基于改進Kriging 模型的大跨度斜拉橋結(jié)構(gòu)可靠度分析

■王偉慷

（長沙理工大學(xué)土木工程學(xué)院，長沙 410004）

隨著橋梁工程與科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，斜拉橋憑借其外形優(yōu)美、受力良好、成本合理等特點得到了設(shè)計師們的青睞，被廣泛地運用到大跨度橋梁中。而在施工與運營使用過程中，斜拉橋的安全性能受到拉索受損、混凝土碳化、超載以及其他各種不確定因素的影響而導(dǎo)致安全儲備降低[1]，因此對斜拉橋結(jié)構(gòu)可靠度分析有助于降低斜拉橋結(jié)構(gòu)失效的風(fēng)險，為其安全運營使用提供保障。

工程結(jié)構(gòu)可靠度分析發(fā)展至今已經(jīng)有了一系列成熟的方法，目前一次二階矩法與二次二階矩法仍是應(yīng)用最為廣泛的可靠度分析方法。 Hasofer 等[2]對多元問題中二階矩可靠性的意義進行了基本分析，提出了一種改進的一次二階矩法，但該方法局限于非線性較小的極限狀態(tài)方程。 范文亮等[3]結(jié)合坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)、單變量降維近似和非中心卡方分布提出了一種改進一階矩和二階矩可靠度的方法，并通過實例驗證了該方法能有效提高精度和效率。 上述方法僅對顯示功能函數(shù)可靠度計算有效，而實際工程中結(jié)構(gòu)復(fù)雜，功能函數(shù)多是復(fù)雜的非線性隱式表達式，求解難度很大，并不適用。 隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，研究人員發(fā)現(xiàn)可通過采用代理模型對結(jié)構(gòu)進行可靠度分析，從而減少計算成本與提高精度。 Bai等[4]將響應(yīng)面技術(shù)與凸模型方法相結(jié)合，提出了一種解決非線性極限狀態(tài)函數(shù)的結(jié)構(gòu)可靠性分析方法，并通過實例驗證了該方法的有效性。 馬超等[5]通過優(yōu)化算法得到支持向量機回歸的可靠度指標(biāo)，并將該方法應(yīng)用到實際飛機機翼可靠性分析中。 潘林鋒等[6]通過Kriging 模型擬合回歸極限狀態(tài)方程，引入HL-RF 修正算法，提出了一種新的可靠度計算方法，并通過算例驗證了該方法的可行性。 李正良等[7]采用Kriging 模型對直立鎖縫屋面系統(tǒng)進行抗風(fēng)可靠度計算得到了可靠度指標(biāo)。Zhang 等[8]提出了一種基于Kriging 近似的確定性數(shù)值模型的一階可靠性分析方法，并用于巖土可靠性分析。 劉瞻等[9]將人工蜂群算法應(yīng)用到Kriging 模型中，通過對模型參數(shù)尋優(yōu)，計算效率和精度得到了較大提高。 但研究也發(fā)現(xiàn)，Kriging 模型對初始值的選擇敏感，不同的初始值可能會導(dǎo)致不同的結(jié)果，可能會出現(xiàn)由于初始值的設(shè)置偏差而造成模型建立時預(yù)測結(jié)果陷入局部最優(yōu)的情況，并且Kriging 模型采用模式搜索法進行單點搜索，搜索路徑單一。 基于此，本文引入改進粒子群算法（IPSO）對Kriging 模型相關(guān)參數(shù)進行尋優(yōu)，提出一種改進Kriging 模型的可靠度計算方法，并以某大跨度雙塔斜拉橋為例，驗證了該方法的有效性，以期為大跨度斜拉橋可靠度計算提供參考。

1 工程概況

某大跨度雙塔斜拉橋設(shè)計等級為公路-I 級，采用雙塔雙索面對稱式結(jié)構(gòu)分布，主跨跨徑為450 m，橋梁跨境組合布置為（182+450+182）m，主梁為Q345qD鋼箱梁，橋塔采用C50 混凝土。橋型布置如圖1 所示。

圖1 雙塔斜拉橋橋型布置

采用有限元軟件建立橋梁有限元數(shù)值仿真模型，其中橋塔采用實體單元進行建模，主梁使用beam單元進行建模， 斜拉索使用link 單元進行建模，橋塔和橋臺底部使用固結(jié)約束，斜拉橋有限元模型如圖2 所示。

圖2 雙塔斜拉橋有限元模型

2 Kriging - IPSO 模型

2.1 Kriging 模型基本理論

Kriging 模型是一種通過將非參數(shù)隨機過程與參數(shù)線形回歸模型疊加而形成的插值模型，其表達式為：

式（1）中：Γ（p，x）為多項式回歸向量；β 是回歸系數(shù)向量，β=[β1， …，βp]；fT是變量x 的多項式，fT=[f1（x），f2（x）…， fp（x）]T；z（x）是一個隨機過程，相關(guān)性用協(xié)方差表示為：

