大觀念統(tǒng)領(lǐng)下的三角函數(shù)單元教學探究

龐美名

(安徽省淮北市實驗高級中學,安徽 淮北 235000)

單元教學是教師將同根同源的對象、內(nèi)容整合到一起,放在一起研究,形成具有知識整體性、思想一致性、方法延續(xù)性的學習單元,是將課程標準、教材落實到課堂教學的橋梁.下面以人教A版高中數(shù)學新教材第五章《三角函數(shù)》為例,對單元教學思路進行探討.

1 著眼全局,樹立觀念

1.1 數(shù)學發(fā)展的視角:與時俱進的函數(shù)思想

三角學源于生活,因觀天測地的實際需求在古希臘的定量幾何中誕生,主要是確定方向,計算距離.17世紀以前,三角學主打計算,是常量數(shù)學的主要內(nèi)容.

由于微積分、解析幾何的發(fā)展,變量數(shù)學在數(shù)學中漸漸變得舉足輕重,三角學隨即失寵.隨著無窮極數(shù)的引入,三角函數(shù)又借著東風,開啟了新起點.18世紀中葉,歐拉(Euler)定義三角函數(shù)為線段的比,三角函數(shù)逐漸有了圖形.19世紀開始,解析幾何一統(tǒng)天下,主流的函數(shù)思想如日中天.計算機的發(fā)明,導致三角函數(shù)表的制作易如反掌,三角公式風光不再,三角恒能變形逐漸退出充當配角.三角函數(shù)順應潮流,與時俱進,與主流接軌,放下靜態(tài)的三角,披上動態(tài)的函數(shù)的外衣,潛入各個領(lǐng)域,特別是自然及生活中的振動和波動.在現(xiàn)代數(shù)學中,三角函數(shù)要用主流的函數(shù)眼光看待.

1.2 課程標準視角:謀局布線的運動思想

三角函數(shù)具有周期性,是周而復始的運動變化規(guī)律的數(shù)學刻畫.為了表現(xiàn)這一特殊屬性,教材在編撰時也做了刻意安排.第一,章頭圖拋磚引玉.從數(shù)學發(fā)展史來看,三角函數(shù)起源于圓周運動,章頭圖“月相變化”跟天體運動有關(guān),天體是周期性的轉(zhuǎn)動,是勻速旋轉(zhuǎn),可以抽象為點在圓上繞著圓心做勻速旋轉(zhuǎn)運動,旋轉(zhuǎn)一周后相對于起點的位置周而復始.第二,預備知識埋下伏筆.旋轉(zhuǎn)運動的本質(zhì)是位置變化,從哪開始動即起始位置,運動到哪兒即終止位置,在動的過程中怎樣旋轉(zhuǎn)即旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)大小.為此,教材先將“角”擴充到“任意角”.

1.3 教材視角:優(yōu)化重構(gòu)的建模思想

普通高中數(shù)學教科書2004版(下簡稱“舊教材”)和2019版(下簡稱“新教材”)對比分析可以得出幾點認識:

章節(jié)位置有變.《三角函數(shù)》和《三角恒等變換》由舊教材的兩章合為新教材的同一章.教材內(nèi)容有變.在新教材中刪除了三角函數(shù)線,增加了生活和物理中需要三角函數(shù)模型解決的問題,對數(shù)學建模的偏愛不言而喻.內(nèi)容順序前后不同.“函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象”,“三角恒等變換”舊教材中順序不同,新教材按函數(shù)“背景——概念——圖象與性質(zhì)——應用”這一路徑,用相似的路徑研究不同的數(shù)學對象,讓學生感受“對象在變,方法不變”.不斷累積考慮問題的經(jīng)驗,慢慢形成自己的思維邏輯線.

基于上面分析,“三角函數(shù)是刻畫周而復始現(xiàn)象的一類最典型的周期函數(shù)模型”這一單元大觀念,在主流函數(shù)思想之下成功落地.

