簡(jiǎn)諧基礎(chǔ)加速度激勵(lì)下的點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

陳立，曾孝云，黃文，張建飛

中國(guó)工程物理研究院 機(jī)械制造工藝研究所，綿陽 621900

隨著中國(guó)航空航天事業(yè)的大力發(fā)展，針對(duì)航空航天飛行器結(jié)構(gòu)的輕量化設(shè)計(jì)變得尤為重要。近年來點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)因其具有超輕質(zhì)、高比剛度、高比強(qiáng)度等優(yōu)良的機(jī)械性能，以及減振降噪等功能屬性應(yīng)用到航空航天工程領(lǐng)域［1］。航空航天器中存在大量支撐功能部件的支撐結(jié)構(gòu)，這些功能部件在飛行過程中受到基礎(chǔ)加速度激勵(lì)工況，這就要求功能部件所處的位置不能發(fā)生過大的振動(dòng)位移響應(yīng)。在航空航天工程結(jié)構(gòu)中，往往是采用蒙皮和均勻點(diǎn)陣填充并配合力學(xué)性能校核進(jìn)行設(shè)計(jì)［2］。然而，具有可變單胞密度的非均勻點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)顯然能獲得更好的性能，因此面向位移響應(yīng)最小化的非均勻點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)是一個(gè)值得研究的問題。

點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)可以看成是由一系列周期性單胞微結(jié)構(gòu)組成。均勻化方法可以對(duì)單胞微結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，Sigmund［3］提出了基于均勻化理論的拓?fù)鋬?yōu)化方法可以對(duì)各向同性材料單胞構(gòu)型進(jìn)行逆向設(shè)計(jì)，通常采用均勻化方法設(shè)計(jì)單胞結(jié)構(gòu)是從宏觀的結(jié)構(gòu)拓?fù)湓O(shè)計(jì)和微觀結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)兩個(gè)尺度進(jìn)行。該方法需要宏觀結(jié)構(gòu)尺度遠(yuǎn)大于微觀尺度。為了克服尺度問題，Wang 等［4-5］提出了一種參數(shù)化點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)了宏觀拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和微觀點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)協(xié)同優(yōu)化。Wu 等［6］基于子結(jié)構(gòu)法提出了近似降階懲罰模型，將點(diǎn)陣單胞視為一個(gè)超單元，實(shí)現(xiàn)了點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)與宏觀結(jié)構(gòu)協(xié)同設(shè)計(jì)。避免了均勻化理論帶來的尺度效應(yīng)。Wu 和Li［7］采用擴(kuò)展有限元方法實(shí)現(xiàn)了共形點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的尺寸優(yōu)化。Zhou 等［8］基于參數(shù)化點(diǎn)陣和多尺度有限元方法提出了實(shí)體-點(diǎn)陣的混合變量?jī)?yōu)化模型，避免了均勻化理論中的尺度分離。上述工作均針對(duì)結(jié)構(gòu)的靜力學(xué)性能進(jìn)行研究。在動(dòng)力學(xué)研究領(lǐng)域，Xiao 等［9］同種單胞結(jié)構(gòu)不同密度的力學(xué)性能進(jìn)行計(jì)算，實(shí)現(xiàn)在點(diǎn)陣夾心結(jié)構(gòu)的最大化基礎(chǔ)頻率的優(yōu)化。Vicente 等［10］提出了一種基 于BESO 的協(xié)同拓?fù)鋬?yōu)化方法，可以同時(shí)優(yōu)化周期微結(jié)構(gòu)和宏觀結(jié)構(gòu)兩個(gè)尺度的頻率響應(yīng)問題，Zhang 等［11］通過構(gòu)造可連接性微結(jié)構(gòu)的方法實(shí)現(xiàn)了多尺度點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)頻率響應(yīng)最小的優(yōu)化設(shè)計(jì)。

