借助數(shù)學(xué)史養(yǎng)分，培養(yǎng)推理意識
——以“三角形的內(nèi)角和”為例

安徽固鎮(zhèn)縣實(shí)驗(yàn)小學(xué)（233700） 李玉穎

一、課前思考

將數(shù)學(xué)史融入小學(xué)數(shù)學(xué)課堂，并與學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)相結(jié)合，有助于教師根據(jù)學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)和思維水平展開教學(xué)?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》指出，“推理意識主要是指對邏輯推理過程及其意義的初步感悟。知道可以從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題或結(jié)論?！睘榇耍P者借鑒數(shù)學(xué)史上幾位數(shù)學(xué)家對三角形內(nèi)角和的認(rèn)識和論證過程，將其與學(xué)生思維的提升過程相結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的過程，鼓勵學(xué)生進(jìn)行猜想、探索和驗(yàn)證。同時，重視學(xué)生在幾何問題推理過程中的表達(dá)和論證，深入培養(yǎng)學(xué)生的推理能力和空間觀念。

二、教學(xué)過程

（一）課前預(yù)習(xí)

學(xué)生課前完成預(yù)習(xí)單（如圖1）。

圖1

【設(shè)計(jì)意圖：有針對性的預(yù)習(xí)能為學(xué)生學(xué)習(xí)新知做好知識準(zhǔn)備，同時將學(xué)生的思維過程和知識薄弱點(diǎn)可視化。】

（二）課堂實(shí)踐

1.理解內(nèi)角，確定學(xué)習(xí)目標(biāo)

師：三角形的3 個角都是由三角形相鄰的兩條邊組成的，且都在三角形的內(nèi)部，這樣的角就叫作三角形的內(nèi)角。

師：看看你們的兩個三角尺，它們的內(nèi)角和分別是多少度？你是怎么知道的？

生1：它們的內(nèi)角和都是180°，因?yàn)橐粋€三角尺中的3 個內(nèi)角相加是30°+90°+60°=180°，另一個三角尺中的3個內(nèi)角相加是45°+90°+45°=180°。

師：任意直角三角形的內(nèi)角和都是180°嗎？今天我們就一起來探究三角形的內(nèi)角和。

【設(shè)計(jì)意圖：借助學(xué)具三角尺讓學(xué)生認(rèn)識內(nèi)角的概念，學(xué)生能夠感受到數(shù)學(xué)就在身邊，從而對新知產(chǎn)生興趣，在清晰理解了三角形內(nèi)角和的概念后展開猜想，提升空間想象力?！?/p>

2.運(yùn)用泰勒斯拼圖法，操作驗(yàn)證

師：今天的研究將圍繞歷史上幾位著名的數(shù)學(xué)家探究三角形內(nèi)角和的方法展開。首先來看泰勒斯是如何思考三角形的內(nèi)角和的。

出示視頻：古希臘數(shù)學(xué)家泰勒斯在觀察工人裝修的過程中，受到房間里的地磚鑲嵌的啟發(fā)，先以6 個相同的等邊三角形圍著一點(diǎn)進(jìn)行拼擺，再以等腰三角形進(jìn)行同樣的操作，發(fā)現(xiàn)這些三角形的內(nèi)角和均為180°。

師：請大家小組合作，想一想，利用任意直角三角形能否發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和定理。

師：有6 個相同的直角三角形，你能將它們的不同頂點(diǎn)置于同一點(diǎn)拼擺，且該點(diǎn)周圍沒有縫隙嗎？

學(xué)生拼擺結(jié)果（如圖2）。

圖2

師：你發(fā)現(xiàn)了什么？

生1：我發(fā)現(xiàn)每6個角圍著1個點(diǎn)形成了1周。

師：圍成1周說明這6個角合成了多少度？

生2：360°。

師：這個直角三角形的3個內(nèi)角和是多少度？

生3：180°。因?yàn)槊總€角均出現(xiàn)了2 次，所以360°÷2=180°。

師：還有什么發(fā)現(xiàn)？

生4：圖形②中有3 條“長線”，∠1、∠2、∠3 都對應(yīng)分別分布在任意一條“長線”的左右。

師：這3 條“長線”說明它們組成了什么角？這個直角三角形的內(nèi)角和是多少？

生5：“長線”說明3個內(nèi)角構(gòu)成了平角，因此這個直角三角形的內(nèi)角和是180°。

師（出示教材中的撕拼法）：還有什么問題嗎？

生6：我拼的6個三角形之間總是有縫隙，因此我不太相信這個結(jié)論。

生7：是的，我拼的也有縫隙。我用量角器量了一下，發(fā)現(xiàn)∠1=34°，∠2=55°，∠3=90°，這個三角形的內(nèi)角和是34°+55°+90°=179°。

