例談雙變量問題中求最值的常用策略

施能獎

［摘 要］文章結(jié)合幾個例題，探討雙變量問題中求最值的常用策略，旨在幫助學(xué)生突破解題難點，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生核心素養(yǎng)。

［關(guān)鍵詞］雙變量問題；最值；策略

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2024）05-0012-03

題設(shè)條件含有雙變量，考查含有雙變量的某代數(shù)式的最值，是近年高考數(shù)學(xué)中考查的一類最值問題。此類問題的解題方法靈活多變，往往需要學(xué)生因題而異，準(zhǔn)確選取較為簡便快捷的解法?，F(xiàn)結(jié)合幾個例題，探討雙變量問題中求最值的常用策略。

一、借助“代換”，巧求最值

一般地，若根據(jù)題設(shè)可獲得[ax+by=c（c≠0）]形式的等式，則可借助“代換”變形，巧妙求解代數(shù)式[mx+ny]的最值，具體可“代換”為[mx+ny=mx+ny·1=mx+ny·1c（ax+by）]。

［例1］（1）已知[x>0]，[y>0]，且[2x+8y=xy]，則[x+y]的最小值為? ? ? ? ? ? ? ?。

（2）已知[x>0]，[y>0]，且[x+y-8=0]，則[1x+9y]的最小值等于? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

解析：（1）因為[x>0]，[y>0]，所以對等式[2x+8y=xy]的兩邊同除以[xy]得[2y+8x=1]。于是，可得[x+y=（x+y）·1=（x+y）·2y+8x=10+2xy+8yx≥10+22xy·8yx=18]，當(dāng)且僅當(dāng)[2xy=8yx]，結(jié)合題設(shè)化簡知[x=12]，[y=6]時，不等式取等號，故所求[x+y]的最小值為[18]。

（2）因為[x+y-8=0]，所以[x+y=8]，所以[18（x+y）=1]。于是，可得[1x+9y=1x+9y·1=1x+9y·18（x+y）=1810+yx+9xy≥1810+2yx·9xy=2 ]，所以有[1x+9y≥2]，當(dāng)且僅當(dāng)[yx=9xy]，結(jié)合題設(shè)化簡知[x=2]，[y=6]時，不等式取等號，因此[1x+9y]的最小值等于[2]。

評注：借助“代換”變形，不僅可靈活運(yùn)用題設(shè)已知條件，而且亦可創(chuàng)造有利條件，便于根據(jù)基本不等式求解最值。特別提醒：“代換”之后，往往需要先展開變形，再運(yùn)用基本不等式求最值，若兩次連用基本不等式，則極易出錯（因取等條件往往不一致）。

二、借助“消元”，巧求最值

活用“消元”技巧，是雙變量問題中求解最值的基本方法，且較為常用，這是因為通過“消元”，可將含有雙變量的最值問題轉(zhuǎn)化為含有單變量的最值問題，從而易于求解。

［例2］（1）若正實數(shù)[x]，[y]滿足[xy（x+y）=4]，則[2x+y]的最小值等于（）。

A. [3]? ? ? ? ? B. [22]? ? ? ? ? C. [23]? ? ? ? ? D. [323]

（2）已知[a]、[b]均為正數(shù)，且[ab-a-2b=0]，則[a24-2a+b2-1b]的最小值為? ? ? ? ? ? ? ? ?。

解析：（1）因為[xy（x+y）=4]，所以[x（x+y）=4y]，從而可得[（2x+y）2=4x2+4xy+y2=4x（x+y）+y2=16y+y2=8y+8y+y2≥38y·8y·y23=12]，所以有[（2x+y）2≥12]，即[2x+y≥23]，當(dāng)且僅當(dāng)[8y=8y=y2]，即[y=2]時不等式取等號（此時對應(yīng)[x=3-1]）。因此，[2x+y]的最小值等于[23]，故選C。

（2）因為[ab-a-2b=0]，所以[a（b-1）=2b]，所以[a=2bb-1]，且易知[b>1]。于是，可得[a24-2a+b2-1b=b2（b-1）2-b-1b+b2-1b=b2（b-1）2+b2-1=（b-1）+12（b-1）2+（b-1）+12-1=（b-1）2+1（b-1）2+2（b-1）+2b-1+1≥2（b-1）2·1（b-1）2+22（b-1）·2b-1+1=7]，所以有[a24-2a+b2-1b≥7]，當(dāng)且僅當(dāng)[（b-1）2=1（b-1）2]且[2（b-1）=2b-1]，即[b=2]時不等式取等號，故所求[a24-2a+b2-1b]的最小值為[7]。