點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)中的桿件也可以看成是由一系列梁組成，采用梁?jiǎn)卧獙?duì)點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)進(jìn)建模，避免了均勻化方法帶來的尺度分離效應(yīng)。點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)就可以轉(zhuǎn)化為對(duì)每個(gè)梁截面尺寸的優(yōu)化。Tang 等［12］提出了一種基于格框算法的點(diǎn)陣生成方法，實(shí)現(xiàn)了點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的生成和最小柔順度的優(yōu)化設(shè)計(jì)，Chen 等［13］提出了一種基于網(wǎng)格的點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)生成方法，實(shí)現(xiàn)了點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)最小柔順度的優(yōu)化設(shè)計(jì)，Terriault 和Brailovski［14］提出了基于網(wǎng)格的共形點(diǎn)陣生成方法，并對(duì)其力學(xué)性能進(jìn)行了預(yù)測(cè)。Zhou 和Li［15-16］采 用Michell 桁架方法對(duì)類桁架結(jié)構(gòu)的自然頻率進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。

上述對(duì)點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)靜力學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì)、固有頻率優(yōu)化方面都已分別有了相應(yīng)的研究。但點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)在動(dòng)力學(xué)激勵(lì)下的優(yōu)化方面僅有很少一部分研究?jī)?nèi)容［11］。實(shí)際工程中的點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)往往是三維復(fù)雜結(jié)構(gòu)，有些結(jié)構(gòu)即包含蒙皮也包含內(nèi)部的點(diǎn)陣填充，這些結(jié)構(gòu)會(huì)受到外部各種周期性載荷和簡(jiǎn)諧激勵(lì)，而這些周期性載荷可以通過傅里葉變化轉(zhuǎn)化為不同頻率下的簡(jiǎn)諧激勵(lì)的疊加。因此研究點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧基礎(chǔ)加速度激勵(lì)下的優(yōu)化問題將變得很有意義。

受Zhang 等［1］文章的啟發(fā)，結(jié)合航空航天工程對(duì)三維點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)在關(guān)鍵位置的位移響應(yīng)控制的迫切需求開展研究。提出通過優(yōu)化點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)桿件的截面尺寸來降低結(jié)構(gòu)動(dòng)響應(yīng)的優(yōu)化方法，建立了簡(jiǎn)諧加速度激勵(lì)下點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型、推導(dǎo)了設(shè)計(jì)目標(biāo)的靈敏度。實(shí)現(xiàn)了非均勻點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)在基礎(chǔ)加速度激勵(lì)下的優(yōu)化設(shè)計(jì)。

1 理論基礎(chǔ)及優(yōu)化模型

首先給出點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的建模方法、簡(jiǎn)諧加速度激勵(lì)下的點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)理論，包括大質(zhì)量法、結(jié)構(gòu)動(dòng)響應(yīng)分析方法等，然后給出點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧加速度激勵(lì)下的優(yōu)化模型。

1.1 點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)建模方法

點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)是由三維空間中重復(fù)排列的一些列桿件組成。單胞是定義點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)基本單元，一些典型的點(diǎn)陣單胞結(jié)構(gòu)如圖1 所示，單胞結(jié)構(gòu)可以看成是由桿系結(jié)構(gòu)組成，將單胞中桿件采用梁?jiǎn)卧M(jìn)行建模，桿件的每個(gè)交點(diǎn)都看成是單元節(jié)點(diǎn)，最終點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)為梁截面尺寸優(yōu)化問題［13］。面向大規(guī)模點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化問題，Zhou［17］和Stolpe［18］等都進(jìn)行過相關(guān)研究。

圖1 一些典型的點(diǎn)陣單胞Fig.1 Some typical lattice unit cells

為實(shí)現(xiàn)大規(guī)模點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的建模，這里采用Tang 等［12］所提出的方法，將不同點(diǎn)陣單胞生成單胞庫(kù)，根據(jù)工程結(jié)構(gòu)的性能要求選擇單胞結(jié)構(gòu)進(jìn)行填充。根據(jù)單胞的幾何尺寸對(duì)幾何體進(jìn)行離散，然后生成大規(guī)模點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)，具體的優(yōu)化設(shè)計(jì)流程如圖2 所示。具體步驟為