師：敢于根據(jù)自己的發(fā)現(xiàn)去質(zhì)疑，為這兩位同學(xué)的求真態(tài)度點(diǎn)贊！是的，有的操作會存在誤差，那有沒有更好的方法去驗(yàn)證呢？

【設(shè)計(jì)意圖：展現(xiàn)數(shù)學(xué)家泰勒斯探索三角形內(nèi)角和的故事，帶領(lǐng)學(xué)生浸潤數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化。泰勒斯采用的從操作層面驗(yàn)證三角形內(nèi)角和的方法，可以看作是人類認(rèn)識三角形內(nèi)角和的最初嘗試。這與學(xué)生初次接觸這一知識時的思維狀態(tài)相似。通過改編泰勒斯的驗(yàn)證方法，讓學(xué)生在操作中進(jìn)行猜想并驗(yàn)證，感悟歸納推理過程。同時，正視學(xué)生在操作過程中出現(xiàn)的誤差和質(zhì)疑，這為進(jìn)一步尋求嚴(yán)謹(jǐn)?shù)尿?yàn)證方法做了充分的鋪墊?！?/p>

3.經(jīng)歷帕斯卡法，由操作驗(yàn)證轉(zhuǎn)為推理論證

師：看到長方形，你想到了什么？

生1：長方形的4個角都是90°，對邊相等。

生2：沿對角線分割長方形，可以分成兩個完全一樣的直角三角形。

生3：任何直角三角形都可以看作是長方形對折而得的。

生4：長方形的內(nèi)角和是90°×4=360°。

師：能不能利用長方形的內(nèi)角和來證明直角三角形的內(nèi)角和呢？

生5：我們組發(fā)現(xiàn)直角三角形的內(nèi)角和為90°×4÷2=180°。

師：這個方法十分巧妙。利用長方形的內(nèi)角和是360°可以得出直角三角形的內(nèi)角和是180°。這是法國數(shù)學(xué)家帕斯卡在12 歲時推導(dǎo)直角三角形內(nèi)角和的方法，你們和他想到一塊兒去了，真棒！帕斯卡還據(jù)此推導(dǎo)出了銳角三角形和鈍角三角形的內(nèi)角和，你們想直接看他的方法，還是想自己先試一試？

生（齊）：自己試一試！

教師出示小組活動要求（如圖3）。

圖3

生6：我給銳角三角形畫高，發(fā)現(xiàn)銳角三角形可以被分割為兩個直角三角形。因此銳角三角形的內(nèi)角和是180°×2-90°-90°=180°。

師：為什么要減去2個90°？

生7：因?yàn)榉指畛鰜淼膬蓚€直角不屬于銳角三角形的內(nèi)角。

生8：我發(fā)現(xiàn)鈍角三角形的情況也是這樣的。它的內(nèi)角和也是180°×2-90°-90°=180°。

師：所有銳角三角形、鈍角三角形都可以被分割成兩個直角三角形嗎？任意畫一個銳角三角形或鈍角三角形，然后推導(dǎo)出它的內(nèi)角和，再和同桌交流你的推導(dǎo)方法。

師：上面就是帕斯卡推導(dǎo)三角形內(nèi)角和的方法。你們都能想到用推理的方法得出三角形內(nèi)角和是180°，真了不起！

【設(shè)計(jì)意圖：發(fā)現(xiàn)操作層面出現(xiàn)的誤差后，學(xué)生迫切希望有更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评矸椒ǎ處煕]有直接給出帕斯卡的方法和說理過程，而是先引導(dǎo)學(xué)生思考長方形和三角形在內(nèi)角和上的聯(lián)系，然后讓學(xué)生在長方形的內(nèi)角和是360°的基礎(chǔ)上推出所有的直角三角形的內(nèi)角和都是180°，在此基礎(chǔ)上，又通過給銳角三角形、鈍角三角形畫高，建立銳角三角形、鈍角三角形和直角三角形的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行幾何說理。學(xué)生經(jīng)歷了從特殊到一般的論證過程，體會到直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形在內(nèi)角和論證方法上的一致性，感悟到演繹推理過程的嚴(yán)謹(jǐn)性和傳遞性，發(fā)展了推理意識。】

4.展示提波特旋轉(zhuǎn)法游戲，拓展思維水平

師：三角形內(nèi)角和是180°，其實(shí)還可以通過一個小游戲來驗(yàn)證，你們想試一試嗎？

教師出示活動要求（如圖4）。

圖4

師：鉛筆在整個過程中是怎樣運(yùn)動的？

生1：有旋轉(zhuǎn)也有平移。

師：平移能改變鉛筆的方向嗎？改變鉛筆方向的是什么？

生1：不能，改變鉛筆方向的是旋轉(zhuǎn)。

師：現(xiàn)在鉛筆的方向是怎樣的？

生2：與原來相反。

師：說明了什么？為什么？

生3：鉛筆水平掉頭轉(zhuǎn)向說明它整體旋轉(zhuǎn)的角度是180°。因?yàn)殂U筆整體旋轉(zhuǎn)過了三角形3 個內(nèi)角的角度，所以三角形的內(nèi)角和是180°。

