基于刀齒軌跡模型的五軸側(cè)銑加工銑削力預(yù)測(cè)*

桂 昊，張立強(qiáng)，楊青平

（1.上海工程技術(shù)大學(xué)，上海 201620；2.成都永峰科技有限公司，成都 610511）

對(duì)于航空航天薄壁件來(lái)說(shuō)，切削力是影響銑削加工的重要物理因素，過大的切削力會(huì)使刀具與工件發(fā)生振動(dòng)、變形，從而出現(xiàn)零件表面加工質(zhì)量低下、刀具磨損加劇等現(xiàn)象。雖然通過降低切削參數(shù)來(lái)減小切削力可以提升零件質(zhì)量，但是犧牲了加工效率。預(yù)測(cè)切削力是研究銑削加工的穩(wěn)定性、受力變形偏差以及工藝參數(shù)優(yōu)化的基礎(chǔ)。

切削力模型建模方式主要有4種：物理模型[1]、經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蚚2]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[3]及機(jī)械力學(xué)模型[4]，其中機(jī)械力學(xué)模型應(yīng)用最為廣泛，而對(duì)于該類模型，瞬時(shí)切屑厚度對(duì)于切削力的預(yù)測(cè)至關(guān)重要。Martellotti等[5]通過分析平面中圓弧的運(yùn)動(dòng)幾何，提出了圓柱銑刀的經(jīng)典瞬時(shí)切屑厚度模型h=fzsinθ，其中fz為每齒進(jìn)給量，θ為刀齒周向位置角，但是經(jīng)典模型僅適用于三軸加工，五軸側(cè)銑刀具姿態(tài)多變，刀具與工件的接觸區(qū)域計(jì)算困難；Ferry[6]定義了各個(gè)刀具微元的進(jìn)給坐標(biāo)系，進(jìn)而將經(jīng)典三軸的瞬時(shí)切屑厚度計(jì)算公式推廣到了五軸銑削中；王立平等[7]提出了一種五軸側(cè)銑瞬時(shí)切屑厚度的拆分計(jì)算方法，通過判斷刀具姿態(tài)補(bǔ)償了經(jīng)典切屑厚度模型；He等[8]提出了一種基于真實(shí)齒軌的五軸球頭銑刀切削力新模型；董永亨等[9]通過齊次坐標(biāo)系建立了刀齒的運(yùn)動(dòng)軌跡，并計(jì)算了當(dāng)前刀齒與工件的邊界交點(diǎn)，求出瞬時(shí)未變形切屑厚度；王博[10]結(jié)合球頭銑刀切削刃的幾何特點(diǎn)建立切削刃微元點(diǎn)的空間位置矢量，并進(jìn)一步推導(dǎo)描述切削刃微元點(diǎn)軌跡的矢量形式。以上研究對(duì)五軸瞬時(shí)切屑厚度研究比較深入，但卻忽略了刀具跳動(dòng)的存在會(huì)影響瞬時(shí)切屑厚度值。Li等[11]考慮了刀具跳動(dòng)的影響，提出一種近似圓弧軌跡模型來(lái)替代真實(shí)的擺線齒軌模型，圓形假設(shè)引入的近似誤差在可以忽略的同時(shí)又提高了計(jì)算效率。Wang等[12]在切削力預(yù)測(cè)中探究了刀具跳動(dòng)對(duì)刀齒運(yùn)動(dòng)軌跡的影響，并通過切削力試驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證。

本文通過五軸側(cè)銑幾何運(yùn)動(dòng)學(xué)模型描述了五軸刀位在空間中的姿態(tài)，隨后提出一種基于刀齒軌跡模型的切削力預(yù)測(cè)模型，計(jì)算當(dāng)前切削刃上切削點(diǎn)到前幾個(gè)刀齒回轉(zhuǎn)圓柱面的映射距離，并在坐標(biāo)變換關(guān)系下，將空間中的線面求交計(jì)算轉(zhuǎn)換成二維平面的線與圓弧的求交運(yùn)算。在考慮刀具跳動(dòng)對(duì)圓弧軌跡的影響后，求解方程組獲得切削微元的瞬時(shí)切屑厚度值，最后在五軸機(jī)床上進(jìn)行了加工試驗(yàn)，驗(yàn)證了本文所建立模型的有效性。

1 側(cè)銑幾何運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

五軸側(cè)銑過程的刀具姿態(tài)變化復(fù)雜，在研究力學(xué)模型之前，首先建立幾何運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。如圖1所示，每個(gè)刀位點(diǎn)信息包括刀尖點(diǎn)坐標(biāo)Pi與刀軸矢量Ti，在刀位[Pi，Ti]向刀位[Pi+1，Ti+1]運(yùn)動(dòng)過程中，需要計(jì)算t時(shí)刻的刀位點(diǎn)Pt和刀軸矢量Tt，CNC系統(tǒng)在執(zhí)行刀位文件時(shí)，兩相鄰刀位間的運(yùn)動(dòng)為線性插補(bǔ)運(yùn)動(dòng)，刀位點(diǎn)Pt計(jì)算公式表示為