評注：第（1）題，因為不便于直接消去變量[x]或[y]，所以需要對目標(biāo)代數(shù)式實施“平方”變形，有利于消去變量[x]，同時還要關(guān)注三元基本不等式在解題中的靈活運(yùn)用；第（2）題“消元”之后，需要關(guān)注加減變形［將[b]寫成[（b-1）+1]］以及基本不等式（對[（b-1）2+1（b-1）2]和[2（b-1）+2b-1]均利用基本不等式放縮）在解題中的靈活運(yùn)用。

三、借助“換元”，巧求最值

求解雙變量問題中的最值時，有時需要在適當(dāng)變形的基礎(chǔ)上，靈活運(yùn)用“換元”技巧，這樣不僅可以幫助我們等價轉(zhuǎn)化目標(biāo)問題，還有利于我們進(jìn)一步分析、求解。

［例3］（1）已知[x>0]，[y>0]，則[x+yxy+xy-1x+y]的最小值為? ? ? ? ? ? ? ? ? 。

（2）若實數(shù)[a]、[b]滿足[a+b=2]，則[1a2+1+1b2+1]的最大值為? ? ? ? ? ? ? ? ? 。

解析：（1）注意到[x+yxy+xy-1x+y=1x+1y+1-1x·1y1x+1y ]，所以設(shè)[1x=m]，[1y=n]，則本題即求[m+n+1-mnm+n]（其中[m>0]，[n>0]）的最小值。因為根據(jù)基本不等式得[m+n+1-mnm+n=（m+n）2+1-mnm+n≥（m+n）2+1-m+n22m+n= ][3（m+n）4+1m+n≥23（m+n）4·1m+n=3]，所以有[m+n+1-mnm+n≥3]，當(dāng)且僅當(dāng)[m=n]且[3（m+n）4=1m+n]，即[m=n=33]時不等式取等號。因此，[m+n+1-mnm+n]的最小值為[3]，故所求[x+yxy+xy-1x+y]的最小值為[3]。

（2）方法1：因為[a+b=2]，所以平方變形可得[a2+b2=4-2ab]，于是[1a2+1+1b2+1=a2+b2+2（a2+1）（b2+1）=a2+b2+2a2b2+a2+b2+1=2（3-ab）a2b2-2ab+5 ]。設(shè)[3-ab=x]，則[ab=3-x]，所以[2（3-ab）a2b2-2ab+5=2x（3-x）2-23-x+5=2xx2-4x+8 ]。又由[a+b=2]得[ab≤a+b22=1]，進(jìn)而知[x≥2]，從而，易知本題即求[2xx2-4x+8]（其中[x≥2]）的最大值。因為根據(jù)基本不等式得[2xx2-4x+8=2x+8x-4≤22x·8x-4=2+12]，當(dāng)且僅當(dāng)[x=8x]，即[x=22]時不等式取等號，因此[2xx2-4x+8]的最大值為[2+12]，故所求[1a2+1+1b2+1]的最大值為[2+12]。

方法2：因為[a+b=2]，所以可設(shè)[a=1+x]，[b=1-x]，從而可得

[1a2+1+1b2+1=1（1+x）2+1+1（1-x）2+1=1x2+2x+2+1x2-2x+2=2x2+4（x2+2）2-（2x）2=2x2+4x4+4=2（x2+2）（x2+2）-22+4=2（x2+2）（x2+2）2-4（x2+2）+8=2（x2+2）+8x2+2-4≤22（x2+2）·8x2+2-4=2+12]，所以有[1a2+1+1b2+1≤2+12]，當(dāng)且僅當(dāng)[x2+2=8x2+2]，即[x2=22-2]時不等式取等號，故所求[1a2+1+1b2+1]的最大值為[2+12]。

評注：第（1）題，換元之后，將基本不等式靈活運(yùn)用了兩次，必須關(guān)注這兩次運(yùn)用基本不等式時其中的取等條件是否可同時達(dá)到。第（2）題，方法1是在通分變形的基礎(chǔ)上，將目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為求分式函數(shù)的最值（一般地，若分式函數(shù)的分子是一次函數(shù)，分母是二次函數(shù)，則可借助“換元”，實施進(jìn)一步的變形、分析）；而方法2側(cè)重靈活運(yùn)用“平均數(shù)換元”技巧（一般地，若兩個變量[a、b]滿足[a+b=2m]，則可設(shè)[a=m+x]，[b=m-x]）。