師：你們真厲害！這其實(shí)就是數(shù)學(xué)家提波特證明三角形內(nèi)角和是180°所采用的方法。

出示視頻：200 多年前，德國數(shù)學(xué)家提波特首次利用旋轉(zhuǎn)法證明了三角形內(nèi)角和定理。如圖5所示，他先將邊BC所在的直線BC繞點(diǎn)B沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)∠ABC的度數(shù)，到邊BA所在直線BA；然后將直線BA繞點(diǎn)A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)∠BAC的度數(shù)，到邊AC所在直線AC；最后將直線AC繞點(diǎn)C沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)∠ACB的度數(shù)，到邊CB所在直線CB。從BC到CB，總共轉(zhuǎn)了180°。

圖5

師：提波特的方法和我們旋轉(zhuǎn)鉛筆的方法有什么不同和相同之處？

生4：旋轉(zhuǎn)的事物不同，提波特是旋轉(zhuǎn)直線，我們是旋轉(zhuǎn)鉛筆。

生5：旋轉(zhuǎn)的方向不同。提波特旋轉(zhuǎn)直線時是逆時針，我們旋轉(zhuǎn)鉛筆時是順時針。

生6：旋轉(zhuǎn)的起點(diǎn)位置不同，提波特旋轉(zhuǎn)直線的起點(diǎn)在三角形左下角，我們旋轉(zhuǎn)鉛筆的起點(diǎn)在三角形右下角。

生7：旋轉(zhuǎn)的角都是三角形所有內(nèi)角的角度。

生8：最終直線和鉛筆都水平掉頭轉(zhuǎn)向。

師：是的，雖然我們旋轉(zhuǎn)鉛筆與提波特旋轉(zhuǎn)直線的起點(diǎn)位置不同、方向不同，但都是旋轉(zhuǎn)了三角形所有內(nèi)角的角度，最終鉛筆和直線都水平掉頭轉(zhuǎn)向，都論證了三角形的內(nèi)角和是180°。

【設(shè)計(jì)意圖：對提波特用旋轉(zhuǎn)法證明三角形內(nèi)角和方法進(jìn)行提煉，將其與游戲相結(jié)合，遵循學(xué)生的心理發(fā)展特點(diǎn)，尊重學(xué)生的主體地位，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識并不枯燥，激發(fā)學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的情感。同時，讓學(xué)生思考鉛筆經(jīng)過平移和旋轉(zhuǎn)后整體掉頭轉(zhuǎn)向的原因，在展開演繹推理的過程中增強(qiáng)了推理意識，形成講道理、有條理的思維習(xí)慣，初步感知和體驗(yàn)推理的魅力。】

5.回顧總結(jié)，感悟轉(zhuǎn)化思想

師：你最喜歡哪一種方法？為什么？

生1：我喜歡帕斯卡的方法，把任意三角形分成兩個直角三角形，然后用2×180°-90°-90°=180°推理出這個三角形的內(nèi)角和，非常有說服力。

生2：我喜歡提波特的方法，在鉛筆轉(zhuǎn)動的過程中發(fā)現(xiàn)鉛筆整體水平掉頭轉(zhuǎn)向，進(jìn)而得出三角形的內(nèi)角和，很有意思。

生3：泰勒斯的方法也不錯，看整個拼圖的一半，三角形的內(nèi)角和顯而易見。

師：的確，這3 位數(shù)學(xué)家的方法都蘊(yùn)含了一種重要的數(shù)學(xué)思想方法——推理。下面我們一起來看3個問題，看看你能不能解決。

【設(shè)計(jì)意圖：通過讓學(xué)生選出自己喜愛的方法，讓學(xué)生回顧本節(jié)課所經(jīng)歷的所有推理過程，這不僅是對知識的重現(xiàn)，也是論證思維的再次回顧，還是對推理思想方法、數(shù)學(xué)家的智慧和貢獻(xiàn)的再感受?！?/p>

6.分層鞏固，拓展延伸

問題1：算一算圖6中未知角的度數(shù)。

圖6

問題2：如圖7，將兩個小的三角形拼成一個較大的三角形，大三角形的內(nèi)角和是多少度？

圖7

問題3：如圖8，你能根據(jù)三角形的內(nèi)角和探索四邊形、五邊形、六邊形的內(nèi)角和嗎？

圖8

師：我們已經(jīng)知道三角形的內(nèi)角和是180°，那么四邊形、五邊形、六邊形的內(nèi)角和又分別是多少度呢？

生1：我發(fā)現(xiàn)四邊形的內(nèi)角和都是360°。

生2：我猜想多邊形的內(nèi)角和與組成它的三角形的個數(shù)有關(guān)。

……

師：同學(xué)們提出了很多有價值的猜想。感興趣的同學(xué)可以自己去研究和驗(yàn)證。

師：課后，先給你的爸爸媽媽介紹一下三角形內(nèi)角和的推導(dǎo)過程，再查一查還有哪些推導(dǎo)三角形內(nèi)角和的方法（如意大利數(shù)學(xué)家歐幾里得的方法），最后找一找德國數(shù)學(xué)家黎曼的故事，思考在球面上的三角形的內(nèi)角和是否也是180°。