圖1 刀具位置插補(bǔ)示意圖Fig.1 Schematic diagram of tool position interpolation

式中，fz為每齒進(jìn)給量；n為主軸轉(zhuǎn)速；N為刀具齒數(shù)；dP1，P2為刀位點(diǎn)P1和刀位點(diǎn)P2之間的距離。

兩相鄰刀位點(diǎn)刀軸矢量Ti與Ti+1間的夾角γ計(jì)算公式為

已知刀位[Pi，Ti]向刀位[Pi+1，Ti+1]運(yùn)動(dòng)的刀軸矢量夾角γ，在t時(shí)刻刀軸矢量計(jì)算公式為

Rot（v，θ）·Ti為向量Ti繞向量v順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度θ，若矢量v=[vi，vj，vk]，則Rot（v，θ）·Ti計(jì)算公式[13]為

式中，versθ= 1- cosθ。

為準(zhǔn)確描述五軸側(cè)銑的復(fù)雜空間運(yùn)動(dòng)，分別建立了工件坐標(biāo)系、刀具坐標(biāo)系、局部刀齒坐標(biāo)系。首先建立固定不動(dòng)的工件坐標(biāo)系OWXWYWZW，刀具姿態(tài)和工件均在工件坐標(biāo)系下表示。如圖2所示，在工件坐標(biāo)系下，刀具側(cè)刃沿著兩條引導(dǎo)線滑動(dòng)形成掃掠面，在這個(gè)過程中，以刀尖PC=[Pcx，Pcy，Pcz]為原點(diǎn)建立刀具坐標(biāo)系OCXCYCZC。

圖2 坐標(biāo)系建立示意圖Fig.2 Schematic diagram of coordinate system establishment

XC=[Xcx，Xcy，Xcz]指向當(dāng)前刀位進(jìn)給方向，ZC=[Zcx，Zcy，Zcz]為刀軸矢量T。建立刀齒微元坐標(biāo)系OfXfYfZf，其軸方向矢量Zf與刀具坐標(biāo)系ZC軸同向，Xf軸為過點(diǎn)Of指向刀具中心線方向。由于存在螺旋角β，刀齒會(huì)隨著軸向位置變化而出現(xiàn)變化的滯后角φ。已知半徑R、軸向高度z，滯后角可以表示為

設(shè)刀具底端切削刃的旋轉(zhuǎn)角為?，齒數(shù)為N，則在刀具高度z處第j個(gè)刀齒的旋轉(zhuǎn)角表示為

在刀具坐標(biāo)系下，高度z處第j個(gè)刀齒的切削點(diǎn)的坐標(biāo)可以表示為

由于工件坐標(biāo)系OWXWYWZW固定不動(dòng)，而刀具坐標(biāo)系OCXCYCZC會(huì)隨刀具姿態(tài)的變化而變化，將變化的刀具坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到固定不動(dòng)的工件系下表示，已知刀具坐標(biāo)系XC、YC、ZC3個(gè)軸矢量，刀具坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到工件坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)矩陣可以由表示。PC為刀具坐標(biāo)系的原點(diǎn)坐標(biāo)，則將刀具坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到工件坐標(biāo)系中的轉(zhuǎn)換矩陣可以表示為

2 切削力模型

2.1 切削力計(jì)算

采用機(jī)械力學(xué)模型計(jì)算切削力，如圖3所示，將刀具沿刀軸方向劃分為M個(gè)厚度相等的切削微元盤。

圖3 切削力微元模型Fig.3 Micro-element model of cutting force

在刀具旋轉(zhuǎn)角度為θi，j時(shí)，作用在第j個(gè)齒第i個(gè)切削微圓盤的切削力公式表示為

式中，Ktc、Krc、Kac分別為切向、徑向和軸向剪切力系數(shù)；Kte、Kre、Kae分別為切向、徑向和軸向犁切力系數(shù)；hi，j（t）為第j個(gè)齒第i個(gè)切削微圓盤的瞬時(shí)切屑厚度；db為切削微圓盤厚度；W（θi，j（t））是判斷切削微圓盤是否參與切削的窗口函數(shù)，可以表示為