1.4 思維視角:全面呈現(xiàn)的數(shù)學思想

太陽的東升西落,水車的循環(huán)轉(zhuǎn)動,都可以抽象成圓周運動.利用此模型,在坐標系中利用單位圓給出三角函數(shù)定義,這體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.另外,利用單位圓上角的終邊的對稱和旋轉(zhuǎn),推導了誘導公式,借助三角函數(shù)線畫正弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象、利用三角函數(shù)圖象研究性質(zhì)、利用向量推導兩角之差的余弦公式等等,都體現(xiàn)了數(shù)與形的結(jié)合.轉(zhuǎn)化與化歸思想也是三角函數(shù)單元教學中體現(xiàn)的重要思想.如誘導公式在化簡求值中體現(xiàn)了“負化正,大化小,最后化到銳角上”的化歸思想,再求y=Asin(ωx+φ)的性質(zhì)如單調(diào)性,周期性,對應方程的根的問題時,把ωx+φ看作整體,此類函數(shù)可轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)的性質(zhì)求解,起到了化繁為簡的作用.在給值求值的求解中“拆角湊角變換”“切化弦”等技巧也體現(xiàn)了這種化歸思想.另外,分類討論、函數(shù)與方程的思想在本單元中也進行了充分的挖掘和應用,這些全面呈現(xiàn)的數(shù)學思想對培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)有著至關(guān)重要的作用.

2 整體架構(gòu),指向素養(yǎng)

2.1 一章引言呈現(xiàn)概貌

引言是學生學習本章的燈塔.本章引言有三段話:第一段,列舉出了生活和其他學科中“五花八門”的周期現(xiàn)象,表明三角函數(shù)學習的必要性;第二段,表述了學生已研究過了一些特殊的函數(shù),有了一些研究經(jīng)驗,表明了學習本章的路徑;第三段以問題單刀直入地指出要學什么,引出正文.這三段話告訴我們教材編者的意圖,要用一脈相承的思想去引導學生怎么去研究一個新對象.

2.2 一條邏輯線指引教學

通過回顧已學的具體函數(shù),表明本章的學習路徑:背景——概念——圖象與性質(zhì)——函數(shù)的應用.

第5.1節(jié)是背景也是鋪墊;第5.2節(jié)是概念;第5.3節(jié)是由概念推出的一般性質(zhì),特殊角和任意角之間的運算;第5.4節(jié)是借助定義和運算探討三角函數(shù)的圖像和性質(zhì);第5.5節(jié)是任意角和任意角之間的運算,疏通了已學三角公式之間的關(guān)系,為三角函數(shù)的模型的應用給予了有力的運算支持,它也是5.3節(jié)的后續(xù);第5.6節(jié)y=Asin(ωx+φ)的圖象能由y=sinx通過變換而來,也是5.4節(jié)圖象的后續(xù);第5.7節(jié)是三角函數(shù)的應用.在整個學習的過程中蘊含個別到整體的思想,遵循了循序漸進,階梯式上升的原則[1].

2.3 一個單位圓串聯(lián)內(nèi)容

人類剛接觸天體運動時,就認為它的運行軌道是圓.圓是源頭,有豐富的對稱性.因此以單位圓來主導研究過程,不僅是延續(xù)歷史,還能凸顯本質(zhì),化繁為簡,取得事半功倍的效果.概念的抽象過程直接針對單位圓中角與點坐標的對應關(guān)系展開,并順理成章地在單位圓中定義、研究三角函數(shù),誘導公式利用它是軸對稱又是原點對稱圖形直觀探求得到,兩角差的余弦公式利用它的旋轉(zhuǎn)不變性推導.圖象性質(zhì)研究完之后,又回到生活中去刻畫圓周運動.單位圓在各小節(jié)知識間搭起了橋,打通各小節(jié)知識的“脈”,將各節(jié)串聯(lián)成一體,以形助數(shù),以數(shù)論形.

2.4 一類函數(shù)模型推動素養(yǎng)

生活中“周期性”有許多背景:水車、摩天輪、潮起潮落、鐘擺等.已學過的函數(shù)沒有辦法描述這種現(xiàn)象,利用古代筒車研究勻速圓周運動,裝水筒距水面的高度與時間的函數(shù)關(guān)系式借題給出,再有已學的y=sinx的性質(zhì)探討,同時拋出問題y=Asin(ωx+φ)的圖象可以用變換的方法研究.借助學生熟知的摩天輪,啟發(fā)學生懂得類比,模仿去做研究.在最后一節(jié)研究了與其他學科關(guān)聯(lián)的問題以及生活中的問題,讓學生感受到三角函數(shù)是一種重要的應用工具.

