Stackelberg微分博弈下的魯棒最優(yōu)投資-再保險(xiǎn)問(wèn)題

顏炳文　陳密　劉海燕

摘要： 考慮一個(gè)以模糊厭惡再保險(xiǎn)公司為領(lǐng)導(dǎo)者， 模糊中立保險(xiǎn)公司為追隨者的Stackelberg隨機(jī)微分博弈問(wèn)題. 通過(guò)求解拓展的HJB（Hamilton-Jacobi-Bellman）方程組， 給出時(shí)間一致性均值-方差準(zhǔn)則下的魯棒最優(yōu)投資-再保險(xiǎn)策略以及相應(yīng)的值函數(shù). 最后， 通過(guò)數(shù)值例子和敏感性分析說(shuō)明最優(yōu)策略與主要參數(shù)之間的關(guān)系.

關(guān)鍵詞： 比例再保險(xiǎn); 常系數(shù)方差彈性模型; Stackelberg微分博弈; 時(shí)間一致性均值-方差框架; 模糊厭惡

中圖分類號(hào)： O211.6文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A文章編號(hào)： 1671-5489（2024）02-0273-12

Robust Optimal Investment-Reinsurance Problemsunder? Stackelberg? Differential Game

YAN Bingwen1， CHEN Mi1，2， LIU Haiyan1，2

（1. School of Mathematics and Statistics， Fujian Normal University， Fuzhou 350117， China;2. Fujian Provincial Key Laboratory of Mathematical Analysis and Applications， Fuzhou 350117， China）

Abstract： We considered a Stackelberg stochastic differential game problem with an ambiguity-averse reinsurance company as the leader and an ambiguity-neutral insurance company? as the follower. By solving the extended HJB （Hamilton-Jacobi-Bellman） equation systems， we gave the robust optimal investment-reinsurance strategies and the corresponding value function under the time-consistent mean-variance criterion. Finally， we gave some numerical examples and sensitivity analyses to illustrate the relationship between the optimal strategies and the main parameters.

Keywords： proportion reinsurance; constant? coefficient variance elasticity model; Stackelberg differential game; time-consistent mean-variance framework; ambiguity aversion

保險(xiǎn)公司為獲取更大的收益和轉(zhuǎn)移部分風(fēng)險(xiǎn)， 通常選擇將盈余投資金融市場(chǎng)和與再保險(xiǎn)公司簽訂再保險(xiǎn)合同使價(jià)值目標(biāo)達(dá)到最大化. 通過(guò)隨機(jī)控制理論研究保險(xiǎn)公司的最優(yōu)投資-再保險(xiǎn)問(wèn)題已成為精算領(lǐng)域的熱門課題之一， 對(duì)不同目標(biāo)下的投資和再保險(xiǎn)優(yōu)化問(wèn)題研究目前已有很多成果［1-8］.

現(xiàn)有保險(xiǎn)精算研究大多數(shù)只基于保險(xiǎn)公司的角度研究最優(yōu)投資-再保險(xiǎn)問(wèn)題， 但再保險(xiǎn)合同的擬定涉及保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司雙方的利益， 再保險(xiǎn)公司對(duì)再保險(xiǎn)合同的態(tài)度也有不可忽視的作用. 因此， 再保險(xiǎn)公司的安全負(fù)荷不應(yīng)只簡(jiǎn)單地設(shè)定為一個(gè)常數(shù)， 而應(yīng)該是一個(gè)隨機(jī)再保費(fèi)策略η（t）. 文獻(xiàn)［9］在指數(shù)效用最大化準(zhǔn)則下提出了Stackelberg微分再保險(xiǎn)博弈模型， 即再保險(xiǎn)公司作為博弈的領(lǐng)導(dǎo)者率先行動(dòng)， 保險(xiǎn)公司作為追隨者做出反應(yīng). 文獻(xiàn)［10］研究了時(shí)間一致性均值-方差框架下的最優(yōu)再保險(xiǎn)和保費(fèi)策略， 采用在Stackelberg博弈中嵌入子Nash均衡博弈的思想處理時(shí)間不一致的最優(yōu)再保險(xiǎn)問(wèn)題.

