是x2a2+b2a2－y2a2+b2b2=1（y≠0），軌跡是焦點(diǎn)在x軸上，實(shí)軸長為2（a2+b2）a，虛軸長為2（a2+b2）b的雙曲線（去掉兩個(gè)頂點(diǎn)）.

推廣1" 已知橢圓x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）與直線l：y=kx+m（k≠0）有唯一的公共點(diǎn)M，過點(diǎn)M且與l垂直的直線分別交x軸、y軸于A（x，0），B（0，y）兩點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)P（x，y）的軌跡方程.并說明軌跡是什么曲線.

推廣2" 已知拋物線y2=2px（pgt;0）與直線l：y=kx+m有唯一的公共點(diǎn)M，過點(diǎn)M且與l垂直的直線分別交x軸、y軸于A（x，0），B（0，y）兩點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)P（x，y）的軌跡方程.并說明軌跡是什么曲線.

3" 結(jié)語

GeoGebra可視化教學(xué)，可以使數(shù)學(xué)內(nèi)容生動(dòng)形象、淺顯易懂，但過度的可視化可能扼殺學(xué)生的想象力， 阻礙學(xué)生從形象思維提升到抽象思維.可視化教學(xué)可作為數(shù)學(xué)教學(xué)的輔助工具，但同時(shí)更加要注重引導(dǎo)學(xué)生演繹證明、歸納抽象.建議在使用可視化教學(xué)之前，讓學(xué)生進(jìn)行深度思考、演繹推理.

【基金項(xiàng)目：本文系廣東省中山市教育科研2020年度一般項(xiàng)目（立項(xiàng)號(hào)：B2020180）《數(shù)字工具支持下的高中數(shù)學(xué)“問題-探究-拓展-交流”教學(xué)路徑實(shí)踐研究》的研究成果】

參考文獻(xiàn)：

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［3］張志勇.高中數(shù)學(xué)可視化教學(xué)：原則、途徑與策略［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2018（06）：21-24.