四、借助“分解因式”，巧求最值

如果含有雙變量的已知等式，便于實施“分解因式”變形，那么可以靈活運(yùn)用基本不等式的變形結(jié)論（若[a]，[b>0]，則[a+b≥2ab]），巧求“之和”形式的代數(shù)式的最小值。

［例4］（1）已知[x]，[y≥0]，且滿足[2xy+x+6y-6=0]，則[x+2y]的最小值為? ? ? ? ? ? ? ? ?。

（2）已知[a]，[b>0]，且[（a+b）（a+2b）+a+b=9]，則[3a+4b]的最小值為? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。

解析：（1）因為[2xy+x+6y-6=0]，所以變形可得[（x+3）（2y+1）=9]，又[（x+3）+（2y+1）≥2（x+3）（2y+1）=29=6]，所以[x+2y+4≥6]，從而得[x+2y≥2]，當(dāng)且僅當(dāng)[x+3=2y+1]，結(jié)合題設(shè)化簡知[x=0]，[y=1]時不等式取等號，故所求[x+2y]的最小值為[2]。

（2）因為[（a+b）（a+2b）+a+b=9]，所以[（a+b）（a+2b+1）=9]，所以再變形可得[（2a+2b）（a+2b+1）=18]。于是，有[（2a+2b）+（a+2b+1）≥2（2a+2b）（a+2b+1）=218=62]，所以[3a+4b+1≥62]，從而得[3a+4b≥62-1]，當(dāng)且僅當(dāng)[2a+2b=a+2b+1]，結(jié)合題設(shè)化簡知[a=1]，[b=322-1]時不等式取等號，故所求[3a+4b]的最小值為[62-1]。

評注：結(jié)合求最值的目標(biāo)代數(shù)式，先對已知等式實施靈活的“分解因式”變形，可獲得一個“之積等于常數(shù)”的等式，再考慮基本不等式的變形結(jié)論在解題中的活用即可順利獲解。

五、借助“權(quán)方和不等式”，巧求最值

根據(jù)基本不等式，可證明權(quán)方和不等式：若[a，b，x，y>0]，則[a2x+b2y≥（a+b）2x+y]（當(dāng)且僅當(dāng)[ax=by]時不等式取等號）。一般地，活用“權(quán)方和不等式”，可巧解有關(guān)最值問題。

［例5］（1）已知正數(shù)[a]、[b]滿足[a+b=1]，則[4a1-a+b1-b]的最小值為? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。

（2）已知[x>1]，[y>0]，且[1x-1+2y=1]，則[x+2y-1]的最小值為? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

解析：（1）因為[a+b=1]，所以[4a1-a+b1-b=4a-4+41-a+b-1+11-b=41-a+11-b-5≥（2+1）2（1-a）+（1-b）-5=92-（a+b）-5=92-1-5=4 ]，所以可得[4a1-a+b1-b≥4]，當(dāng)且僅當(dāng)[21-a=11-b]且[a+b=1]，即[a=13]，[b=23]時不等式取等號。 因此，[4a1-a+b1-b]的最小值為[4]。

（2）因為[x>1]，[y>0]，且[1x-1+2y=1]，所以可得[1=1x-1+42y≥（1+2）2（x-1）+2y=9x+2y-1]，所以有[1≥9x+2y-1]，再變形得[x+2y-1≥9]，當(dāng)且僅當(dāng)[1x-1=22y]且[1x-1+2y=1]，即[x=4]，[y=3]時不等式取等號，故[x+2y-1]的最小值為[9]。

評注：第（1）題，需要在對目標(biāo)式實施分離常數(shù)變形的基礎(chǔ)上，靈活運(yùn)用“權(quán)方和不等式”求解最小值；第（2）題，需要在對已知等式中的[1x-1+2y]，即[1x-1+42y]，靈活運(yùn)用“權(quán)方和不等式”，巧妙求解[x+2y-1]的最小值。

總之，關(guān)注處理雙變量問題中求最值的常用策略，有利于教師拓寬學(xué)生的解題思維，提升學(xué)生的代數(shù)變形能力，同時可有效提高學(xué)生靈活運(yùn)用基本不等式求解最值的相關(guān)技能，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)。

（責(zé)任編輯 黃桂堅）