【設(shè)計(jì)意圖：首先，通過練習(xí)鞏固了三角形內(nèi)角和知識，培養(yǎng)了學(xué)生應(yīng)用三角形內(nèi)角和知識進(jìn)行計(jì)算和推理的意識與能力，使得學(xué)生對三角形內(nèi)角和的理解更全面；其次，要求學(xué)生根據(jù)本節(jié)課的知識，對四邊形、五邊形、六邊形的內(nèi)角和展開思考，體現(xiàn)了內(nèi)角和推導(dǎo)方法的一致性，展現(xiàn)了多邊形內(nèi)角和知識的結(jié)構(gòu)化；最后，利用查閱其他推導(dǎo)方法和了解數(shù)學(xué)家黎曼的任務(wù)引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)史，拓寬學(xué)生認(rèn)知的廣度和深度。】

三、教學(xué)反思

（一）整體把握數(shù)學(xué)史材料，形成結(jié)構(gòu)化教學(xué)

為了整體把握數(shù)學(xué)史中關(guān)于三角形內(nèi)角和推導(dǎo)的發(fā)展脈絡(luò)，我們需要梳理不同歷史時期探究方法的前后關(guān)聯(lián)及主次關(guān)系，并以此為基礎(chǔ)進(jìn)行結(jié)構(gòu)化的教學(xué)設(shè)計(jì)。名師蔡宏圣提出，歷史呈現(xiàn)了知識的來龍去脈，敘說了人類認(rèn)識如何步步深入，在抽象的過程中我們就能體會和把握認(rèn)識提升的關(guān)鍵。因此，本節(jié)課筆者先對泰勒斯的拼圖法進(jìn)行改編，引導(dǎo)學(xué)生通過動手拼圖驗(yàn)證三角形的內(nèi)角和是180°；再借助帕斯卡的方法，用長方形演繹推理出直角三角形的內(nèi)角和；然后以直角三角形的內(nèi)角和切入，通過畫圖論證銳角三角形和鈍角三角形的內(nèi)角和；最后在游戲中讓學(xué)生對提波特的方法進(jìn)行說理。整個教學(xué)過程前后關(guān)聯(lián)緊密，主次分明、層層遞進(jìn)。

（二）全面提煉數(shù)學(xué)史論證過程，凸顯思想方法一致性

在數(shù)學(xué)的空間和幾何方面，許多知識的探索過程都有相似之處。盡管這些知識可以分門別類，但數(shù)學(xué)家在解決問題時常常能夠通過巧妙的論證過程發(fā)現(xiàn)共同的解決思想和方法。在數(shù)學(xué)史上，推導(dǎo)三角形內(nèi)角和基本上都利用了將未知的知識轉(zhuǎn)化為已知的知識，并通過推理來解決問題的思想方法。因此，教師課堂上重現(xiàn)這些思想方法，讓學(xué)生經(jīng)歷轉(zhuǎn)化和推理的過程，讓他們感受轉(zhuǎn)化思想和推理的作用，理解解決一系列問題的思想方法的一致性。同時，讓學(xué)生重溫數(shù)學(xué)家們經(jīng)歷的探索過程，與古代數(shù)學(xué)家進(jìn)行跨越時空的交流，可以使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)文化的魅力。

（三）準(zhǔn)確選擇數(shù)學(xué)史內(nèi)容，確保教學(xué)實(shí)施針對性

數(shù)學(xué)史上關(guān)于三角形內(nèi)角和的研究較多，教師在選擇時，要立足學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知規(guī)律，要選擇學(xué)生能夠理解的內(nèi)容、相對熟悉的情境、能夠產(chǎn)生興趣的史料。對于一些不符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的、脫離學(xué)生實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)的，均可舍棄，或者進(jìn)行創(chuàng)造性的改編，使其更符合學(xué)生的認(rèn)知水平和興趣點(diǎn)。同時在利用數(shù)學(xué)史進(jìn)行數(shù)學(xué)課堂教學(xué)時，也要強(qiáng)調(diào)基本操作、度量等直接活動經(jīng)驗(yàn)的經(jīng)歷和積累，這樣才能從各個方面發(fā)展學(xué)生的量感，培養(yǎng)其核心素養(yǎng)。