讓圖形在動(dòng)態(tài)和靜態(tài)之間架設(shè)思維橋梁

陳松

【摘 要】數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程，將靜態(tài)的圖形作動(dòng)態(tài)處理，不僅可以幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)和把握?qǐng)D形的本質(zhì)屬性，明確圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，而且還能培養(yǎng)學(xué)生化靜為動(dòng)的思維方式，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

【關(guān)鍵詞】圖形與幾何 運(yùn)動(dòng)變化 概念本質(zhì) 認(rèn)知結(jié)構(gòu)

挖掘圖形中的動(dòng)態(tài)因素，引導(dǎo)學(xué)生用運(yùn)動(dòng)、變化的眼光看待問(wèn)題，可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，幫助學(xué)生形成良好的空間觀念。通過(guò)教學(xué)實(shí)踐積累的經(jīng)驗(yàn)，筆者認(rèn)為可以從動(dòng)態(tài)演示圖形的形成過(guò)程、動(dòng)態(tài)剖析圖形的瞬間變化、動(dòng)態(tài)梳理知識(shí)脈絡(luò)三個(gè)方面來(lái)實(shí)施教學(xué)。

一、動(dòng)態(tài)演示圖形的形成過(guò)程，突顯概念的本質(zhì)屬性

以運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來(lái)看，任何圖形都是在原有的圖形概念基礎(chǔ)上不斷地發(fā)展變化而來(lái)的。設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)圖形的方法有很多，下面重點(diǎn)闡述延長(zhǎng)、平移、旋轉(zhuǎn)、分割這四種方法。

1.延長(zhǎng)。延長(zhǎng)若以運(yùn)動(dòng)的眼光來(lái)看，即把其中的某一點(diǎn)沿直線移動(dòng)形成新的圖形。例如，在教學(xué)人教版四上“直線、射線和線段”時(shí)，以學(xué)生常見(jiàn)的線段為認(rèn)知起點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生想象往兩個(gè)不同方向延長(zhǎng)，利用課件完整地演示三種線條的形成，感悟三者關(guān)系。

2.平移。平移即平行移動(dòng)。例如，長(zhǎng)方體或正方體的形成，教師在課件中顯示長(zhǎng)方形或正方形的平移，讓學(xué)生感受柱體的形成過(guò)程，并引導(dǎo)想象：圖形的平移軌跡所形成的是什么圖形？在引導(dǎo)學(xué)生感受面動(dòng)成體的同時(shí)，深刻體會(huì)到長(zhǎng)方體或正方體的基本特征：所有橫截面的形狀、面積都相等且互相平行。

3.旋轉(zhuǎn)。旋轉(zhuǎn)就是把一個(gè)圖形繞某個(gè)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一定角度。例如，在人教版四上“角的分類(lèi)”一課中，將兩條射線重合，以射線的端點(diǎn)為定點(diǎn)，將其中一條射線進(jìn)行旋轉(zhuǎn)就形成了角。旋轉(zhuǎn)的角度不斷變化，就形成了大小不同的角。通過(guò)射線旋轉(zhuǎn)的課件，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)銳角、直角、平角和周角。

4.分割。通過(guò)圖形邊、角的分割變化，揭示圖形之間相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化，引導(dǎo)學(xué)生抓住知識(shí)的差異性，體會(huì)知識(shí)之間的整體聯(lián)系，使所學(xué)知識(shí)前后貫通。例如，在進(jìn)行“四邊形的分類(lèi)”相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，筆者出示這樣一道題：在三角形、長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形這些圖形中畫(huà)一條線段，把它分割成一個(gè)或兩個(gè)梯形。學(xué)生通過(guò)分割操作，紛紛在各個(gè)圖形中得到了不同的梯形。接著，筆者提問(wèn)：“要得到梯形，分割的時(shí)候需要怎么做？”引導(dǎo)學(xué)生觀察并思考。生1：“梯形必須有一組對(duì)邊互相平行，而三角形中沒(méi)有，所以要想辦法制造出一組相互平行的線?！鄙?：“因?yàn)檎叫巍㈤L(zhǎng)方形和平行四邊形都有兩組對(duì)邊平行，所以在這三種圖形中畫(huà)線分割，可以得到兩個(gè)梯形?！?/p>

當(dāng)然，動(dòng)態(tài)展示圖形形成過(guò)程的方法還有很多，比如縮放、滾動(dòng)、翻轉(zhuǎn)、對(duì)稱等，有待進(jìn)一步探究與實(shí)踐。這些動(dòng)態(tài)的呈現(xiàn)方式很少被單獨(dú)使用，通常是以一種或兩種方法為主，其他方法為輔的綜合應(yīng)用。

二、動(dòng)態(tài)剖析圖形的變化瞬間，明晰圖形的內(nèi)在規(guī)律

在教學(xué)中，教師要學(xué)會(huì)用運(yùn)動(dòng)的視角把常態(tài)下的各種直觀圖形看作是運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中的某個(gè)“瞬間”。剖析每個(gè)“瞬間”，就能把握?qǐng)D形的共同性質(zhì)；研究每一個(gè)瞬間的“臨界點(diǎn)”，就能把握?qǐng)D形的結(jié)構(gòu)，抓住圖形的本質(zhì)。

1.化靜為動(dòng)，感悟圖形背后的數(shù)學(xué)規(guī)律。在圖形與幾何基本概念的教學(xué)中，可以把一些靜態(tài)圖形聯(lián)結(jié)在一起，形成一個(gè)動(dòng)態(tài)的過(guò)程。在比較和動(dòng)態(tài)把握的過(guò)程中，讓學(xué)生更加清楚某一概念的內(nèi)涵與外延。

