廣義塑性本構(gòu)模型三維化方法的研究與驗(yàn)證

徐家斌,張 博

山東電力工程咨詢院有限公司,山東 濟(jì)南 250013

0 引言

Zienkiewicz et al.[1-2]提出了土體的廣義塑性理論,該理論直接定義塑性流動(dòng)方向張量、加卸載方向張量及塑性模量來構(gòu)建本構(gòu)矩陣,并且可以較容易地反映出土的剪脹性、循環(huán)荷載變形累積性。由于該理論概念清晰且便于編程實(shí)現(xiàn),近年來在土工領(lǐng)域的應(yīng)用越來越廣泛。在高土石壩的應(yīng)用中,Xu et al.[3]、鄒德高 等[4]對P-Z模型進(jìn)行改進(jìn),并應(yīng)用于實(shí)際工程;陳生水 等[5-6]基于廣義塑性理論建立了可以考慮顆粒破碎和循環(huán)荷載變形特性的堆石料的廣義塑性本構(gòu)模型;朱晟 等[7]根據(jù)高壩室內(nèi)三軸試驗(yàn),并結(jié)合廣義塑性理論推導(dǎo)了可反映防滲土料和堆石料的統(tǒng)一廣義塑性本構(gòu)模型。廣義塑性本構(gòu)模型在構(gòu)建時(shí)使用p、q這2個(gè)分量來構(gòu)成二維應(yīng)力空間,并以常規(guī)三軸試驗(yàn)資料為依據(jù)建立土石料的本構(gòu)關(guān)系以預(yù)測土工結(jié)構(gòu)的變形特性,但此種在p-q平面建立的本構(gòu)模型無法反映中主應(yīng)力的影響[8]。中主應(yīng)力對土的強(qiáng)度和變形有明顯的影響,對于高土石壩的空間分析,不考慮中主應(yīng)力的影響會(huì)使結(jié)果有較大誤差[9]。因此,各模型在建立時(shí),為能更好地模擬三維應(yīng)力狀態(tài)均引入了一種三維化方法。但模型的三維化方法眾多,各模型均未針對多種三維化方法進(jìn)行對比,因此本文基于新疆某面板堆石壩的真三軸試驗(yàn)資料,研究各種三維化的方法應(yīng)用于廣義塑性本構(gòu)模型的適用性。

1 筑壩土石料廣義塑性本構(gòu)模型及三維化方法

1.1 模型簡介

土石料具有非線性、剪縮(脹)性、壓硬性、靜壓屈服以及循環(huán)荷載累積性等主要變形特性。以往模型均僅針對某幾種主要變形特征推導(dǎo)而成,如鄧肯E-B模型和修正的劍橋模型無法體現(xiàn)土石料的剪脹性,使得其計(jì)算結(jié)果偏大。2個(gè)模型均無法準(zhǔn)確得到卸載、再加載等應(yīng)力路徑的影響,同時(shí)也不能得到循環(huán)荷載所產(chǎn)生的變形累積,其僅可用于土石壩的靜力有限元分析。在上述2個(gè)模型靜力分析的基礎(chǔ)上,動(dòng)力分析時(shí)需要再采用等效線性模型,這樣土石壩的全周期計(jì)算需要采用多種本構(gòu)模型,人為地割裂了土石壩的建設(shè)運(yùn)營階段,很難對土石壩進(jìn)行精確的結(jié)構(gòu)分析。筑壩土石料廣義塑性本構(gòu)模型基于廣義塑性力學(xué)理論,可以較容易地反映出土石料的各種主要變形特性,并且可以基于一套模型參數(shù)模擬出土石壩的靜力和動(dòng)力特性,使其受力狀態(tài)不再進(jìn)行人為割裂和傳遞。本構(gòu)模型推導(dǎo)如下。

大量試驗(yàn)成果表明,高圍壓下顆粒破碎使得堆石料的強(qiáng)度降低,采用破壞應(yīng)力比Mf和平均應(yīng)力p的冪函數(shù)關(guān)系描述其強(qiáng)度特性。

(1)

式中:參考應(yīng)力pr=pa+σc,其中pa為大氣壓,σc為抗拉強(qiáng)度;Mf0和nf為模型參數(shù)。

為描述土石料的剪脹性,定義剪脹、剪縮轉(zhuǎn)換時(shí)的廣義剪應(yīng)力q和平均應(yīng)力p的比值為剪脹應(yīng)力比Mc。通過對堆石料、砂礫料和礫石土料三軸試驗(yàn)結(jié)果的整理,認(rèn)為q和p具有良好的線性關(guān)系,由此可得:

(2)

剪脹方程dg采用Lagioia建議的函數(shù)[7]。

(3)

土石料的壓縮性可通過等向壓縮試驗(yàn)結(jié)果反映為:

(4)

土石料的彈性模量為:

(5)

式中:泊松比ν可取常數(shù),對于堆石料一般取值為0.3～0.35。結(jié)合ν便可得到彈性矩陣De。

加載時(shí)的塑性流動(dòng)方向?yàn)?

