數(shù)列與函數(shù)及不等式的交匯問題探究

【摘要】數(shù)列與函數(shù)及不等式的綜合問題，是高考?？純?nèi)容，這類問題綜合性強(qiáng)，涉及的知識點(diǎn)多，求解過程復(fù)雜且對解題技巧要求高，比如放縮法的恰當(dāng)運(yùn)用，是很多學(xué)生數(shù)列知識體系中的薄弱環(huán)節(jié).本文以兩道高考模擬題為例，結(jié)合放縮法的運(yùn)用，對數(shù)列與函數(shù)及不等式的交匯問題進(jìn)行分析探究，以期幫助學(xué)生對這一知識點(diǎn)掌握得更加熟練.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；數(shù)列；函數(shù)；不等式

例1" （2022·東北聯(lián)考）設(shè)函數(shù)f（x）=lnx－px+1.

（1）求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)；

（2）當(dāng)pgt;0時(shí)，若對任意的xgt;0，恒有f（x）≤0，求p的取值范圍；

（3）證明：當(dāng)n∈N，且n≥2時(shí)，有l(wèi)n2222+ln3232+ln4242+…+lnn2n2lt;2n2－n－12（n+1）.

思路分析"" （1）函數(shù)的極值點(diǎn)由函數(shù)的單調(diào)性決定，先增后減，函數(shù)有極大值，先減后增，函數(shù)有極小值［1］.因此首先根據(jù)函數(shù)的特性，找到函數(shù)的定義域，然后對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，令f′（x）=0，所求坐標(biāo)為f（x）的極值點(diǎn)；（2）在定義域xgt;0內(nèi)，求出f（x）max的表達(dá)式，令f（x）max=0，則可求出p的取值范圍；（3）不等式的左邊可以看作數(shù)列l(wèi)nxx的前n項(xiàng)和，首先可以想辦法與函數(shù)f（x）=lnx－px+1建立聯(lián)系，然后結(jié)合第（2）問證得的結(jié)論，以此為切入點(diǎn)進(jìn)行化簡推理，是一條可行的思路［2］.另外，在化簡推理的過程中，通常會(huì)用到放縮法，進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s是證明不等式的關(guān)鍵［3］.下面進(jìn)行詳細(xì)講解.

解" （1）根據(jù)題意f（x）=lnx－px+1，

所以f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），

求導(dǎo)得f′（x）=1x－p=1－pxx，

當(dāng)p≤0時(shí)，f′（x）gt;0，此時(shí)f（x）在（0，+∞）上無極值點(diǎn)，

當(dāng)pgt;0時(shí)，令f′（x）=0，解得x=1p，

此時(shí)，f（x）在0，1p上遞增，在1p，+∞上遞減，

f（x）有唯一極大值點(diǎn)x=1p.

（2）由（1）可知，當(dāng)pgt;0時(shí)，

f（x）在x=1p處取得極大值f1p=ln1p，

根據(jù)f（x）的單調(diào)性，此極大值也是最大值，因此，要使xgt;0時(shí)，f（x）≤0恒成立，

則f1p=ln1p≤0，

解得p≥1，

即p的取值范圍為［1，+∞）.

（3）令p=1，由（2）可知lnx－x+1≤0，

即lnx≤x－1，

同理有l(wèi)nn2≤n2－1，

則lnn2n2≤n2－1n2=1－1n2，

則有l(wèi)n2222+ln3232+ln4242+…+lnn2n2≤1－122+1－132+1－142+…+1－1n2，

設(shè)a=1－122+1－132+1－142+…+1－1n2，

有a=（n－1）－122+132+…+1n2lt;（n－1）－12×3+13×4+…+1n（n+1）=

（n－1）－12－13+13－14+…+1n－1n+1

=（n－1）－12－1n+1=2n2－n－12（n+1），

即證得ln2222+ln3232+…+lnn2n2lt;2n2－n－12（n+1）.

例2""" （2021·湖南岳陽一模）已知數(shù)列an滿足a1=1，且點(diǎn)（an，an+1－2n）在函數(shù)f（x）=3x的圖象上.

（1）求an的通項(xiàng)公式，并證明an2n+1是等比數(shù)列；

（2）若bn=an+1an，數(shù)列bn的前項(xiàng)和為Sn，求證：Sngt;3n+23.

思路分析" （1）an的通項(xiàng)公式難以直接求得，但是可以根據(jù)問題中隱含的提示，一旦證得an2n+1是等比數(shù)列，求出an2n+1的通項(xiàng)公式，則an的通項(xiàng)公式即可容易求得，因此先根據(jù)題目已知條件，構(gòu)建出an2n+1的表達(dá)式，再進(jìn)行化簡，即可求出an2n+1的通項(xiàng)公式；（2）構(gòu)建an+1an，列出其前幾項(xiàng)和為Sn，然后進(jìn)行推理化簡，配合放縮法的運(yùn)用，即可證得不等式，下面進(jìn)行詳細(xì)講解.

解" （1）根據(jù)題意，點(diǎn)（an，an+1－2n）在函數(shù)f（x）=3x的圖象上，

可得an+1=2n+3an，

則有an+12n=3an2n+1，

即an+12n+1=32·an2n+12，

兩邊加1，有an+12n+1+1=32an2n+1，

由a1=1，得a121+1=32，

即證得an2n+1是以32為首項(xiàng)，32為公比的等比數(shù)列，

即an2n+1=32n，

所以an=3n－2n，

（2）由（1）得bn=an+1an=3n+1－2n+13n－2n，上下同時(shí)除以2n，化簡得

bn=3×32n－232n－1=3+132n－1gt;

3+132n=3+23n，

Sn=b1+b2+…+bngt;3n+23+232+…+23n=3n+231－2n3n1－23=3n+2－2×23n≥3n+2－2×23=3n+23，

即證得Sngt;3n+23.

結(jié)語

數(shù)列與函數(shù)的綜合問題一般是以函數(shù)作為背景，給出數(shù)列所滿足的條件，解決這類問題的關(guān)鍵是利用函數(shù)知識，將條件進(jìn)行準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化，然后結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列的特性，以及不等式證明的方法（如放縮法等），即可解答問題.此類問題多考查函數(shù)思想及性質(zhì)（多為單調(diào)性），需注意題中的限制條件，如定義域等.

參考文獻(xiàn)：

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