關(guān)于拋物線焦半徑問(wèn)題的解法探究

【摘要】拋物線是中學(xué)數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的重要知識(shí)點(diǎn)，考查拋物線的題型和形式多種多樣，焦半徑問(wèn)題就是其中一部分.焦半徑是指焦點(diǎn)到曲線上任意點(diǎn)的連線線段，可考查該線段的長(zhǎng)度、比值等相關(guān)問(wèn)題，拋物線的焦半徑問(wèn)題也不例外.本文對(duì)一道拋物線的焦半徑問(wèn)題做出分析，并結(jié)合其他變式說(shuō)明不同解法的具體應(yīng)用過(guò)程與特點(diǎn)，幫助學(xué)生拓展解題思路.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；拋物線；焦半徑；參數(shù)方程

例題" 已知F是拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且斜率為2的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，若AF·BF=20，則p=.

1" 坐標(biāo)法

坐標(biāo)法是指通過(guò)假設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，得到與坐標(biāo)有關(guān)直線解析式，聯(lián)立拋物線后消元得到一元二次方程式，憑借韋達(dá)定理得到點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，并用坐標(biāo)表達(dá)焦半徑，從而解答問(wèn)題.運(yùn)用坐標(biāo)法解題，通常會(huì)對(duì)拋物線上動(dòng)點(diǎn)做出假設(shè)，具體解題步驟為：（1）假設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，得到經(jīng)過(guò)動(dòng)點(diǎn)和焦點(diǎn)的直線解析式，聯(lián)立拋物線得到一元二次方程式；（2）憑借韋達(dá)定理，用公式表示焦半徑可為PF=p2±x1（p是拋物線焦距，x1是假設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)）；（3）用焦半徑坐標(biāo)公式表示相關(guān)條件，解答問(wèn)題，可得到完整答案.

解法1" 由題意可得，點(diǎn)Fp2，0，

故直線l方程為：x=y2+p2，

聯(lián)立拋物線C方程，可得y2－py－p2=0，可知Δ＞0，

假設(shè)點(diǎn)Ax1，y1，點(diǎn)Bx2，y2，

則有y1+y2=p，y1y2=－p2，

所以x1+x2=y1+y22+p=3p2，

x1x2=y1+py2+p4=p24，

因?yàn)锳F=P2+x1，BF=P2+x2，

所以AF·BF=p2+x1p2+x2=20，

因?yàn)閜24+p2x1+x2+x1x2=5p24=20，

所以p=4.

2" 參數(shù)方程法

參數(shù)方程法主要是引入?yún)?shù)構(gòu)建焦點(diǎn)弦所在直線的參數(shù)方程，由于直線與拋物線存在交點(diǎn)，可將參數(shù)方程代入拋物線中得到只含引入?yún)?shù)的方程式，用單一的參數(shù)表示焦點(diǎn)弦并解答問(wèn)題，有助于提高解題效率.運(yùn)用參數(shù)方程法解答問(wèn)題的具體步驟為：（1）假設(shè)經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的直線傾斜角，引入?yún)?shù)t得到直線對(duì)應(yīng)的參數(shù)方程式；（2）將參數(shù)方程代入拋物線，得與參數(shù)有關(guān)的方程式，并且用參數(shù)表示焦點(diǎn)弦；（3）運(yùn)算求解相關(guān)等式，即可對(duì)問(wèn)題做出完整解答.

解法2"" 直線l斜率為2，設(shè)其傾斜角為α，

則有tanα=2，

sinα=255，

cosα=55，

直線l的參數(shù)方程為：x=p2+55ty=255t（t為參數(shù)），

代入y2=2px，

整理可得4t2－25pt－5p2=0，

因?yàn)棣?0，

所以設(shè)方程的實(shí)數(shù)根為t1，t2，

則t1t2=－5p24，

因?yàn)锳F·BF=t1t2=5p24=20，

所以p=4.

變式" 設(shè)點(diǎn)F是拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A是拋物線上第一象限點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作準(zhǔn)線l的垂線交準(zhǔn)線于點(diǎn)M，直線MF交拋物于D，B兩點(diǎn)，點(diǎn)D在線段MF上，若直線AB的斜率等于－3，則BFDF=.

解析" 解法1" 參數(shù)方程法

設(shè)直線MB參數(shù)方程為：

x=1+tcosαy=tsinα（t為參數(shù)），

代入y2=4x，

可得t2sin2α－4tcosα－4=0，

可知tB=2cosα－1sin2α，

tD=2cosα+1sin2α，

則yA=yM=－2sinαcosα，xA=sin2αcos2α，

yB=2cosα－1sinα，

xB=1+2cosαcosα－1sin2α，

因?yàn)閗AB=yB－yAxB－xA=4yB+yA=－3，

即6cos2α+2sinαcosα－3cosα－3=0，

解方程得cosα=－35或cosα=1±74，

因?yàn)?cos2α－3cosα－3=－2sinαcosα＞0，

所以cosα＞1（舍去）或cosα＜－12，

即cosα=－35，

所以BFDF=－tBtD=4.

解法2" 坐標(biāo)法

假設(shè)點(diǎn)Dx1，y1－1＜x1＜1，Bx2，y2，

Ay2A4，yA，M－1，yA，

由題意可知，直線MF經(jīng)過(guò)定點(diǎn)F1，0，

故假設(shè)直線解析式為y=kx－1，

因?yàn)橹本€MF經(jīng)過(guò)點(diǎn)M－1，yA，

所以yA=－2k，xA=k2，

因?yàn)橹本€AB斜率為－3，

所以yA－y2xA－x2=－2k－kx2－1k2－x2=－3，

解得x2=3k2－kk+3，

聯(lián)立直線MF和拋物線y2=4x，

可得y=kx－1，y2=4x，

消去y可得關(guān)于x的方程式：

k2x2－2k2+4x+k2=0，

根據(jù)韋達(dá)定理可知x1x2=12，

所以x1=12x2=k+32k3k－1，

因?yàn)锽F=1+x2=3k2+3k+3，

DF=1－x1=3k－12k+12k3k－1，

所以BFDF=4.

3" 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)例題和變式可以對(duì)拋物線的焦點(diǎn)弦相關(guān)問(wèn)題解法有一定了解，即坐標(biāo)法和參數(shù)方程法都能表示焦點(diǎn)弦并解答問(wèn)題，使用坐標(biāo)法可通過(guò)假設(shè)動(dòng)點(diǎn)和公式對(duì)問(wèn)題做出解答，參數(shù)方程法則使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與參數(shù)有關(guān)的表達(dá)式求解，解題更加直接.每種方法具備不同特點(diǎn)，需要學(xué)生觀察并理解運(yùn)用.同樣，掌握基礎(chǔ)知識(shí)和準(zhǔn)確運(yùn)算也是準(zhǔn)確解題的基礎(chǔ)所在.

參考文獻(xiàn)：

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