基于知識結構教學的初中數(shù)學單元設計研究
——以“平面直角坐標系”單元設計為例

趙 翠

(山東省濟南市萊蕪區(qū)汶源學校,山東 濟南 271100)

數(shù)學學習不是一蹴而就的,而是知識的吸收與再組織的過程,如果學生無法將學過的知識聯(lián)系起來,那么這些知識在腦海中就是一盤散沙,無法學以致用.教材中知識的排版順序雖然能夠幫助學生快速掌握知識要點,卻不利于學生站在宏觀角度思考知識點之間的關聯(lián)[1].因此,初中數(shù)學教師需要基于知識結構進行單元教學,讓學生在學習時做到“瞻前顧后”,將單元內(nèi)細碎的知識要點串聯(lián)起來,最終匯總為系統(tǒng)的知識結構圖.

1 “平面直角坐標系”單元設計

要想帶領學生透徹理解平面直角坐標系的內(nèi)涵,首先需要了解平面直角坐標系是由什么構成的.教材中指出,平面直角坐標系是由兩條互相垂直的數(shù)軸組成,且這兩條數(shù)軸在原點處重合.因此,平面直角坐標系的教學講解與數(shù)軸是分不開的.筆者認為,可從六個方面為學生講解平面直角坐標系與數(shù)軸之間的聯(lián)系：一是基本概念的講解;二是兩點之間的距離與其中點的坐標;三是關于原點對稱的兩個點之間存在什么坐標特征;四是數(shù)軸上的點與平面直角坐標系內(nèi)點的運動問題;五是如何運用數(shù)軸以及坐標系解決實際問題;六是基于知識結構的數(shù)軸與平面直角坐標系總結.

1.1 基本概念的講解

為了能夠準確表示一條直線上的某一個點的位置,我們引出了數(shù)軸.教師可以借助生活情境進行教學,具體如例1.在此基礎上,教師可以引導學生進行深層分析,如何精準表達某一個點在平面內(nèi)的位置,此時引出何為平面直角坐標系,具體如例2.

例1 假設某一中學門外有一條南北向的馬路,在大門往南8 m處種著一棵楊樹,在大門往南5 m處種著一棵柳樹,而在大門往北4 m處種著一棵蘋果樹,在大門往北6 m處安裝了一根電線桿,請大家在紙上繪制出上述情境.

例2 在上面的分析中我們已經(jīng)可以使用數(shù)軸表示一條直線上某一個點的位置,那么請大家思考如何確定一個平面上某一個點的位置.

教學意圖：數(shù)軸及平面直角坐標系的概念都是在精準確定某一點位置的基礎上提出的,前者為一維空間——直線,后者為二維空間——平面.

1.2 兩點之間的距離與其中點的坐標

1.2.1兩點之間的距離

要想確定數(shù)軸上兩個點的距離,可以將這兩個點的位置分別表示為a與b,那么它們之間的距離為|a-b|.

要想確定平面坐標上兩個點的距離,我們可以將這兩個點的位置表示為(x1,y1)及(x2,y2),此時它們間的距離有三種情況：

情況一：如果兩個點的橫坐標相同,即x1=x2,那么距離為|y1-y2|;

情況二：如果兩個點的縱坐標相同,即y1=y2,那么距離為|x1-x2|;

教學意圖：無論是數(shù)軸還是平面直角坐標系的學習,學生都需要掌握兩點距離的計算方式[2].如果平面直角坐標系中兩個點連成的直線能夠與x軸或者y軸平行,那么我們就可以將其簡化為數(shù)軸上兩點距離的算法.如果這兩個點連成的直線與x軸或者y軸不存在平行關系,那么學生就可以使用勾股定理進行計算.

1.2.2中點的坐標

例3 設數(shù)軸上存在一條線段AB,點C是該線段的中點,請大家計算出不同線段的中點位置,見表1.在計算完成后,請大家推理出數(shù)軸上線段中點坐標的計算公式.

表1 數(shù)軸上線段中點的位置

例4 設平面坐標系中存在八個點,我們將其位置表示為：A(-1,-1),B(3,3),C(1,1),D(1,4),E(-3,3),F(-1,1),G(5,-1),H(3,-2),I(3,2),J(1,-2),求CG,BE,DJ,HI,FF的中點坐標.在完成后思考：線段兩點的坐標與中點坐標間存在什么關系?

教學意圖：學生在學習完成數(shù)軸上線段中點的位置表示方式后,就可以根據(jù)這一規(guī)律來類比坐標系線中段中點位置的表示方式.

1.3 關于原點對稱的兩點之間的坐標特征

例5 已知的平面直角坐標系如下圖1所示,當△ABC經(jīng)過變換后可以得到△PQR,請寫出不同點的坐標：A點坐標為____,B點坐標為____,C點坐標為____,P點坐標為____,Q點坐標為____,R點坐標為____.完成后請觀察A點與P點、B點與Q點、C點與R點的坐標符號之間存在什么關系,并總結出一般規(guī)律.

圖1 平面直角坐標系示意圖

教學意圖：學生在本環(huán)節(jié)學習中應當明白,當坐標系中某一點的坐標為(a,b)時,其關于原點對稱的點的坐標為(-a,-b),即兩個點的橫坐標互為相反數(shù),縱坐標也互為相反數(shù).

