關(guān)于三角形面積問題的解法探究

【摘要】解析幾何問題是高考的重點(diǎn)問題之一，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生對(duì)于解析幾何中的基本思想方法的理解與運(yùn)用能力.三角形作為平面幾何中的基本圖形，在解析幾何中同樣應(yīng)用廣泛，其中三角形面積問題是三角形問題中比較典型的一類問題.本文依據(jù)實(shí)例探討處理有關(guān)三角形面積問題的幾種方法，以供參考.

【關(guān)鍵詞】解析幾何；高中數(shù)學(xué)；三角形面積

解決三角形面積問題最重要的一步就是通過合理的方法表示出三角形的面積，之后再考慮對(duì)三角形面積表達(dá)式的處理方法.本文將分別從直接運(yùn)用公式法、割補(bǔ)法、坐標(biāo)法三個(gè)方面探討有關(guān)三角形面積問題的解題方法.

題目" 已知點(diǎn)A（0，－2），橢圓E：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的離心率為32，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為233，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求橢圓E的方程；易得為x24+y2=1.

（2）設(shè)過點(diǎn)A的直線l與橢圓E相交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求直線l的方程.

方法1" 直接運(yùn)用公式法

求三角形面積的公式有兩種：①S=12×底×高；②S=12absinθ（其中θ為兩條邊之間的夾角）.在解題時(shí)可根據(jù)題目所給條件和運(yùn)算的具體難度來進(jìn)行合理選擇.

解析" 依據(jù)題意可得直線l的斜率存在，設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=kx－2，將其代入橢圓方程整理得到（4k2+1）x2－16kx+12=0，

則Δ=（16k）2－48（4k2+1）=16（4k2－3），

由弦長(zhǎng)公式可得PQ=1+k2·44k2－34k2+1，

kgt;32或klt;－32.

又由點(diǎn)到直線的距離公式得到點(diǎn)O到直線l的距離d=21+k2，

所以△OPQ的面積為

S=12|PQ|×d=121+k2×44k2－34k2+1×21+k2=44k2－34k2+1，

設(shè)4k2－3=t，則tgt;0，

S=4tt2+4=4t+4t≤42t·4t=1，

當(dāng)t=4t，即t=2時(shí)，△OPQ的面積最大，

此時(shí)4k2－3=2，

解得k=±72.

所以直線l的方程為y=72x－2

或y=－72x－2.

一般來說，有關(guān)于夾角的條件即可運(yùn)用公式②，如果沒有，則可以直接利用兩點(diǎn)之間的距離公式或者點(diǎn)到直線的距離公式求解.

方法2" 割補(bǔ)法

對(duì)于形狀比較復(fù)雜的三角形，難以求解面積，這時(shí)可以通過將三角形補(bǔ)齊為梯形或者是長(zhǎng)方形來解決.

解析" 設(shè)直線l：y=kx－2交橢圓E于P（x1，y1），Q（x2，y2），且點(diǎn)P在線段AQ上.

由y=kx－2，x2+4y2－4=0，

得到（4k2+1）x2－16kx+12=0，

x1+x2=16k4k2+1，x1x2=124k2+1，

由Δgt;0可得k2gt;34.

如圖1所示，S=

S△POQ=S△AOQ－S△AOP=12×2×|x2－x1|=（x1+x2）2－4x1x2=44k2－34k2+1.

令4k2－3=t，

則4k2=t2+3且tgt;0，

于是S=4tt2+4=4t+4t≤1，

當(dāng)且僅當(dāng)t=2即k=±72時(shí)成立，

所以直線l的方程為y=72x－2，

或y=－72x－2.

補(bǔ)齊后，算出整體的面積和多余的三角形面積，兩者相減即可求得.

圖1

圖2

方法3" 坐標(biāo)法

如果三角形的其中一個(gè)頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，其余兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為P（x1，y1），Q（x2，y2），則S△OPQ=12|x1y2－x2y1|，即可直接表示出面積大小.以下簡(jiǎn)單證明此結(jié)論.

證明" 如圖2所示，lOP：y=y1x1x，

代入x2可得C（x2，y1x1x2），

則QC=y2－x2y1x1，

所以可得S△OPQ=12QC·（h1+h2）=12y2－x2y1x1x1=x1y2－x2y12.

推廣到所有形式可得S△OPQ=12|x1y2－x2y1|.

解析" 設(shè)直線l的方程為y=kx－2，

聯(lián)立方程可得y=kx－2，x2+4y2－4=0，

整理可得（4k2+1）x2－16kx+12=0，

則x1+x2=16k4k2+1，x1x2=124k2+1，

并且由Δgt;0可得k2gt;34.

設(shè)點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別為P（x1，y1），Q（x2，y2），

坐標(biāo)法求得

S=S△OPQ=12|x1y2－x2y1|

=12［x1（kx2－2）－x2（kx1－2）］

=|x1－x2|=（x1+x2）2－4x1x2

=44k2－34k2+1，

設(shè)4k2－3=t（tgt;0），

則S=4tt2+4=4t+4t≤1，

當(dāng)t=4t，即t=2時(shí)，△OPQ的面積最大，

此時(shí)4k2－3=2，解得k=±72.

所以直線l的方程為y=72x－2或y=－72x－2.

此方法適用于特殊的情況，可在三角形其中一頂點(diǎn)為原點(diǎn)時(shí)合理選用，輔以簡(jiǎn)要的證明即可.

結(jié)語

以上三種方法從不同的角度解決了三角形面積問題，方法1需要對(duì)兩個(gè)公式的適用情境有具體的了解，方法2則一般是平行于坐標(biāo)軸進(jìn)行補(bǔ)形，方法3則是特殊情況下的結(jié)論，靈活運(yùn)用即可.