(6)

為模擬卸載體縮,定義卸載時(shí)的塑性流動(dòng)方向?yàn)?

(7)

采用非相關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則,加載方向?yàn)?

(8)

加載時(shí)的塑性模量如下。

(9)

復(fù)雜加載條件下,再加載塑性模量如下。

(10)

卸載時(shí)的塑性模量表示為:

(11)

式中:ηu為上次卸載發(fā)生時(shí)的應(yīng)力比;γu為無量綱參數(shù)。

1.2 三維化方法

本構(gòu)模型在建立時(shí),為方便推導(dǎo)通常使用p、q這2個(gè)應(yīng)力參量在p-q坐標(biāo)系中擬合滿足試驗(yàn)條件的等值面(屈服面),這是一種將三維問題二維化的方法,可以使三維問題直觀地表示在平面上,但這種方法得到的本構(gòu)關(guān)系與羅德角無關(guān),其無法反映出中主應(yīng)力對變形的影響。因此,為將本構(gòu)模型推廣到一半應(yīng)力裝置,需將“二維化”的模型重新拓展至三維狀態(tài)。三維化是一般通過假設(shè)其屈服面在π平面上為圓形來實(shí)現(xiàn),模型的剪切屈服和剪切破壞均采用米塞斯準(zhǔn)則,例如g(θ)方法。而實(shí)際上土石料是一種應(yīng)力誘導(dǎo)的各向異性材料,其強(qiáng)度遵守摩擦規(guī)律,在π平面上并非圓形,但由于屈服函數(shù)較為復(fù)責(zé)應(yīng)用較少,但可通過變換應(yīng)力空間的方法將外凸的三角形變換為圓形并進(jìn)行三維化,如基于SMP準(zhǔn)則的變換應(yīng)力三維化方法[10]和基于廣義非線性強(qiáng)度理論(generalized nonlinear strength theory,GNST)的變換應(yīng)力三維化方法[11]。

1.2.1g(θ)三維化方法

g(θ)三維化方法由Zienkiewice提出[1],該方法認(rèn)為屈服條件和破壞條件相同,可以實(shí)現(xiàn)從剪切屈服到剪切破壞的連續(xù)過渡。利用g(θ)三維化方法進(jìn)行模型三維化的處理方法如下。

(12)

式中:θσ為應(yīng)力羅德角,J2,J3分別為應(yīng)力的第二和第三不變量,φf為峰值摩擦角,可通過求解方程(13)得到。

(13)

筑壩土石料的統(tǒng)一廣義塑性本構(gòu)模型提出時(shí),使用該方法進(jìn)行了模型的三維化處理,但缺少真三軸試驗(yàn)的驗(yàn)證。

1.2.2 基于SMP準(zhǔn)則的變換應(yīng)力三維化方法

Matsuoka et al.[10]提出的基于SMP準(zhǔn)則的變換應(yīng)力法可將二維本構(gòu)模型推廣到一般應(yīng)力狀態(tài)為:

(14)

式中:I1、I2、I3為當(dāng)前應(yīng)力點(diǎn)對應(yīng)的3個(gè)應(yīng)力不變量;σij為應(yīng)力張量,δij為克羅內(nèi)克符號。

(15)

這樣Mf、Mf0、Mc即可用于一般應(yīng)力狀態(tài)。

1.2.3 基于廣義非線性強(qiáng)度理論的變換應(yīng)力三維化方法

路德春[11]提出了廣義非線性強(qiáng)度理論(GNST),并在此基礎(chǔ)上結(jié)合變換應(yīng)力空間的方法建立了一種模型三維化的方法。

(16)

(17)

(18)

GNST變換應(yīng)力過程可分為2部分:一是將三軸壓縮子午面上的非線性破壞曲線變換為過渡應(yīng)力空間的直線形式;二是將π平面上破壞曲線變換為變換應(yīng)力空間π平面上的圓。這樣便可將廣義非線性強(qiáng)度理論變換為擴(kuò)展的Mises準(zhǔn)則。