圖2 點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)流程Fig.2 Optimization design process of lattice structure

1）確定優(yōu)化對(duì)象的優(yōu)化計(jì)算邊界條件。

2）對(duì)優(yōu)化對(duì)象的設(shè)計(jì)域進(jìn)行劃分，并從點(diǎn)陣單胞庫(kù)中選擇單胞生成點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)。

3）在簡(jiǎn)諧加速度激勵(lì)下優(yōu)化點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。

4）完成優(yōu)化模型。

1.2 大質(zhì)量法

結(jié)構(gòu)在承受基礎(chǔ)激勵(lì)時(shí)的動(dòng)力學(xué)平衡方程為

采用分塊矩陣形式，式（1）可以改寫為

在大質(zhì)量法中，通過在基礎(chǔ)處附著質(zhì)量很大的集中質(zhì)量ML，得到對(duì)應(yīng)于Mbb的大質(zhì)量矩陣，此時(shí)對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)起主要作用的是大質(zhì)量受到基礎(chǔ)傳遞來的加速度激勵(lì)而產(chǎn)生的慣性力。為保證基礎(chǔ)處原有的加速度場(chǎng)不變，需在大質(zhì)量點(diǎn)激勵(lì)自由度方向上施加相應(yīng)的外力載荷。假設(shè)基礎(chǔ)節(jié)點(diǎn)激勵(lì)自由度方向受到的加速度激勵(lì)向量為則式（2）可以變換為

將式（3）左側(cè)第2 項(xiàng)展開為

通過大質(zhì)量法就可以將基礎(chǔ)加速度激勵(lì)等效施加到結(jié)構(gòu)與基礎(chǔ)交界面處的節(jié)點(diǎn)上。即基礎(chǔ)加速度為

式中：Γg為加速度激勵(lì)幅值向量；ω為加速度激勵(lì)頻率。此時(shí)等效的力激勵(lì)向量為

通過大質(zhì)量法將簡(jiǎn)諧加速度激勵(lì)等效轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)諧力激勵(lì)。并且在用模態(tài)位移法分析簡(jiǎn)諧響應(yīng)時(shí)，當(dāng)不考慮結(jié)構(gòu)剛體模態(tài)的情況下，可獲得響應(yīng)點(diǎn)的相對(duì)位移響應(yīng)。

1.3 簡(jiǎn)諧加速度激勵(lì)下位移響應(yīng)幅值分析

簡(jiǎn)諧響應(yīng)分析，即求在簡(jiǎn)諧載荷作用下解線性結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。首先給出具有n自由度的結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧力激勵(lì)下的動(dòng)力學(xué)平衡方程：

式中：f(t)=Fejωt(j2=-1)為簡(jiǎn)諧力向量；F為簡(jiǎn)諧載荷振幅向量；ω為簡(jiǎn)諧載荷激勵(lì)圓頻率。

在采用模態(tài)疊加法求解簡(jiǎn)諧響應(yīng)時(shí)，通過求解自由振動(dòng)下的平衡方程，求解結(jié)構(gòu)的特征頻率和特征值：

則第i階固有頻率i和對(duì)應(yīng)的第i階振型向量Φi可通過求解以下特征方程求得：

設(shè)質(zhì)量歸一化振型矩陣為Φ=[Φ1，Φ2，…，Φn]，在經(jīng)典阻尼條件下求得：

式中：I為單位矩陣；ξi為第i階模態(tài)阻尼比。

假設(shè)系統(tǒng)的瑞利阻尼矩陣是質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的線性組合［20］，即

式中：α和β為瑞利阻尼系數(shù)，取α=10-3、β=10-6。根據(jù)式（11）可以求解得到結(jié)構(gòu)模態(tài)阻尼比為

通過引入廣義坐標(biāo)系變化公式，位移響應(yīng)可以寫為

式中：y(t)為廣義坐標(biāo)下的位移向量。將式（14）代入式（8）中，并左乘ΦiT，可以得到n個(gè)解耦的單自由度振動(dòng)方程為

式（15）為標(biāo)準(zhǔn)的二階系統(tǒng)形式，可以求得：

式（16）右端的第1 部分即為第i個(gè)單自由度系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)，引入表達(dá)式：

