例談二項展開式中系數(shù)與二項式系數(shù)的關系

【摘要】二項式定理作為計數(shù)原理模塊中的一個重要知識點，也是高考命題中的一個基本知識點．本文主要正確辨析二項展開式中的系數(shù)與二項式系數(shù)這兩個不同的概念，結合相關的應用問題加以正確理解與掌握，形成思維習慣，引領并指導數(shù)學教學與解題研究．

【關鍵詞】高中數(shù)學；二項式定理；二項式系數(shù)

二項式定理是高中數(shù)學基礎知識中較為獨特的一部分，在數(shù)學教學與學習過程中，應認真做好基礎知識與基本方法的梳理工作，精心配置相應的例題和習題，進行數(shù)學知識、思想方法和技巧策略的訓練，才能真正理解并掌握二項式定理及其相關知識．特別關于二項展開式的系數(shù)與二項式系數(shù)這兩個不同概念的辨析，對概念理解、思維發(fā)展、能力培養(yǎng)和核心素養(yǎng)的提升起著關鍵的作用．

1" 二項展開式的系數(shù)問題

二項式（a+b）n展開式的通項公式Tr+1=Crnan－rbr（其中0≤r≤n，r∈N，n∈N*）中，二項展開式的系數(shù)指的是對應展開式中除字母以外的系數(shù)部分．這里的系數(shù)主要是指常數(shù)部分，與相關的變量字母是相對應的．

例1" 二項式x2+2x8的展開式中x4的系數(shù)是（" ）

（A）16."" （B）70." "（C）560."" （D）1120.

分析" 根據(jù)題設條件，結合二項式定理的通項公式，根據(jù)題目中要求的相關項的指數(shù)來構建對應的方程，通過求解相應的參數(shù)r的值，代入二項式定理的通項公式來分析并求解對應的系數(shù)即可．

解" 在二項式中，設含x4的項為第r+1項，

則有Tr+1=Cr8×（x2）8－r×（2x）r=Cr8×2r×x16－3r，

令16－3r=4，

解得r=4，

則對應展開式中x4的系數(shù)為：C48×24=1120，

故選擇答案（D）．

點評" 這是應用二項式定理的通項公式的典型問題，通過二項式定理的通項公式熟練寫出所需的一般項，而結合題設條件，具體的解題思路實質是利用方程思想，根據(jù)條件列出方程，解出參數(shù)r的值，結合二項展開式的系數(shù)解出對應項的系數(shù)即可．

2" 二項展開式的二項式系數(shù)問題

二項式（a+b）n展開式的通項公式Tr+1=Crnan－rbr（其中0≤r≤n，r∈N，n∈N*）中，二項展開式的二項式系數(shù)指的是對應展開式中Crn的值．這里的二項式系數(shù)是獨立存在的，與其他常數(shù)和變量字母之間沒有聯(lián)系．

例2" 已知二項式x+13xn的展開式中偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和比（a+b）2n展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和小120，則第一個展開式中的第三項為．

分析" 根據(jù)題設條件，注意分析二項式系數(shù)的和、奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和、偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和這三者所對應的值，根據(jù)題意結合相應的關系式加以求解冪指數(shù)n的值，再求解相應的問題．

解" 由于（a+b）2n展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為22n－1，x+13xn的展開式中偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和為2n－1，

依題意可得22n－1－2n－1=120，

即22n－2n－240=0，

解得2n=16或2n=－15（舍去），

則有n=4，

所以，第一個展開式中的第三項為：

T3=C24×x2×13x2=63x，

故填答案：63x．

點評" 二項式系數(shù)的性質是研究二項式定理的重要內容之一，主要考查展開式中某項的二項式系數(shù)與系數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系，展開式中的最大的二項式系數(shù)或系數(shù)，以及通過賦值法求解某些特殊項的二項式系數(shù)或系數(shù)的和等問題．求二項式所有項的系數(shù)和，經(jīng)常采用賦值法求解；求系數(shù)最大值或最小值時要區(qū)分冪指數(shù)n是偶數(shù)還是奇數(shù)．

3" 二項展開式的系數(shù)與二項式系數(shù)的應用問題

在正確辨析二項展開式的系數(shù)與二項式系數(shù)這兩個不同概念的基礎上，結合相關的應用加以綜合與應用，特別是新高考中的多項選擇題這種形式的命題，可以很好地融入二項式定理中的相關知識與不同概念．

例3" （2023屆浙江省寧波市九校高三（上）期末數(shù)學試卷）（多選題）若二項式x+2xn的展開式中二項式系數(shù)之和為64，則下列結論中正確的是（" ）

（A）二項展開式中各項系數(shù)之和為35.

（B）二項展開式中二項式系數(shù)最大的項為160x32.

（C）二項展開式中無常數(shù)項.

（D）二項展開式中系數(shù)最大的項為240.

分析" 根據(jù)題設條件，先由二項式系數(shù)和求得參數(shù)n的值，令x=1可求得各項系數(shù)之和來判斷選項（A），由二項式系數(shù)的性質可得二項式系數(shù)最大的項來判斷選項（B），由展開式的通項中x的指數(shù)確定有無常數(shù)項來判斷選項（C），列不等式組求得系數(shù)最大的項來判斷選項（D），從而得以綜合應用．

解" 因為二項式x+2xn的展開式中二項式系數(shù)之和為64，

所以2n=64，

解得n=6，

所以二項式為x+2x6，

則二項式展開式的通項公式：

Tr+1=Cr6×x6－r×2xr=Cr6×2r×x6－32r，

對于選項（A），令x=1，可得二項展開式中各項系數(shù)之和為36，錯誤；

對于選項（B），第四項的二項式系數(shù)最大，此時r=3，則二項展開式中二項式系數(shù)最大的項為T4=160x32，正確；

對于選項（C），令6－32r=0，可得r=4，所以二項展開式中的常數(shù)項為T5=240，錯誤；

對于選項（D），令第r+1項的系數(shù)最大，則Cr6×2r≥Cr－16×2r－1Cr6×2r≥Cr+16×2r+1，解得113≤r≤143，

因為r∈N，所以r=4，則二項展開式中系數(shù)最大的項為T5=240，正確；

綜上分析，結論中正確的是選項（B）（D）．

點評" 此類題型涉及二項展開式的系數(shù)與二項式系數(shù)的應用問題，巧妙地借助多選題，合理地將二項展開式的系數(shù)與二項式系數(shù)這兩個不同的概念融合其中，通過合理的場景創(chuàng)設以及概念辨析，加強對二項式定理的理解與應用．

4" 結語

正確辨析二項展開式的系數(shù)與二項式系數(shù)這兩個不同概念及其相關的應用，合理構建準確的知識與能力結構，從而在解題過程中正確應用，避免產(chǎn)生混淆而導致錯誤，讓學生形成良好的思維習慣，構建完善的知識架構與創(chuàng)新應用．