2 模型驗(yàn)證

2.1 模型參數(shù)獲取

采用新疆某面板壩的主堆石料的常規(guī)三軸試驗(yàn)結(jié)果獲得筑壩土石料的廣義塑性本構(gòu)模型參數(shù),圖1為常規(guī)三軸初始加載試驗(yàn)的驗(yàn)證。由常規(guī)三軸初始加載試驗(yàn),通過整理剪脹點(diǎn)和破壞點(diǎn)可以獲得Mc、Mf0和nf,對所有試驗(yàn)點(diǎn)進(jìn)行處理可以得到圖1(c),并通過式(1)可以得到剪脹方程參數(shù)α和β,因此通過常規(guī)三軸初始加載試驗(yàn)可整理出控制塑性流動(dòng)方向的參數(shù)α、β、Mc和控制堆石料強(qiáng)度的參數(shù)Mf0、nf。由于缺少等向壓縮試驗(yàn),控制變形大小的參數(shù)ct、ce、m、d需要通過反演常規(guī)三軸初始加載試驗(yàn)獲得,圖1(d)反映了變形參數(shù)的反演及模型預(yù)測結(jié)果驗(yàn)證的過程。由圖1可知,該模型可以較好地?cái)M合常規(guī)三軸初始加載試驗(yàn)結(jié)果。

圖1 初始加載試驗(yàn)驗(yàn)證

圍壓為3.1 MPa的試驗(yàn)組同時(shí)進(jìn)行了卸載-再加載試驗(yàn),如圖2所示?？刂菩遁d-再加載過程塑性模量改變的參數(shù)為γDM、γden、γu,3個(gè)參數(shù)需要通過反演卸載-再加載試驗(yàn)獲得。圖2(a)為直接通過反演得到的模型預(yù)測曲線和試驗(yàn)點(diǎn)的比較,模型預(yù)測曲線比卸載-再加載試驗(yàn)產(chǎn)生的應(yīng)變量大,說明模型在卸載和再加載過程中計(jì)算所得的模量值比實(shí)際情況低。卸載和再加載的試驗(yàn)點(diǎn)較初始加載時(shí)稀疏,說明該過程中的加卸載速率較大,而該模型無法反映加載率的相關(guān)性,因此擬合效果不理想,而在動(dòng)力有限元計(jì)算中,加載速率的影響可通過阻尼來消耗。許多研究指出,在快速加載時(shí)散粒體材料的變形模量可以增大1.1～3倍[12]。為排除加載速率的影響,在反演結(jié)果的基礎(chǔ)上將卸載-再加載過程中的模量放大2倍,其模型預(yù)測結(jié)果如圖2(b)所示。觀察圖2可知,在去除加載速率影響的情況下,模型可以較好的預(yù)測卸載-再加載過程中的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。

圖2 卸載-再加載試驗(yàn)驗(yàn)證

通過對常規(guī)三軸試驗(yàn)的驗(yàn)證可以得到該堆石料所有的模型參數(shù),如表1所示。

表1 上游堆石料模型參數(shù)

2.2 真三軸試驗(yàn)驗(yàn)證

2.2.1 模型三維化方法比較

模型推導(dǎo)過程中以p、q為應(yīng)力參量,因此為二維本構(gòu)模型。進(jìn)行真三軸試驗(yàn)的驗(yàn)證,應(yīng)先進(jìn)行模型的三維化將其擴(kuò)展到三維應(yīng)力狀態(tài)。

圖3為3種三維化方法及非三維化在擬合等σ3等b(b=Δσ2/Δσ1,本試驗(yàn)b=0.5,σ3=0.3 MPa,σ1、σ2、σ3分別為第一、二、三主應(yīng)力)試驗(yàn)的對比圖。本材料進(jìn)行了2組三軸拉伸平行試驗(yàn),可得參數(shù)qe/qc取值為0.68～0.75,考慮到參考應(yīng)力pr取值較小,為消除試驗(yàn)數(shù)據(jù)受儀器精度的影響,通過反演擬合單組真三軸試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證,當(dāng)qe/qc=0.7時(shí)可以得到較好的結(jié)果。觀察可知,GNST三維化方法擬合效果最好,g(θ)法和SMP法所得曲線表現(xiàn)出過早的剪切破壞,若不進(jìn)行模型三維化,在有限元分析中所得的結(jié)構(gòu)變形量偏小,在高土石壩設(shè)計(jì)分析中是不利的。

圖3 模型三維化方法比較

2.2.2 試驗(yàn)驗(yàn)證

采用GNST三維化方法對等σ3等b真三軸試驗(yàn)資料進(jìn)行模型的驗(yàn)證,試驗(yàn)中b=0.5。由圖4可知,模型預(yù)測結(jié)果與試驗(yàn)點(diǎn)分布吻合較好。該真三軸試驗(yàn)的應(yīng)力路徑比較接近壩體的內(nèi)部的應(yīng)力變化,因此該本構(gòu)模型可以用于高土石壩的有限元分析。

圖4 真三軸試驗(yàn)驗(yàn)證

3 基于實(shí)測資料的對比分析

3.1 工程簡介

新疆地區(qū)的某面板堆石壩最大壩高164.8 m,壩頂長795 m,壩頂高程1 825.8 m;壩基為以砂礫石為主的深覆蓋層,覆蓋層最大厚度約為94 m。為真實(shí)反應(yīng)壩體應(yīng)力變形規(guī)律,將覆蓋層與壩體一起構(gòu)建有限元模型,模型如圖5所示。