根據(jù)Zhu 等［21］文章中的結(jié)論，在簡(jiǎn)諧加速度激勵(lì)下，模態(tài)位移法（MDM）和模態(tài)加速度（MAM）有著相同的計(jì)算精度，通過模態(tài)位移法（MDM）可求得：

考慮到計(jì)算效率，求解中取結(jié)構(gòu)前q階模態(tài)進(jìn)行計(jì)算［22］，則：

2 簡(jiǎn)諧加速度激勵(lì)下點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型

2.1 優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

在單頻簡(jiǎn)諧基礎(chǔ)加速度激勵(lì)下的點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中，以目標(biāo)自由度相對(duì)位移響應(yīng)幅值最小為優(yōu)化目標(biāo)。以體積為約束的尺寸優(yōu)化模型，設(shè)計(jì)變量為單元的半徑rk。點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型可表述為

式中：rk為在點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)中第k個(gè)梁?jiǎn)卧陌霃皆O(shè)計(jì)變量；ne為設(shè)計(jì)單元的數(shù)量；Vk為第k個(gè)梁?jiǎn)卧捏w積；V0為所有點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)單元總和的體積上限值；rmin和rmax為點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)桿件的最小半徑和最大半徑。

2.2 靈敏度分析

首先求解用模態(tài)位移法得到的簡(jiǎn)諧響應(yīng)關(guān)于設(shè)計(jì)變量的靈敏度，因?yàn)楸疚牡膬?yōu)化目標(biāo)為某個(gè)自由度c 的位移響應(yīng)，現(xiàn)假設(shè)a是一個(gè)在自由度c 上為1 其余項(xiàng)為0 的n維向量。則有：

自由度c 的位移響應(yīng)幅值為

式中：Xc復(fù)位移幅值；xc(t)=Xcejωt，|xc(t)|關(guān) 于設(shè)計(jì)變量的靈敏度求解公式為

采用模態(tài)位移法求解簡(jiǎn)諧響應(yīng)xc(t)關(guān)于設(shè)計(jì)變量rk的靈敏度。對(duì)式（18）兩邊關(guān)于設(shè)計(jì)變量直接進(jìn)行求導(dǎo)即可求得：

頻率靈敏度可以通過式（25）進(jìn)行求解［23］：

振型的靈敏度可以通過不完備振型疊加法［24］進(jìn)行求解，即采用前q階振型的線性組合表示第i階振型的靈敏度：

通過鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則即可求得式（21）中簡(jiǎn)諧位移響應(yīng)的靈敏度。

3 數(shù)值算例

3.1 給定頻率下的簡(jiǎn)諧加速度激勵(lì)

對(duì)如圖3 所示的三維懸臂梁點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，模型的幾何尺寸為210 mm×100 mm×40 mm。模型灰色部分為質(zhì)量塊，模擬結(jié)構(gòu)所受到的負(fù)載，灰色部分的中心為響應(yīng)點(diǎn)。從點(diǎn)陣單胞庫(kù)中隨機(jī)選擇BC、Octa點(diǎn)陣單胞對(duì)設(shè)計(jì)與進(jìn)行填充，單胞的尺寸為10 mm×10 mm×10 mm，填充后的模型如圖4 所示。材料的彈性模量、泊松比和密度分別為1.95 GPa、0.39、1 200 kg/m3，設(shè)點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)中桿件半徑上下限分別為rmin=0.25 mm 和rmax=1.5 mm。設(shè)點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的體積上限V0=1.2×105mm3，此時(shí)BC 點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的一階共振頻率為48.9 Hz、Octa點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的一階共振頻率為126 Hz。

