基于分類討論思想的高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)研究

【摘要】解題教學(xué)作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一大組成部分，不僅是鍛煉學(xué)生思維、促進(jìn)學(xué)生邏輯能力提高的有效舉措，也是高中數(shù)學(xué)開展的應(yīng)然目的之一.分類討論思想作為一種事項(xiàng)劃分的解題思路，在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用具有簡化問題的價值.本文首先明確高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)分類討論的標(biāo)準(zhǔn)與原則，進(jìn)而提出分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用，旨在為提高高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)質(zhì)量提供助力.

【關(guān)鍵詞】分類討論；高中數(shù)學(xué)；解題教學(xué)

1" 高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)分類討論的原則

其一，不遺漏原則.經(jīng)分類討論所得的所有的外延總和，應(yīng)與被分類的概念外延相一致.

其二，不重復(fù)原則.經(jīng)分類討論所得的問題各事項(xiàng)不能一致，應(yīng)互相排斥.

其三，統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)原則.經(jīng)分類討論所得的集合分類或概念應(yīng)具有多層次性.因此問題事項(xiàng)分類可以分別進(jìn)行，但每一次劃分必須要遵循統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn).從數(shù)學(xué)語言角度出發(fā)進(jìn)行表示：若全域?yàn)榧螦，則分類成子集Ai1≤i≤n，則Ai應(yīng)滿足以下兩個條件：（1）A1∪A2∪A3∪…∪An=A；（2）Ai∪Aj=，i≠j，1≤i≤n，1≤j≤n.

即將分類討論對象劃分為若干類別，其并集為全集，兩兩的交集為空集.

2" 分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用

2.1" 幾何解題中的分類討論思想

例1" 如圖1所示，在△ABC中，AB=AC，△ABC內(nèi)有一點(diǎn)O，且∠AOBgt;∠AOC，求證：OBlt;OC.

圖1

證明" 設(shè)∠AOB=a1，∠AOC=a2，

∠ABO=β，∠ACO=γ.

則由正弦定理得：

ABsina1=AOsinβ，ACsina2=AOsinγ.

因?yàn)锳B=AC，

所以sina1sinβ=sina2sinγ.

又因?yàn)椤螦OBgt;∠AOC，

即a1gt;a2，且a1+a2gt;180°，

得90°lt;a1lt;180°，0°lt;a2lt;180°.

在此區(qū)間sina2是非單調(diào)函數(shù)，因此展開分類討論.

①當(dāng)a2≥90°時，

因?yàn)閍1≥90°，且a1gt;a2，

則sina1lt;sina2，

所以sinβlt;sinγ，且γ，βlt;90°，

則γgt;β.

②當(dāng)a2lt;90°時，

因?yàn)閍1gt;90°，

則180°－a1lt;90°，

又a1+a2gt;180°，

得a2gt;180°－a1，

則sina1=sin180°－a1lt;sina2，

所以sinβlt;sinγ，且γ，βlt;90°，則γgt;β.

綜上，∠ABC=∠ACB，∠OBC=∠OCB，

所以O(shè)Blt;OC.

2.2" 由數(shù)學(xué)概念來明確分類標(biāo)準(zhǔn)

按照數(shù)學(xué)基本概念與定義對問題事項(xiàng)進(jìn)行邏輯劃分，在解決問題時循序漸進(jìn)進(jìn)行分類討論.比如，分段函數(shù)概念，絕對值的定義：

a=aagt;00a=0-aalt;0.

例2" 函數(shù)fx=2x－1－2lnx的最小值為［3］.

解" 由題意知函數(shù)fx的定義域?yàn)椋?，+∞），所以

當(dāng)0lt;x≤12時，fx=1－2x－2lnx，此時fx單調(diào)遞減；

當(dāng)xgt;12時，fx=2x－1－2lnx，

由f′x=2－2x，

得12lt;x≤1時，f′x≤0，此時fx單調(diào)遞減，

xgt;1時，f′xgt;0，此時fx單調(diào)遞增，又函數(shù)fx的圖象不間斷.

綜上，fx在0，1上單調(diào)遞減；在1，+∞上單調(diào)遞增，因此fxgt;f1=1，所以所求函數(shù)最小值為1.

2.3" 根據(jù)數(shù)學(xué)運(yùn)算的需要確定分類標(biāo)準(zhǔn)

如偶次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，在整體求解時需要考慮到不等式兩邊同乘實(shí)數(shù)對不等號方向的影響，尋找解題規(guī)律.

例3" 正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，an+12=4Sn，

記bn=Sn·sinnπ2+Sn+1·sinn+1π2，若數(shù)列bn前n項(xiàng)和為Tn，則T100的值為（" ）

（A）-400." （B）-200." （C）200." （D）400.

解" 解得an=2n－1，Sn=n2，

那么bn=n2·sinnπ2+n+12sinn+1π2，

（1）當(dāng)n=4k，k∈N時，

b4k=S4k·sin2kπ+S4k+1·sin（4k+1）π2=4k+12；

（2）當(dāng)n=4k－1，k∈N時，

b4k－1=S4k－1·sin（4k－1）π2+S4k·sin4kπ2=－4k－12；

（3）當(dāng)n=4k－2，k∈N時，

b4k－2=S4k－2·sin4k－22π+S4k－1·sin（4k－1）π2=－4k－12；

（4）當(dāng)n=4k－3，k∈N時，

b4k－3=S4k－3·sin4（k－3）π2+S4k－2·sin（4k－2）π2=4k－32.

則b4k+b4k－1+b4k－2+b4k－3=4k+12－24k－12+4k－32=8，

所以T100=b1+b2+b3+b4+…+（b97+b98+b99+b100）=25×8=200，

故選（C）［4］.

解題評注由sinnπ2，n∈N周期性取值，將問題劃分為四類并進(jìn)行分別求解，得出問題的內(nèi)在規(guī)律后解決問題.

2.4" 不等式中的分類討論思想

例4" 設(shè)k∈N，求滿足不等式m+nlt;k的整數(shù)解組的m，n解集.

解" 學(xué)生在解題時幾乎無法對答案進(jìn)行最直接求解.為了解決這一問題，就需要將k視為參數(shù)，并將與k相關(guān)的整數(shù)解的組數(shù)，設(shè)為gk.從特殊情況著手并得出其中的解題規(guī)律，提出猜想后求證.

當(dāng)k=1時，

則有解0，0，即g1=1；

當(dāng)k=2時，

則有解0，0，0，±1，±1，0，

即g2=1+4=5；

當(dāng)k=3時，

則有解0，0，0，±1，0，±2，±1，0，±1，±1，±2，0，

即g3=1+4+4×2=13；

當(dāng)k=4時，則有解0，0，0，±1，0，±2，0，±3，±1，0，±1，±1，±2，0，±3，0，±1，±2，±2，±1，

即g4=1+4+4×2+4×3=25.

猜想" gk=1+4×1+4×2+…+4k－1=1+2kk－1.

由此可得遞推式gk=gk－1+4k－1.

參考文獻(xiàn)：

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