三角函數(shù)是特殊的函數(shù),在生活中實際應用價值很高,在構(gòu)建活動中的價值也高.任意角的定義和弧度制的引入視為研究三角函數(shù)模型做準備工作,概念的形成,主要培養(yǎng)學生的抽象素養(yǎng);性質(zhì)的研究階段,單位圓的對稱性來搭橋,簡單明了,直觀想象素養(yǎng)在無形中得以培養(yǎng);在應用階段,主要培養(yǎng)抽象和建模素養(yǎng).

2.5 一種整體換元法貫穿教學

在用“五點作圖法”畫函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象以及研究它的性質(zhì)時,把ωx+φ看作一個整體,令t=ωx+φ,從而把問題轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)y=sint的圖象和性質(zhì).在“拆角湊角變換”中,把已知角看做整體,要求的角用已知角來表示,也體現(xiàn)了換元的思想.還有在由Cα-β推導Cα+β時用-β?lián)Qβ,在推導和差化積公式時令x=α+β,y=α-β等等,這些都采用了整體換元法.所以整體換元法貫穿整個三角函數(shù)單元教學,換元法的使用,清晰地呈現(xiàn)了已知和未知的關(guān)系,使學生快速找到解題的突破口,在學習中形成連續(xù)的思維方法,使新知的內(nèi)容更系統(tǒng),條理更清晰.

3 精準設(shè)計,落實課堂

3.1 通盤感知,因材分解

單元教學中以主題為紐帶,給數(shù)學教學帶來了活力和張力.為了增加可操作性,在保證知識連貫的條件下,可以突破課時約束,重新劃分組織教學,因“材”分解成小單元進行教學.以《三角函數(shù)》單元為例,以內(nèi)容為“材”,就按教材的順序進行分解;以方法為“材”可分解為“換元法在三角函數(shù)中的應用”“單位圓中的三角運算”“三角函數(shù)性質(zhì)在單位圓中的應用”;以素為“材”可以分解為“三角函數(shù)定義中的數(shù)學抽象素養(yǎng)”“三角函數(shù)應用中的數(shù)學建模素養(yǎng)”“誘導公式中邏輯推理素養(yǎng)”等[2].

不同的設(shè)計者有不同的思路,下面從立足章引言,以大觀念來組織分解單元內(nèi)容進行探討.基于前面分析的本章單元大觀念,在教學落地時可以讓子觀念去引領(lǐng),相應的單元內(nèi)容與之對應.

(1)圓周運動可以借助角來刻畫.單元內(nèi)容:任意角和弧度制.

(2)周期性變化現(xiàn)象可以借助三角函數(shù)模型刻畫.單元內(nèi)容:三角函數(shù)的概念、誘導公式、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、三角恒等變換、函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象和性質(zhì).

(3)三角函數(shù)模型是解決周期問題的工具.單元內(nèi)容:三角函數(shù)的應用.

3.2 聚焦課時,教學相融

課堂教學是觸發(fā)學習和學會學習的平臺,而課時教學設(shè)計是關(guān)鍵抓手.因此,教師要理解教材,關(guān)注學情,以單元整體觀為指導,精準定位課時目標,深謀遠慮地設(shè)計課時教學流程.

課時知識之間體現(xiàn)關(guān)聯(lián)性.在章節(jié)起始課、中間課時、章末復習課中盡量以最核心的知識和方法為載體,體現(xiàn)關(guān)聯(lián)性.

課時方法之間突出層次性.起始課總攬全章,解決“為何學”問題;中間課解決“怎樣學”,引領(lǐng)學生親歷思考、探索,直面問題的本質(zhì),獲得學習經(jīng)驗;復習課解決“構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)”“形成思想”等任務.

課時前后之間承上啟下性.課時設(shè)計時設(shè)計一些恰當?shù)暮魬c和一些“恰時恰點的問題”,讓學生在知識發(fā)生發(fā)展的過程中有參與感、成就感.

為使核心素養(yǎng)真正落地,教師要重過程、輕結(jié)果地設(shè)計課時教學.引導學生主動探究,舊中生新,無中生有,由學會到會學,教與學相融,產(chǎn)生奇妙的交集,讓數(shù)學教學成為有思想的教學[3].

4 結(jié)束語

“不謀全局者,不足謀一域”,只有從數(shù)學本質(zhì)出發(fā),深入挖掘教材,立足引言,在觀念統(tǒng)領(lǐng)下,精心設(shè)計單元教學的各個環(huán)節(jié),疏通知識的“經(jīng)絡(luò)”,落實到課堂,讓學生在潛移默化中素養(yǎng)自得.