圖3 三維懸臂梁Fig.3 3D cantilever beam

圖4 懸臂梁點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)Fig.4 Cantilever beam with lattice structure

給定模型左端支撐處沿Y方向施加激勵(lì)頻率ωp=40 Hz、幅值為5 m/s2的簡(jiǎn)諧加速度激勵(lì)。此時(shí)激勵(lì)頻率低于結(jié)構(gòu)一階共振頻率。優(yōu)化目標(biāo)為響應(yīng)點(diǎn)沿Y方向的相對(duì)位移響應(yīng)幅值最小。

優(yōu)化過程和最終優(yōu)化構(gòu)型如圖5 所示。結(jié)果顯示BC 點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的目標(biāo)自由度的相對(duì)位移響應(yīng)幅值由20.5 mm 下降到0.97 mm，Octa 點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的目標(biāo)自由度的相對(duì)位移響應(yīng)幅值由1.14 mm下降到0.30 mm，優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)點(diǎn)陣密度分布清晰，優(yōu)化效果明顯。采用Octa 點(diǎn)陣單胞的結(jié)構(gòu)動(dòng)響應(yīng)更小，因?yàn)镺cta 點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)單胞桿件數(shù)量更多，優(yōu)化空間更大。

圖5 點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)低頻激勵(lì)下的相對(duì)位移響應(yīng)幅值迭代過程Fig.5 Iteration history of relative displacement response amplitudes under low-frequency excitation of lattice structure

當(dāng)對(duì)BC 點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)和Octa點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)，分別施加簡(jiǎn)諧加速度激勵(lì)頻率50 Hz和130 Hz，且均高于一階共振頻率時(shí)。經(jīng)過優(yōu)化，結(jié)構(gòu)目標(biāo)自由度的相對(duì)位移響應(yīng)幅值分別由149 mm 下降到5.9 mm 和16.2 mm 下降到0.91 mm。但此時(shí)通過圖6 的優(yōu)化構(gòu)型可以看出，點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)中材料主要集中在響應(yīng)點(diǎn)附近，而支撐處材料變少，這一結(jié)果使得靜剛度很差，無法應(yīng)用于工程當(dāng)中。點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)高頻激勵(lì)下的一階共振頻率迭代曲線如圖7所示。

圖6 點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)高頻激勵(lì)下的相對(duì)位移響應(yīng)幅值迭代過程Fig.6 Iterative history of relative displacement response amplitudes under high-frequency excitation of lattice structure

圖7 點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)高頻激勵(lì)下的一階共振頻率迭代曲線Fig.7 Iterative curves of first resonance frequency under high-frequency excitation of lattice structure

針對(duì)高于共振頻率下簡(jiǎn)諧激勵(lì)存在的問題，Olhoff 和Du［25］曾提出一種增加靜柔順度約束的方法用于解決無阻尼連續(xù)結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下拓?fù)鋬?yōu)化問題。

在實(shí)際工程中，結(jié)構(gòu)通常受到某個(gè)頻段范圍內(nèi)的簡(jiǎn)諧加速度激勵(lì)。針對(duì)這種載荷下的結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題，Liu［26］和Zhu［21］等采用的以頻段內(nèi)相對(duì)位移響應(yīng)幅值的積分最小為目標(biāo)，很好的解決了這個(gè)問題。優(yōu)化數(shù)學(xué)模型如式（28）所示，具體詳見文獻(xiàn)［21］：

在圖4 所示的2 種單胞結(jié)構(gòu)的懸臂梁上分別施加頻段為［0，500］Hz 的簡(jiǎn)諧加速度激勵(lì)，頻段內(nèi)相對(duì)位移響應(yīng)幅值的積分迭代過程和優(yōu)化結(jié)構(gòu)如圖8 所示，可以看出，優(yōu)化過程中頻段內(nèi)相對(duì)位移響應(yīng)幅值的積分?jǐn)?shù)值均逐漸降低，并趨于收斂。兩種優(yōu)化結(jié)構(gòu)相較圖6 更符合靜剛度的要求，傳力路徑上的點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)更粗，并且與頻點(diǎn)優(yōu)化的結(jié)構(gòu)有著明顯區(qū)別。