圖5 某面板堆石壩計(jì)算模型

為反映出三維化前后的差異,分別進(jìn)行了非三維化計(jì)算和GNST三維化方法的計(jì)算,所用模型參數(shù)見表2,由于缺少其他3種石料的三軸拉伸試驗(yàn)資料,qe/qc均取0.7。

表2 廣義塑性本構(gòu)模型參數(shù)

3.2 計(jì)算結(jié)果分析

3.2.1 模型三維化前后計(jì)算結(jié)果的比較

圖6和圖7為模型非三維化及基于GNST方法三維化前后的位移計(jì)算結(jié)果。由圖可以看出,模型三維化前后壩體變形規(guī)律基本一致,符合碾壓土石壩的一般變形規(guī)律,進(jìn)一步說明筑壩土石料的統(tǒng)一廣義塑性本構(gòu)模型可以較好地反映出土石料的變形特征。模型三維化后的最大豎向位移和水平位移均比非三維化計(jì)算值較大。三維化后最大豎向位移所在位置較低,其覆蓋層頂部壩底區(qū)域的變形較大,而非三維化模型計(jì)算值在壩體1/3壩高范圍內(nèi)變形順?biāo)倏s小。由于壩體區(qū)域土石料具有較高的中主應(yīng)力,會(huì)使土石料表現(xiàn)一定靜壓屈服,進(jìn)而擁有一定的變形量,因此模型三維化后的計(jì)算結(jié)果可以反應(yīng)出中主應(yīng)力的影響。

圖6 模型非三維化的計(jì)算結(jié)果

圖7 基于GNST方法三維化后的計(jì)算結(jié)果

3.2.2 計(jì)算值與監(jiān)測值的比較

為監(jiān)測大壩建設(shè)和運(yùn)行期的變形,進(jìn)而實(shí)時(shí)分析其安全性能,進(jìn)行了監(jiān)測系統(tǒng)設(shè)計(jì)。本文取典型斷面(0+475)豎向位移監(jiān)測值與仿真計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比,監(jiān)測點(diǎn)高程分別為1 671、1 710、1 751、1 792、1 822 m。

竣工期和滿蓄期有限元分析的計(jì)算值和壩體監(jiān)測值對比結(jié)果如圖8所示。高程1 760 m以上范圍內(nèi)的壩體三維化計(jì)算值與非三維化的計(jì)算值接近,且二者與實(shí)測值也較為相近;此區(qū)域位于壩體上部,該范圍內(nèi)的堆石圍壓較小(1 760 m高程處σ2≈0.8 MPa),說明在小圍壓條件下壩體變形可以忽略中主應(yīng)力的影響。高程1 760 m以下范圍內(nèi)壩體的變形計(jì)算值受模型三維化影響較大,三維化計(jì)算值較高,在覆蓋層頂面竣工期和滿蓄期二者相差34.5、38 cm,此差異已無法忽略,該范圍內(nèi)的實(shí)測數(shù)據(jù)略低于三維化計(jì)算值;此區(qū)域位于壩體中下部,該范圍的堆石圍壓較大(壩底處σ2≈1.6 MPa),其變形受中主應(yīng)力影響較大。

通過計(jì)算表明,在小圍壓條件下中主應(yīng)力影響較小,可忽略不計(jì);當(dāng)圍壓較高時(shí),中主應(yīng)力對壩體變形影響較大,若不考慮其影響會(huì)使得計(jì)算值較小,有限元分析的預(yù)測結(jié)果較危險(xiǎn);該規(guī)律與圖3室內(nèi)試驗(yàn)分析所得規(guī)律一致。通過和監(jiān)測值的對比,說明基于GNST的模型三維化方法可較好的反映出壩體的變形規(guī)律,進(jìn)而為后續(xù)工程實(shí)踐提供理論依據(jù)。

4 結(jié)論

本文通過真三軸試驗(yàn)和壩體監(jiān)測數(shù)據(jù)對筑壩堆石料統(tǒng)一廣義塑性本構(gòu)模型的三維化方法進(jìn)行了研究,得到以下結(jié)論。

1)以p、q為應(yīng)力參量的二維本構(gòu)模型忽略了中主應(yīng)力的影響,直接用于高土石壩的設(shè)計(jì)將使壩體中下部的計(jì)算變形量偏小,在設(shè)計(jì)階段對土石壩的安全評價(jià)不利。

2)基于GNST的模型三維化方法,可以較好反映等b條件的一般應(yīng)力狀態(tài),此應(yīng)力路徑接近壩體施工運(yùn)行期的實(shí)際應(yīng)力變化;通過與壩體監(jiān)的測資料對比,該方法可以較好地反映出壩體變形規(guī)律。