高中立體幾何問題解法探究

【摘要】立體幾何是高中數(shù)學(xué)中的一個重要內(nèi)容，也是學(xué)生們常常感到困惑和難以理解的部分.本文通過對高中立體幾何問題解法進(jìn)行探究，總結(jié)一些常見問題的解題思路和方法，旨在幫助學(xué)生更好地理解和掌握立體幾何知識.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；幾何性質(zhì)法；向量法；空間坐標(biāo)軸

1" 引言

高中立體幾何常見的內(nèi)容包括：通過平面圖、視圖等方式來表示和描述立體圖形；研究直線與平面的相交、平行和垂直關(guān)系以及空間中點(diǎn)、線、面之間的距離和角度關(guān)系；計(jì)算多面體、圓柱、圓錐、球體等立體圖形的表面積和、體積和平移、旋轉(zhuǎn)、鏡像、錯切等幾何變換在立體圖形中的應(yīng)用.本文針對常見的立體幾何問題介紹利用幾何性質(zhì)法與向量法綜合運(yùn)用的解題技巧來解決立體幾何問題，并通過實(shí)例說明具體的解題過程.

2" 幾何性質(zhì)法與向量法綜合運(yùn)用

例1" 如圖1所示，在正方體ABCD－EFGH中，P是邊EF的中點(diǎn)，Q是邊FG的中點(diǎn)，R是邊BC的中點(diǎn)，S是邊AB的中點(diǎn).求證：四邊形PQRS是一個矩形.

圖1

圖2

解析" 首先，需要理解正方體的幾何性質(zhì).正方體是一個立方體，其六個面都是正方形，邊長相等且相互垂直，且兩兩相互平行.在正方體中，需要判斷四邊形PQRS是一個矩形.

建立空間坐標(biāo)軸，如圖2所示.

設(shè)正方體每邊長為a，因?yàn)镻，Q，R，S分別為邊EF、邊FG、邊BC和邊AB的中點(diǎn)，

所以各自坐標(biāo)分別為Pa2，0，a，

Qa，a2，a，

Ra，a2，0，Sa2，0，0.

PQ=a2，a2，0，QR=（0，0，－a），

RS=－a2，－a2，0，SP=（0，0，a）.

PQ·QR=a2×0+a2×0+0×（－a）=0，

所以∠PQC=90°.

PQ·SP=a2×0+a2×0+0×a=0，

所以∠SPQ=90°.

RS·SP=－a2×0－a2×0+0×a=0，

所以∠RSP=90°.

根據(jù)矩形判定方法：有三個角是直角的四邊形是矩形，所以四邊形PQRS是一個矩形.

評析" 我們可以看到如何利用正方體的幾何性質(zhì)以及向量法推導(dǎo)并證明四邊形PQRS是一個矩形.在解決立體幾何問題時，觀察圖形的特點(diǎn)，利用幾何性質(zhì)來推導(dǎo)結(jié)論是非常有幫助的.這種方法可以使我們更好地理解立體幾何問題，并提供解決問題的線索.

例2" 如圖3，有一正三棱柱ABC－DEF，幾何體的所有棱長均為a，在棱FC上尋找一點(diǎn)G使得DB⊥平面AEG.

圖3

圖4

解析" 正三棱柱有上下底面為全等的兩個正三角形，側(cè)面由矩形構(gòu)成，側(cè)棱平行且相等，且上下底面的中心連線垂直于底面，即側(cè)面與底面垂直的棱柱.

根據(jù)題意以及正三棱柱性質(zhì)建立空間坐標(biāo)軸如圖4所示，

設(shè)G坐標(biāo)為0，－a2，x，

D點(diǎn)坐標(biāo)為0，a2，a，

B點(diǎn)坐標(biāo)為3a2，0，0，

A點(diǎn)坐標(biāo)為0，a2，0，

E點(diǎn)坐標(biāo)為3a2，0，a.

DB=3a2，－a2，－a，

AE=3a2，－a2，a，

AG=（0，－a，x），

根據(jù)線段垂直平面條件，得DB⊥平面AEG的條件為DB·AE=0和DB·AG=0.

所以可以得到DB·AG=－a22+ax=0，

得到x=a2，

所以G坐標(biāo)為0，－a2，a2，

所以G為棱FC的中點(diǎn).

評析" 該例題首先要了解正三棱柱的特點(diǎn)和性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上，建立合適的三維坐標(biāo)系，利用向量以及線面垂直性質(zhì)，建立方程求解，從而得到G點(diǎn)位置.

3" 結(jié)語

通過對高中立體幾何問題解法的探究，可以總結(jié)一些常見問題的解題思路和方法.在解決立體幾何問題時，通過觀察圖形的特點(diǎn)，可以利用幾何體的幾何性質(zhì)，通過建立坐標(biāo)系和運(yùn)用向量法來推導(dǎo)結(jié)論.另外，對于確定點(diǎn)的位置或平面的條件，可以通過建立合適的三維坐標(biāo)系，利用向量和線面垂直等幾何性質(zhì)來求解方程，從而得到所需的點(diǎn)或平面的位置.綜上所述，通過運(yùn)用幾何性質(zhì)法與向量法的綜合運(yùn)用，可以更好地解決高中立體幾何問題，提高對立體幾何知識的理解和掌握能力.

參考文獻(xiàn)：

［1］石守娟.高中數(shù)學(xué)立體幾何的解題技巧［J］.數(shù)理天地（高中版），2023（13）：28-29.

［2］徐福安.高中數(shù)學(xué)立體幾何的解題技巧和方法［J］.數(shù)理化解題研究，2023（12）：47-49.

［3］李春霞.高中數(shù)學(xué)立體幾何綜合問題解題策略［J］.教育實(shí)踐與研究（B），2023（02）：34-39.