圖8 點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)頻段內(nèi)相對(duì)位移響應(yīng)幅值的積分迭代過程Fig.8 Iterative history of relative displacement response amplitude integration within band of lattice structure

對(duì)初始結(jié)構(gòu)和優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡(jiǎn)諧響應(yīng)分析，結(jié)果如圖9 所示。相比于初始結(jié)構(gòu)，優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)在低頻處的相對(duì)位移響應(yīng)幅值降低，一階共振頻率增大，在高頻處的響應(yīng)得到很好的抑制。

圖9 點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)頻段內(nèi)初始和優(yōu)化結(jié)構(gòu)的相對(duì)位移響應(yīng)幅值Fig.9 Relative displacement response amplitudes of initial and optimized structures within band of lattice structure

3.2 動(dòng)量輪支架組件

某動(dòng)量輪支架的設(shè)計(jì)構(gòu)型如圖10 所示，該結(jié)構(gòu)是基于模態(tài)加速度法提出的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)拓?fù)鋬?yōu)化方法得到的優(yōu)化構(gòu)型進(jìn)行重構(gòu)設(shè)計(jì)的結(jié)果。結(jié)構(gòu)通過底面4 個(gè)點(diǎn)進(jìn)行固定，結(jié)構(gòu)頂面安裝有動(dòng)量輪，采用BC 單胞對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行填充，其單胞尺寸為10 mm×10 mm×10 mm，每個(gè)單元的初始半徑為0.3 mm，設(shè)點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)中桿件半徑上下限分別為rmin=0.15 mm 和rmax=0.6 mm。給定點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的體積為8.8×105mm3，結(jié)構(gòu)蒙皮厚度為1 mm。結(jié)構(gòu)材料屬性為：彈性模量72 GPa，泊松比0.33，密度2 850 kg/m3。

圖10 動(dòng)量輪支架組件Fig.10 Momentum wheel bracket assembly

結(jié)構(gòu)底部分別受到沿X軸和Y軸方向的簡(jiǎn)諧加速度激勵(lì)，其中X方向的加速度激勵(lì)幅值為5 m/s2，Y方向的加速度激勵(lì)幅值為10 m/s2。在支架支撐的動(dòng)量輪質(zhì)心處施加動(dòng)量輪的質(zhì)量為5 kg，優(yōu)化目標(biāo)設(shè)置為響應(yīng)點(diǎn)在激勵(lì)頻段［0，1 500］Hz 內(nèi)沿X方向和Y方向的相對(duì)位移響應(yīng)幅值曲線積分之和最小。

從圖11 中可以看出頻段內(nèi)相對(duì)位移響應(yīng)幅值的積分完成收斂。從圖12 可以看出優(yōu)化結(jié)構(gòu)點(diǎn)陣密度分布清晰，在結(jié)構(gòu)4 個(gè)主承力柱上的點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)更粗，說明4 個(gè)主承力柱對(duì)結(jié)構(gòu)的響應(yīng)貢獻(xiàn)較大。

圖11 動(dòng)量輪支架頻段內(nèi)相對(duì)位移響應(yīng)幅值的積分迭代曲線Fig.11 Iterative curves of relative displacement response amplitude integration within band of momentum wheel bracket

圖12 動(dòng)量輪支架初始和優(yōu)化結(jié)構(gòu)Fig.12 Initial and optimized structures of momentum wheel bracket

對(duì)初始結(jié)構(gòu)和優(yōu)化結(jié)構(gòu)分別進(jìn)行頻率響應(yīng)分析，獲得其相對(duì)位移響應(yīng)幅值曲線。圖13 為X方向相對(duì)位移響應(yīng)幅值曲線，圖14 為Y方向相對(duì)位移響應(yīng)幅值曲線，可以看出結(jié)構(gòu)各階共振頻率有所提高，給定頻段內(nèi)的相對(duì)位移響應(yīng)的峰值均有所降低，相比于原構(gòu)型動(dòng)響應(yīng)降低25%。最終通過增材制造技術(shù)將其加工成型，如圖15 所示。