式中，θen，i，j、θex，i，j分別為第j個(gè)齒第i個(gè)切削微圓盤的切入角、切出角。

在t時(shí)刻，作用在工件上的總切削力分力可以通過將作用在軸向切削深度內(nèi)的圓盤元件上的3個(gè)切削力相加和坐標(biāo)變換得到，表示為

式中，Ti，j繞刀軸的旋轉(zhuǎn)矩陣表示為

2.2 瞬時(shí)切屑厚度計(jì)算

瞬時(shí)切屑厚度為在刀具工件嚙合區(qū)域內(nèi)，當(dāng)前刀齒的任意切削點(diǎn)沿刀齒面法向到已加工面的距離。如圖4所示，前一刀齒回轉(zhuǎn)面為已加工面，在切入角、切出角限制的接觸區(qū)域內(nèi)，有效瞬時(shí)切屑厚度為當(dāng)前刀齒回轉(zhuǎn)面與前一刀齒回轉(zhuǎn)面相交的實(shí)體部分。

圖4 瞬時(shí)切屑厚度模型Fig.4 Instantaneous chip thickness model

為計(jì)算瞬時(shí)切屑厚度，如圖5所示，刀位M為前一刀位點(diǎn)，刀位N為當(dāng)前刀位點(diǎn)，刀具在作平移和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)形成了瞬時(shí)切屑厚度h；Ai，j為刀具在刀位點(diǎn)N上第j個(gè)刀齒第i個(gè)切削微圓盤的切削點(diǎn)，計(jì)算點(diǎn)Ai，j到刀位M處的刀齒回轉(zhuǎn)面的距離為點(diǎn)Ai，j處的瞬時(shí)切屑厚度。

圖5 瞬時(shí)切屑厚度計(jì)算示意圖Fig.5 Instantaneous chip thickness calculation

首先建立刀位M的刀具坐標(biāo)系OMXMYMZM以及刀位N的刀具坐標(biāo)系ONXNYNZN。切削點(diǎn)Ai，j處的切屑厚度h滿足

式中，CM、、分別為在OMXMYMZM坐標(biāo)系下M位置處的刀齒回轉(zhuǎn)面上的交點(diǎn)、M位置處的刀齒回轉(zhuǎn)面法向矢量及N位置處的刀齒切削點(diǎn)。

向量n垂直于刀位M的軸線，是切削點(diǎn)Ai，j垂直于M位置處刀齒回轉(zhuǎn)面的法向矢量；是刀具坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到工件坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣；Pn為坐標(biāo)系原點(diǎn)。將點(diǎn)轉(zhuǎn)換到工件坐標(biāo)系下表示為

在坐標(biāo)系OMXMYMZM下，刀位M處刀齒回轉(zhuǎn)面的交點(diǎn)CM表示為

將式（20）～（22）代入式（15）求解方程組，得

交點(diǎn)CM的參數(shù)θ、z未知，聯(lián)立方程消去θ簡(jiǎn)化計(jì)算為

法矢量與刀齒回轉(zhuǎn)面有兩個(gè)交點(diǎn)，所求解出未知數(shù)h的兩個(gè)解中，最小h值為切削點(diǎn)到回轉(zhuǎn)面有效切屑厚度值。

在實(shí)際加工過程中，刀具跳動(dòng)不可避免，刀具跳動(dòng)會(huì)改變瞬時(shí)切屑厚度的大小，從而使各齒的切削力峰值不同。如圖6所示，定義刀具徑向跳動(dòng)偏移值為ρ，偏轉(zhuǎn)角度為λ，則刀具跳動(dòng)影響下的刀具半徑為[12]

圖6 刀具跳動(dòng)示意圖Fig.6 Schematic diagram of tool runout

若加工過程中受刀具跳動(dòng)影響，當(dāng)前切削點(diǎn)的瞬時(shí)切屑厚度不一定是到前一齒的刀齒回轉(zhuǎn)面，而是到前k個(gè)刀齒回轉(zhuǎn)面的距離。

依次計(jì)算當(dāng)前切削點(diǎn)到前k個(gè)刀齒回轉(zhuǎn)面的距離，最小值為當(dāng)前切削點(diǎn)對(duì)應(yīng)的真實(shí)的瞬時(shí)切屑厚度，即

3 切削力預(yù)測(cè)試驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文所提算法的有效性，在A擺頭B轉(zhuǎn)臺(tái)的上海拓璞臥式數(shù)控機(jī)床HMC - C100PL上進(jìn)行側(cè)銑加工試驗(yàn)。毛坯材料為AL7050 - T7451，刀具為直徑12 mm的整體硬質(zhì)合金平底銑刀，切削刃數(shù)為3，螺旋角為45°，刀具跳動(dòng)偏移值ρ為0.0017，偏轉(zhuǎn)角度λ為42°。主軸轉(zhuǎn)速2000 r/min、每齒進(jìn)給量0.03 mm、切深10 mm、切寬1 mm，試驗(yàn)試件壁厚大于10 mm。試件的被加工面與刀位點(diǎn)如圖7所示。