現(xiàn)實(shí)生活中， 保險(xiǎn)公司可能比再保險(xiǎn)公司有更多關(guān)于索賠過(guò)程的信息， 再保險(xiǎn)公司無(wú)法判斷保險(xiǎn)索賠的真實(shí)性， 對(duì)再保險(xiǎn)合同產(chǎn)生模糊厭惡的態(tài)度. 因此， 在設(shè)計(jì)再保險(xiǎn)合同時(shí)應(yīng)考慮信息不對(duì)稱導(dǎo)致的模型不確定性影響. 目前， 模型不確定性已經(jīng)得到了廣泛的認(rèn)可和應(yīng)用［11-13］， 其中文獻(xiàn)［11］提出的魯棒隨機(jī)控制理論是解決模型不確定性問(wèn)題的最常用方法.

本文在時(shí)間一致的均值-方差準(zhǔn)則下， 構(gòu)建以模糊厭惡再保險(xiǎn)公司為領(lǐng)導(dǎo)者， 模糊中立保險(xiǎn)公司為追隨者的Stackelberg微分博弈框架， 同時(shí)考慮保險(xiǎn)公司的競(jìng)爭(zhēng)心理， 保險(xiǎn)索賠過(guò)程采用擴(kuò)散近似風(fēng)險(xiǎn)模型， 保費(fèi)和再保費(fèi)均使用期望值保費(fèi)準(zhǔn)則厘定. 與文獻(xiàn)［9］不同， 本文中保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司對(duì)索賠過(guò)程信息和各自的終端盈余持不同的態(tài)度. 不同于文獻(xiàn)［14］， 本文假設(shè)保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司均可投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)， 風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格由隨機(jī)波動(dòng)率常系數(shù)方差彈性（CEV）模型刻畫(huà)， 通過(guò)求解拓展的HJB（Hamilton-Jacobi-Bellman）方程組，? 給出模糊中立保險(xiǎn)公司和模糊厭惡再保險(xiǎn)公司的魯棒均衡最優(yōu)投資-再保險(xiǎn)策略和相應(yīng)的均衡值函數(shù).

1 模型構(gòu)建

3 數(shù)值分析

下面用一些數(shù)值實(shí)例分析主要參數(shù)對(duì)定理2中推導(dǎo)出的均衡投資-再保險(xiǎn)策略的影響， 并對(duì)結(jié)果進(jìn)行說(shuō)明. 除特別說(shuō)明外， 假設(shè)各參數(shù)μ=5， σ=5， r0=0.1， r=0.2， s=2， σ1=0.6， β=1.1， θ=0.25， η1=0.2， η2=1.2， =0.5， m1=0.1， m2=0.2， k=0.4， T=8. 由于η*（t）在O1和O3中為常數(shù)， 所以本文只考慮最優(yōu)策略在O2中對(duì)主要參數(shù)的敏感性結(jié)果.

3.1 最優(yōu)再保險(xiǎn)策略的敏感性分析

設(shè)m1，m2分別是保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司的風(fēng)險(xiǎn)厭惡參數(shù)， 表示各自的風(fēng)險(xiǎn)偏好， 如圖1和圖2所示， 隨著m1的增加， 保險(xiǎn)公司愿意將更多的保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移給再保險(xiǎn)公司， 自留率q減小， 再保險(xiǎn)公司作為Stcakelberg微分博弈的領(lǐng)導(dǎo)者， 擁有加價(jià)權(quán)， 當(dāng)預(yù)期再保險(xiǎn)業(yè)務(wù)增加時(shí)提高再保險(xiǎn)價(jià)格; 當(dāng)m2增大時(shí)， 再保險(xiǎn)公司更傾向于增加再保險(xiǎn)保費(fèi)， 保險(xiǎn)公司不得不承擔(dān)更多的保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn).