式（2）中：R（xi，xj；θ）是xi和xj之間的相關(guān)函數(shù)，相關(guān)函數(shù)模型采用高斯模型：

式（3）中：θ 是參數(shù)向量，θ=[θ1，θ2，…，θm]T；m 與M分別為第m 個維數(shù)元素和總維數(shù)。定義相關(guān)矩陣R[（xi，xj；θ）]N0×N0，如此便得到β 與σ2估值為：

式（4）、（5）中：F 表示為由訓(xùn)練樣本點數(shù)量組成的單位矩陣。 由上述式子可知Kriging 模型可以通過β、σ2以及θ 定義。而回歸系數(shù)向量以及方差則可以通過θ 得到。 故在建立Kriging 模型時，應(yīng)首先由采樣點獲得參數(shù)向量，該過程可以通過極大似然估計來實現(xiàn)：

預(yù)測值y（x）的均值和方差用預(yù)測點x 表示為：

式（7）、（8）中：r（x）=[R（x，x1；），R（x，x2；），…，R（x，xN0；）]，μ（x）=FTR-1r（x）-f（x）與為（x）為x 點的預(yù)測值。

2.2 改進的粒子群算法原理

粒子群算法是一種基于鳥類捕食仿生原理的智能優(yōu)化算法，通過對問題的數(shù)學(xué)描述，可以實現(xiàn)待優(yōu)化問題的智能迭代尋優(yōu)，其基本原理如下：假設(shè)待尋解空間中存在僅擁有速度與質(zhì)量兩種屬性的粒子Q={x，v}，表示為xi=（xi1，xi2，…，xid），vi=（vi1，vi2，…，vid），分別代表了求解空間中第i 個粒子在第d 維度的位置與速度指標(biāo)， 定義其在每一次迭代中的位置與速度更新方式如式（9）所示。

式（10）中：ωmin、ωmax分別為慣性權(quán)重的最小與最大值；t、tmax分別為當(dāng)前進化輪次和最大進化輪次。

模型參數(shù)優(yōu)化流程如圖3 所示，具體步驟如下：（1）初始化算法參數(shù)。 設(shè)置算法最大迭代次數(shù)，設(shè)置慣性權(quán)重的最大與最小值，設(shè)置學(xué)習(xí)因子取值，設(shè)置算法維度。（2）初始化粒子群。采用隨機初始化的方式初始化粒子群在搜索空間中的位置，形成初始粒子種群。 （3）計算適應(yīng)度值。 （4）粒子位置與速度更新。 根據(jù)式（10）計算基于迭代輪次的非線性遞減慣性權(quán)重值，再根據(jù)式（9）粒子速度與位置更新公式更新粒子群在搜索空間中的位置。 （5）計算適應(yīng)度并篩選最優(yōu)個體。 計算粒子群的適應(yīng)度值，篩選出個體最優(yōu)和種群歷史最優(yōu)，判斷算法是否達到最大迭代次數(shù)，若達到則算法終止，若未達到則返回步驟四“粒子位置與速度更新”。

圖3 粒子群算法執(zhí)行流程

2.3 Kriging-IPSO 計算模型的建立

基于有限元模型和MATLAB 計算程序，提出了Kriging-IPSO 混合響應(yīng)面法，對結(jié)構(gòu)的可靠性進行計算和分析。 處理過程如下：（1）確定橋架結(jié)構(gòu)在使用運行過程中隨機變量的統(tǒng)計特征和概率分布，并采用均勻設(shè)計方法生成輸入樣本點；（2）根據(jù)橋的設(shè)計數(shù)據(jù)和運行條件，在通用有限元軟件中完成建模，計算得到輸出樣本，然后用輸入的樣本形成一個訓(xùn)練樣本；（3）規(guī)范化樣本點，建立基本Kriging模型，通過對基本模型輸入采樣點無監(jiān)督的訓(xùn)練和參數(shù)優(yōu)化得到結(jié)構(gòu)Kriging 模型；（4）隨機變量的歸一化，通過懲罰函數(shù)將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題，然后再建立一個適合IPSO 算法計算的精確度方程；此外，IPSO 算法更新了搜索粒子和粒子群的最優(yōu)位置，迭代獲得隨機變量的最優(yōu)權(quán)值，以支持克里格模型的無監(jiān)督學(xué)習(xí)過程；（5）通過克里格模型的預(yù)測結(jié)果，建立了求解結(jié)構(gòu)可靠性指標(biāo)的數(shù)學(xué)模型。

3 大跨度斜拉橋可靠度分析

3.1 斜拉橋隨機變量的統(tǒng)計特征

本文根據(jù)工程概況介紹的實際工程進行分析，在橋梁施工與運營過程中，由于橋梁自身材料以及外部荷載等參數(shù)的變化存在不確定性，導(dǎo)致橋梁的實際設(shè)計狀態(tài)往往不能達到理論設(shè)計狀態(tài)。 而影響斜拉橋的結(jié)構(gòu)安全的因素有許多，本文僅以結(jié)構(gòu)的幾何變形為控制指標(biāo)對斜拉橋進行可靠性分析，選取隨機變量（表1），各參數(shù)的選取根據(jù)GB50153-2008《公路工程結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)》和參考文獻[10]得到。