圖7 MATLAB仿真加工曲面與刀位點(diǎn)Fig.7 Machining curved surface and cutter location by MATLAB simulation

切削力測(cè)量設(shè)備為Kistler 9272型四分量測(cè)力計(jì)，其x和y方向的靈敏度為- 7.8 pC/N，z方向的靈敏度為-3.5 pC/N，試驗(yàn)采樣頻率為10 kHz。數(shù)據(jù)采集設(shè)備為HR- CA- 411型電荷放大器、HRU1213MA型信號(hào)采集儀，試驗(yàn)設(shè)備如圖8所示。

圖8 切削力測(cè)量裝置Fig.8 Cutting force measuring device

切削力系數(shù)標(biāo)定采用文獻(xiàn)[14]的方法，做5組槽銑試驗(yàn)，主軸轉(zhuǎn)速2000 r/min、軸向切深1.5 mm，通過測(cè)力儀設(shè)備分別采集每齒進(jìn)給量0.04 mm/r、0.06 mm/r、0.08 mm/r、0.10 mm/r、0.12 mm/r的槽銑切削力試驗(yàn)結(jié)果，獲得平均切削力值，試驗(yàn)測(cè)量結(jié)果如表1所示。

表1 不同進(jìn)給的平均切削力值Table 1 Average cutting force at different feeds

用最小二乘法擬合實(shí)測(cè)切削力的平均值，如圖9所示。

圖9 最小二乘擬合切削力Fig.9 Least square fitting cutting force

擬合的切削力系數(shù)如表2所示。

表2 切削力系數(shù)Table 2 Cutting force coefficient N/mm2

圖10為刀具旋轉(zhuǎn)一周期內(nèi)測(cè)量與預(yù)測(cè)的結(jié)果對(duì)比圖。測(cè)量結(jié)果與預(yù)測(cè)結(jié)果接近，預(yù)測(cè)的y軸切削力無(wú)論是趨勢(shì)還是峰值都比較吻合；x軸切削力測(cè)量峰值與預(yù)測(cè)峰值相差較大，最大誤差在24.5%左右，但整體趨勢(shì)和實(shí)測(cè)值一致。在實(shí)際測(cè)量切削力值時(shí)，電荷放大器由于受潮及設(shè)備本身性能不穩(wěn)定，測(cè)量的切削力值會(huì)發(fā)生漂移的情況，測(cè)量結(jié)果不可避免地會(huì)受到影響。

圖10 刀具旋轉(zhuǎn)一周期內(nèi)切削力測(cè)量值與預(yù)測(cè)值比較Fig.10 Comparison of measured and predicted cutting force within one cycle of tool rotation

圖11是工件在整個(gè)切削過程中切削力的預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值，可以發(fā)現(xiàn)，工件在x軸向受力減小的同時(shí)，y向受力在增大；從預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果來(lái)看趨勢(shì)基本一致，但是切削力的輪廓線并未完全吻合，在側(cè)銑過程中受刀具跳動(dòng)影響，理論刀軸矢量與實(shí)際刀軸矢量會(huì)發(fā)生偏差，而刀軸矢量是識(shí)別刀具位姿的重要變量，這也會(huì)導(dǎo)致預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值出現(xiàn)偏差。

圖11 工件整個(gè)切削過程切削力預(yù)測(cè)值和實(shí)測(cè)值Fig.11 Predicted and measured values of cutting force in the whole cutting process of the workpiece

4 結(jié)論

（1）以五軸側(cè)銑幾何模型表述了任意時(shí)刻的刀軸姿態(tài)，并建立了圓柱銑刀的刀齒運(yùn)動(dòng)模型，通過齊次坐標(biāo)變換，把空間下的求交問題轉(zhuǎn)換成平面中的求交解析計(jì)算。

（2）通過切削力標(biāo)定試驗(yàn)獲得切削力系數(shù)，仿真的x軸方向力增大的同時(shí)y軸方向的力在減小，最后將仿真的力值與實(shí)測(cè)力值進(jìn)行比較，最大預(yù)測(cè)誤差值在24.5%，從切削加工整個(gè)過程來(lái)看，切削力趨勢(shì)和大小基本吻合，驗(yàn)證了本文模型用于預(yù)測(cè)切削力的有效性。

（3）在五軸側(cè)銑加工過程中，航空航天類薄壁零件會(huì)因切削力作用出現(xiàn)讓刀變形誤差，且恒定的進(jìn)給速度將嚴(yán)重影響五軸側(cè)銑加工效率，基于本文的切削力預(yù)測(cè)模型可以進(jìn)一步做薄壁件變形誤差預(yù)測(cè)和進(jìn)給速度優(yōu)化等研究。