1.4 數(shù)軸上的點與平面直角坐標系內(nèi)點的運動

例6 設某一數(shù)軸上存在兩個點A與B,其位置分別為-8和9.動點P將從點B開始以每秒兩個單位的速度向負方向移動,動點Q將從點A開始以每秒一個單位的速度向正方向移動,當運動了t秒后,請寫出兩個動點P與Q的位置.

例7 坐標系內(nèi)存在一點A,其坐標為(8,-3).將點A先沿y軸向上移動4個單位,得到點B,該點的坐標為多少?若將點A先沿x軸向右移動4個單位,得到點C,該點的坐標為多少?請觀察點B與點C的坐標,你能發(fā)現(xiàn)怎樣的規(guī)律?

教學意圖：學生可以發(fā)現(xiàn),數(shù)軸上動點的變化規(guī)律與坐標內(nèi)動點的變化規(guī)律是相似的.

1.5 運用數(shù)軸以及坐標系解決實際問題

例8 某市的貨運車司機王師傅在某一天上午一直行駛在南北走向的公路上,如果我們將朝南的方向設為正方向,朝北的方向設為負方向,那么王師傅這一段時間的位置變化為(單位為km)：-4,-1,+5,-7,+10,-3,+13,當王師傅將最后一件貨物送完后,終點距離最開始的距離有多遠,終點在出發(fā)點的哪個方向上?

例9 在長方形ABCD中,AB=6,BC=4,以AB邊所在的直線為x軸,A點原點,AD邊所在的直線為y軸,建立平面直角坐標系.請根據(jù)以上信息寫出長方形四個點的坐標位置.如果改變平面直角坐標系,那么這四個頂點的坐標又會發(fā)生怎樣的變化?

教學意圖：當面對生活問題時,很多學生難以將關鍵信息運用起來,此時我們可以構建數(shù)軸以及坐標系來刻畫某一點的位置,將復雜的問題簡單化.

2 基于知識結構開展單元教學設計的實踐思考

《平面直角坐標系》這一單元的內(nèi)容在初中數(shù)學教學中十分重要,學生在后續(xù)的知識學習中還使用坐標系作為解題工具,教師應當深度挖掘教材內(nèi)容,引導學生進行深層分析[3].然而《平面直角坐標系》單元的內(nèi)容較為零散,如何有效運用知識結構開展單元教學設計,這是一個值得深思的問題.

2.1 如何講解單元知識

課堂中教師需要做好知識銜接的準備,先為學生講解數(shù)軸知識,并以此為基礎展開坐標系模塊的教學.該過程應當引導學生思考數(shù)軸與坐標系知識間的聯(lián)系,從而幫助學生更加系統(tǒng)地理解平面直角坐標系.例如,教師在為學生講解如何計算“坐標系內(nèi)兩點之間的距離”時,切不可直接將推導過程展示給學生,而是應當啟發(fā)學生對“數(shù)軸上兩點之間的距離”的計算方式進行深度思考,并以此為基礎推導出平面直角坐標系內(nèi)兩點的距離計算方式.這一教學方法不僅可以提升學生的自主探究力,更是能夠加強學生對兩個知識點的理解.

2.2 如何引導學生思考

當學生在學習完成數(shù)軸知識內(nèi)容后,教師需要將此作為教學基礎開展后續(xù)的平面直角坐標系教學,該方式可以讓學生面對新知識時不再犯怵,而是可以主動運用數(shù)軸規(guī)律進行推導.由此看來,基于知識結構的單元教學設計并不是簡單的知識堆砌,其可以幫助學生將瑣碎的知識點匯集起來,最終成為一個整體.當學生能夠理解數(shù)軸與平面直角坐標系之間的聯(lián)系時,就能夠實現(xiàn)一維至二維的飛躍,數(shù)學思維得到不斷完善.

2.3 如何開展后續(xù)學習

當學生學習完成數(shù)軸以及平面直角坐標系的內(nèi)容后,教師可以引導學生思考：我們?nèi)绾伪硎灸骋粋€點在三維空間中的位置呢?該擴展性問題可以讓學生對空間直角坐標系產(chǎn)生基本的認知.基于之前的知識結構和學習經(jīng)驗,學生可以很快根據(jù)平面直角坐標系的概念推理出空間直角坐標系的概念,并參照教師課堂中的教學流程,通過合作學習的方式分析空間內(nèi)兩個點的距離的計算公式、空間內(nèi)兩個點構成的線段的中點位置表示方式及運用空間直角坐標系解決實際問題.

3 結束語

通過上述的分析能夠發(fā)現(xiàn),運用知識結構開展單元設計能夠很好地解決以往教學中知識割裂的狀態(tài).該教育理念認為初中數(shù)學教師應當根據(jù)知識的內(nèi)在結構進行系統(tǒng)教學,鼓勵學生探究不同知識要點間的關聯(lián).因此,數(shù)學教師必須熟悉教材中不同單元知識點的聯(lián)系,并通過清晰明了的單元設計方案引導學生構建系統(tǒng)的知識體系及邏輯結構.實踐表明,基于知識結構的單元設計能夠有效提升初中學生的數(shù)學思維,讓學生在課堂學習中完成知識的遷移,最終形成完善的核心素養(yǎng).