最優(yōu)再保險(xiǎn)策略q*（t）和η*（t）隨的變化曲線如圖3所示. 由圖3可見(jiàn)， 隨著再保險(xiǎn)公司的模糊厭惡水平增加， 對(duì)保險(xiǎn)公司提供的保險(xiǎn)索賠信息越不信任， 越悲觀， 更傾向于提高再保險(xiǎn)保費(fèi)以防范模型的不確定性， 保險(xiǎn)公司減少購(gòu)買再保險(xiǎn)比例， 自留水平增加.

最優(yōu)再保險(xiǎn)策略q*（t）和η*（t）隨k的變化曲線如圖4所示. 由圖4可見(jiàn)， 隨著敏感性參數(shù)k的增加， 保險(xiǎn)公司更關(guān)注再保險(xiǎn)公司的財(cái)富盈余， 為縮小與再保險(xiǎn)公司之間的盈余差距， 愿意冒更多的風(fēng)險(xiǎn)獲取保險(xiǎn)合同的價(jià)值， 保險(xiǎn)自留比例增加， 再保險(xiǎn)公司不得不降低再保險(xiǎn)價(jià)格吸引保險(xiǎn)公司購(gòu)買再保險(xiǎn).

3.2 最優(yōu)投資策略的敏感性分析

下面主要研究保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司的最優(yōu)投資策略a*1（t）和a*2（t）與風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避參數(shù)、 風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的彈性參數(shù)和保險(xiǎn)公司的敏感性參數(shù)之間的關(guān)系. 最優(yōu)投資策略a*1（t）隨m1和k的變化曲線如圖5所示，? 最優(yōu)投資策略a*1（t）和a*2（t）隨m2的變化曲線如圖6所示.

由圖5和圖6可見(jiàn)， a*1（t）是關(guān)于m1和m2的遞減函數(shù)， 并與k成正向關(guān)系， a*2（t）隨著m2的增大而減小， 當(dāng)保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司各自的風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)增大時(shí)， 更傾向于選擇無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的銀行存款， 從而減少風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資來(lái)規(guī)避風(fēng)險(xiǎn). 隨著保險(xiǎn)公司的敏感性參數(shù)k增大， 競(jìng)爭(zhēng)心理更強(qiáng)烈的保險(xiǎn)公司愿意將更多資金投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)， 為自身創(chuàng)造更多獲取財(cái)富的機(jī)會(huì).

參考文獻(xiàn)

［1］BIAN B J， CHEN X F， XU Z Q. Utility Maximization under Trading Constraints with Discontinuous Utility ［J］. SIAM Journal on Financial Mathematics， 2019， 10（1）： 243-260.

［2］CHEN M， YUEN K C， WANG W Y. Optimal Reinsurance and Dividends with Transaction Costs and Taxes under Thinning Structure ［J］. Scandinavian Actuarial Journal， 2021， 2021（3）： 198-217.

［3］LIANG X Q， LIANG Z B， YOUNG V R. Optimal Reinsurance under the Mean-Variance Premium Principle to Minimize the Probability of Ruin ［J］. Insurance： Mathematics and Economics， 2020， 92： 128-146.

［4］ZHANG C B， LIANG Z B. Optimal Time-Consistent Reinsurance and Investment Strategies for a Jump-Diffusion Financial Market without Cash ［J］. The North American Journal of Economics and Finance， 2022， 59： 101578-1-101578-17.

［5］CHEN M， YUEN K C. Optimal Dividend and Reinsurance in the Presence of Two Reinsurers [J]. Journal of Applied Probability， 2016， 53（2）： 554-571.

［6］JIANG X， YUEN K C， CHEN M. Optimal Investment and Reinsurance with Premium Control [J]. Journal of Industrial and Management Optimization， 2020， 16（6）： 2781-2797.