表1 隨機變量參數(shù)統(tǒng)計

3.2 極限狀態(tài)方程

由JTG/TD65-01-2007《公路斜拉橋設(shè)計細則》規(guī)定斜拉橋主梁在車輛荷載作用下（不包括沖擊力）最大允許變形為：

由式（11）可以得出極限狀態(tài)方程：

3.3 可靠度指標(biāo)求解

將選取的各個隨機變量作標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)化處理，便能得到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量Z1，Z2，…，Z11，故式（12）可以表示為y（Z1，Z2，…，Zn）=0，得到可靠指標(biāo)的計算公式為：

式（13）中：（Z）=0 表示約束條件。 采用罰函數(shù)法對上式進行處理，將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題，也就是求極值問題，得到方程：

本文采用均勻設(shè)計抽樣方法，在[μ-3σ，μ+3σ]范圍內(nèi)生成50 組隨機樣本，然后采用內(nèi)插法得到訓(xùn)練樣本如表2 所示（僅列出前3 項）。

表2 訓(xùn)練樣本示例

根據(jù)斜拉橋的有限元模型，將上述訓(xùn)練樣本值依次輸入模型進行計算， 得到50 組隨機變量樣本下的跨中變形。 將計算得到的變形數(shù)據(jù)代入式（12）， 最后生成主梁隨機參數(shù)缺陷的訓(xùn)練樣本，將樣本點歸一化， 得到輸出樣本數(shù)據(jù)如表3 所示，轉(zhuǎn)入Kriging 模型中進行訓(xùn)練。 為驗證IPSO 算法對Kriging 模型參數(shù)尋優(yōu)的效率， 采用PSO 算法對同一樣本數(shù)據(jù)進行處理，對比結(jié)果如圖4 所示。 可以看出IPSO 算法在對Kriging 模型參數(shù)尋優(yōu)過程中適應(yīng)度曲線進化速率遠高于PSO 算法，且50 輪迭代結(jié)束后，IPSO 算法的種群最優(yōu)值明顯優(yōu)于PSO算法。 IPSO 算法最終優(yōu)化模型參數(shù)結(jié)果如圖5 所示。 可以得到，IPAO 算法優(yōu)化的最小均方差誤差為0.000 252，足以保證高精度響應(yīng)面的構(gòu)建。

表3 歸一化后的輸出樣本

圖4 尋優(yōu)結(jié)果對比

圖5 優(yōu)化模型參數(shù)結(jié)果

基于Kriging 模型， 使用訓(xùn)練樣本進行回歸預(yù)測，預(yù)測結(jié)果如圖6 所示。 可以看出Kriging 模型可以真實地模擬斜拉橋主梁的結(jié)構(gòu)極限狀態(tài)函數(shù)，并且具有很高的精度。

圖6 樣本值與擬合值比較

采用本文改進的粒子群算法對式（14）進行求解，迭代過程如圖7 所示。 可以看出，本文改進的粒子群算法在對斜拉橋可靠性計算過程中進行了46 次迭代就達到了收斂，得到對應(yīng)的可靠性指標(biāo)β 為4.212 5。 為驗證本文計算方法的準(zhǔn)確性，采用蒙特卡洛法對同一樣本數(shù)據(jù)進行抽樣模擬，得到可靠度指標(biāo)為：4.211 8，與本文結(jié)果誤差值為0.000 7，相對誤差為0.016 7%，驗證了本文計算方法的精確度。

圖7 改進粒子群算法迭代過程

4 結(jié)論

在對復(fù)雜的大跨度斜拉橋進行可靠性分析時，由于目標(biāo)函數(shù)往往呈現(xiàn)高維非線性，并且沒有明確的解析表達式， 從而導(dǎo)致計算精度低與不容易收斂， 本文提出一種基于Kriging 模型和改進粒子群算法的Kriging-IPSO 混合算法來求解斜拉橋的結(jié)構(gòu)可靠性。 通過對實際工程的計算，結(jié)果表明，該方法在樣本數(shù)量、計算精度和效率方面有較大的優(yōu)勢，可以與現(xiàn)有有限元軟件相結(jié)合分析斜拉橋結(jié)構(gòu)可靠性，主要結(jié)論如下：（1）該算法將Kriging 模型與改進的粒子群算法（IPSO）相結(jié)合，利用Kriging模型建立一個小樣本、非線性、高維的隱式功能函數(shù)響應(yīng)面模型，結(jié)合IPSO 算法，改進了傳統(tǒng)PSO 算法收斂速度慢與不成熟問題；（2）實際斜拉橋結(jié)構(gòu)分析，結(jié)果表明，提出的改進Kriging-IPSO 模型提高了計算精度與計算效率，克服了傳統(tǒng)的響應(yīng)面法對高非線性結(jié)構(gòu)可靠性分析的局限性；（3）與傳統(tǒng)的橋梁可靠性分析方法比較，該方法具有樣本數(shù)量小、計算精度高、易于通用有限元軟件相結(jié)合的優(yōu)點，方便實際工程應(yīng)用，可為斜拉橋可靠性計算的研究提供新的思路。