圖13 動(dòng)量輪支架初始結(jié)構(gòu)和優(yōu)化結(jié)構(gòu)相對(duì)位移響應(yīng)幅值（X 方向）Fig.13 Relative displacement response amplitudes of initial and optimized structures of momentum wheel bracket（X direction）

圖14 動(dòng)量輪支架初始結(jié)構(gòu)和優(yōu)化結(jié)構(gòu)相對(duì)位移響應(yīng)幅值（Y 方向）Fig.14 Relative displacement response amplitudes of initial and optimized structures of momentum wheel bracket（Y direction）

圖15 動(dòng)量輪支架Fig.15 Momentum wheel bracket

4 懸臂梁點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)力學(xué)試驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證上述設(shè)計(jì)的正確性，選定基于頻段簡(jiǎn)諧加速度激勵(lì)優(yōu)化的三維懸臂梁點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。為了對(duì)實(shí)驗(yàn)過程進(jìn)行對(duì)比，將初始結(jié)構(gòu)和優(yōu)化結(jié)構(gòu)的懸臂梁模型均采用SLA 工藝進(jìn)行增材制造，所得到的樣件如圖16 所示，實(shí)驗(yàn)采用東菱科技有限公司的ES-3-150 型電動(dòng)振動(dòng)測(cè)試系統(tǒng)進(jìn)行振動(dòng)測(cè)試。在振動(dòng)臺(tái)側(cè)面和零件的側(cè)面分別粘貼加速度傳感器，通過測(cè)量振動(dòng)臺(tái)面和被測(cè)試件的加速度以及被測(cè)試件的相位角對(duì)零件的相對(duì)位移響應(yīng)幅值進(jìn)行計(jì)算。

圖16 振動(dòng)試驗(yàn)Fig.16 Vibration test

設(shè)置簡(jiǎn)諧加速度激勵(lì)的掃描頻率范圍為20～1 000 Hz，掃描速率為2 Oct/min，激勵(lì)加速度幅值為5 m/s2，通過測(cè)得的加速度值計(jì)算的相對(duì)位移響應(yīng)幅值曲線如圖17 所示，可以看出，優(yōu)化結(jié)構(gòu)較初始結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)幅值更小，一階共振頻率也更高，說明了優(yōu)化方法的有效性。

圖17 懸臂梁點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)相對(duì)位移響應(yīng)幅值Fig.17 Relative displacement response amplitudes of cantilever beam with lattice structure

5 結(jié)論

1）本文建立了簡(jiǎn)諧加速度激勵(lì)下點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型，并對(duì)目標(biāo)自由度相對(duì)位移響應(yīng)關(guān)于設(shè)計(jì)變量的靈敏度進(jìn)行了推導(dǎo)。

2）當(dāng)簡(jiǎn)諧加速度激勵(lì)的頻率低于初始結(jié)構(gòu)的1 階共振頻率時(shí)，經(jīng)過優(yōu)化可以獲得符合工程要求的結(jié)構(gòu)，優(yōu)化后結(jié)構(gòu)不僅一階共振頻率提高，而且相對(duì)位移響應(yīng)峰值也有所下降；當(dāng)激勵(lì)頻率在高于一階共振頻率或在某一頻率范圍內(nèi)時(shí)，通過引入頻段優(yōu)化方法，經(jīng)過優(yōu)化同樣可以獲得符合工程要求的結(jié)構(gòu)并提高結(jié)構(gòu)的靜力學(xué)性能。

3）采用該優(yōu)化方法對(duì)動(dòng)量輪支架組件進(jìn)行優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)動(dòng)響應(yīng)降低25%。

4）通過對(duì)三維點(diǎn)陣懸臂梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行振動(dòng)實(shí)驗(yàn)對(duì)優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證，證明了優(yōu)化的有效性。