例如，在人教版四下“三角形的認(rèn)識(shí)”這節(jié)課即將結(jié)束時(shí)，教師安排了一個(gè)創(chuàng)作三角形的活動(dòng)：以線段BC為底，創(chuàng)作出高為3厘米的三角形。學(xué)生在學(xué)習(xí)單中呈現(xiàn)出多種畫(huà)法。通過(guò)此類(lèi)開(kāi)放性的創(chuàng)作，學(xué)生將銳角三角形、鈍角三角形和直角三角形及相應(yīng)的畫(huà)高方法進(jìn)行了鞏固。接著，教師有意識(shí)地將這些圖形進(jìn)行了有序整合，并利用課件進(jìn)行動(dòng)態(tài)的展示（如圖1所示）。當(dāng)頂點(diǎn)A慢慢移動(dòng)時(shí)，學(xué)生興奮地找到了各種類(lèi)型三角形變化的臨界點(diǎn)。在進(jìn)一步觀察后，有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些三角形的頂點(diǎn)都在同一條直線上，有的學(xué)生表示上面這條直線和底邊是平行關(guān)系。雖然，學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)是不完整的，但通過(guò)動(dòng)態(tài)展示，無(wú)疑幫助學(xué)生突破了“鈍角三角形的高也會(huì)在三角形的外面”這一難點(diǎn)，同時(shí)也為后續(xù)學(xué)習(xí)三角形的等積變形做了很好的鋪墊。

2.動(dòng)中窺定，探索圖形的屬性。在研究圖形的屬性時(shí)，學(xué)生常常需要經(jīng)歷觀察—猜想—驗(yàn)證的過(guò)程。這是一個(gè)探索的過(guò)程，學(xué)生能不能形成合理的猜想是檢測(cè)這一過(guò)程是否行之有效的重要表現(xiàn)。教師可以運(yùn)用變化的觀點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)一個(gè)動(dòng)態(tài)圖形，促使學(xué)生更易于猜測(cè)圖形的屬性，進(jìn)而形成合理的猜想。

例如，在教學(xué)人教版四下“三角形內(nèi)角和”時(shí)，筆者引導(dǎo)學(xué)生觀察圖2，圖中A點(diǎn)沿著垂直于BC的線段運(yùn)動(dòng)，可以形成很多不同的三角形。教師提問(wèn)：“你發(fā)現(xiàn)了什么？∠A、∠B、∠C是怎樣變化的？它們的和會(huì)是多少度？”運(yùn)用課件進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，引導(dǎo)學(xué)生觀察∠A、∠B、∠C的大小變化，大部分學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)：當(dāng)A點(diǎn)向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠A不斷變大，∠B和∠C都在不斷變小。接著，引導(dǎo)學(xué)生想象，當(dāng)A點(diǎn)不斷向下最后接近BC邊時(shí)，∠A就會(huì)接近180°，而∠B和∠C則都接近0°，三個(gè)角的和就可能是180°。相反，當(dāng)A點(diǎn)向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠A不斷變小，∠B和∠C不斷變大，當(dāng)A點(diǎn)不斷向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，最后∠A會(huì)趨向于0°，而∠B和∠C都趨向于90°，三個(gè)角的和同樣也可能是180°。通過(guò)這樣的動(dòng)態(tài)過(guò)程，學(xué)生體會(huì)到雖然三個(gè)角的大小都在變化，有變大的，也有變小的，但三個(gè)角的和可能保持不變。

三、動(dòng)態(tài)梳理知識(shí)脈絡(luò)，構(gòu)建平面圖形的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

圖形與幾何領(lǐng)域中各種圖形的屬性往往會(huì)有密切的聯(lián)系。在教學(xué)中，教師要用知識(shí)關(guān)聯(lián)的視角，幫助學(xué)生動(dòng)態(tài)梳理各種圖形之間的關(guān)系，進(jìn)而形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

例如，在教學(xué)人教版六下“平面圖形的面積”相關(guān)內(nèi)容的復(fù)習(xí)課時(shí)，為了讓學(xué)生通過(guò)面積計(jì)算公式探索平面圖形之間的聯(lián)系，筆者先出示兩條平行線，然后再畫(huà)一個(gè)梯形ABCD，接著進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示：將頂點(diǎn)B沿平行線中的一條向左平移，相應(yīng)的頂點(diǎn)D向右平移，移動(dòng)過(guò)程中，上下底的和始終相等，直到點(diǎn)B和點(diǎn)A重合（見(jiàn)圖3）。在這一動(dòng)態(tài)演示過(guò)程中，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)：梯形的上底在漸漸變小，而下底在隨之變長(zhǎng)，但是梯形的面積不變。因此，把梯形面積計(jì)算公式運(yùn)用于三角形的面積的計(jì)算，也同樣適用。接著，教師提問(wèn)：“照此，如果把頂點(diǎn)B向右平移，會(huì)變成什么圖形？按照這樣的思路，梯形能變成長(zhǎng)方形、正方形甚至圓嗎？”然后，通過(guò)課件動(dòng)態(tài)演示圖形演變過(guò)程。學(xué)生由此發(fā)現(xiàn)所有平面圖形的面積公式都能用梯形的面積公式推導(dǎo)得到。

通過(guò)這樣的動(dòng)態(tài)梳理，引導(dǎo)學(xué)生用運(yùn)動(dòng)、變化的眼光重新審視所學(xué)的平面圖形，使他們進(jìn)一步理解各種圖形之間的相互關(guān)系，建立起多方面的、本質(zhì)的聯(lián)系，形成更為豐富的、系統(tǒng)的平面圖形認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

（作者單位：福建省連江縣文筆小學(xué)）

參考文獻(xiàn)

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