［7］楊鵬， 劉琦. 均值方差準(zhǔn)則下時(shí)間一致的再保險(xiǎn)和投資策略選擇 [J]. 東北師大學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）， 2017， 49（4）： 25-31. （YANG P， LIU Q. Time-Consistent Reinsurance and Investment Strategy Selection under Mean-Variance Criterion [J]. Journal of Northeast Normal University （Natural Science Edition），? 2017， 49（4）： 25-31.）

［8］楊鵬， 惠小健. Vasicek利率下基于隨機(jī)微分博弈的最優(yōu)再保險(xiǎn)和投資 [J]. 東北師大學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）， 2017， 49（2）： 34-40. （YANG P， XI X J. Optimal Reinsurance and Investment Based on Stochastic Differential Games with Vasicek Interest Rate [J]. Journal of Northeast Normal University （Natural Science Edition）， 2017， 49（2）： 34-40.）

［9］CHEN L， SHEN Y. On a New Paradigm of Optimal Reinsurance： A Stochastic Stackelberg Differential Game between an Insurer and a Reinsurer ［J］. ASTIN Bulletin： The Journal of the IAA， 2018， 48（2）： 905-960.

［10］CHEN L， SHEN Y. Stochastic Stackelberg Differential Reinsurance Games under Time-Inconsistent Mean-Variance Framework ［J］. Insurance： Mathematics and Economics， 2019， 88： 120-137.

［11］ANDERSON E W， HANSEN L P， SARGENT T J. A Quartet of Semigroups for Model Specification， Robustness， Prices of Risk， and Model Detection ［J］. Journal of the European Economic Association， 2003， 1（1）： 68-123.

［12］HUANG Y， OUYANG Y， TANG L X， et al. Robust Optimal Investment and Reinsurance Problem for the Product of the Insurers and the Reinsurers Utilities ［J］. Journal of Computational and Applied Mathematics， 2018， 344： 532-552.

［13］ZHANG W L， MENG H. Robust Optimal Investment-Reinsurance Strategies with the Preferred Reinsurance Level of Reinsurer ［J］. AIMS Mathematics， 2022， 7（6）： 10024-10051.

［14］YUAN Y， LIANG Z B， HAN X. Robust Reinsurance Contract with Asymmetric Information in a Stochastic Stackelberg Differential Game ［J］. Scandinavian Actuarial Journal， 2022， 2022（4）： 328-355.

［15］ZHAO H， WENG C G， SHEN Y， et al. Time-Consistent Investment-Reinsurance Strategies towards Joint Interests of the Insurer and the Reinsurer under CEV Models ［J］. Science China： Mathematics， 2017， 60： 317-344.

［16］BAI Y F， ZHOU Z B， XIAO H L， et al. A Hybrid Stochastic Differential Reinsurance and Investment Game with Bounded Memory ［J］. European Journal of Operational Research， 2022， 296（2）： 717-737.

［17］BJRK T， KHAPKO M， MURGOCI A. On Time-Inconsistent Stochastic Control in Continuous Time ［J］. Finance and Stochastics， 2017， 21（2）： 331-360.

（責(zé)任編輯： 趙立芹）

收稿日期： 2023-06-28. 網(wǎng)絡(luò)首發(fā)日期： 2024-03-02.

第一作者簡(jiǎn)介： 顏炳文（1998—）， 男， 漢族， 碩士研究生， 從事保險(xiǎn)精算的研究， E-mail： ybw1112@163.com.

通信作者簡(jiǎn)介： 劉海燕（1986—）， 女， 漢族， 博士， 副教授， 從事保險(xiǎn)精算的研究， E-mail： rain6397@163.com.

基金項(xiàng)目： 國(guó)家自然科學(xué)基金（批準(zhǔn)號(hào)： 11701087）和福建省自然科學(xué)基金（批準(zhǔn)號(hào)： 2023J01537; 2023J01538）.

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