數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

修仰尚

(福建省長(zhǎng)汀縣第三中學(xué),福建 龍巖 366300)

數(shù)形結(jié)合是一種高效的解題方法,其側(cè)重于利用圖形的直觀性來(lái)輔助數(shù)學(xué)概念的理解和問(wèn)題的解決[1].文章旨在深入探討數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用,揭示如何運(yùn)用這一策略有效增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解,并促進(jìn)學(xué)生解題技能的提升[2].數(shù)形結(jié)合不僅僅是一種提高數(shù)學(xué)可接近性的教學(xué)工具,更是一種培養(yǎng)學(xué)生空間感知和邏輯推理能力的思維模式,對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)的深度和廣度有著積極影響.

1 幾何與圖形結(jié)合的應(yīng)用

例1 如圖1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=35 cm,邊長(zhǎng)12 cm的正方形CDEF內(nèi)接于△ABC.求△ABC的周長(zhǎng).

圖1 例1題圖

具體解題過(guò)程如下：

(1)設(shè)置變量：設(shè)BC=a,AC=b,根據(jù)勾股定理可以得到方程a2+b2=352.

(2)利用幾何性質(zhì)：由于正方形CDEF內(nèi)接于△ABC,根據(jù)幾何性質(zhì)可知,Rt△AFE與Rt△ACB相似.根據(jù)相似三角形的性質(zhì),有FE：CB=AF：AC,從而可得方程12b=a(b-12).

(3)方程求解：結(jié)合這兩個(gè)方程,可以得到12(a+b)=ab.通過(guò)變形可得到(a+b)2=a2+b2+2ab=1225+24(a+b).這里將a+b看作一個(gè)整體,得到一個(gè)一元二次方程.

(4)計(jì)算結(jié)果：解方程,得到a+b=49(另一解a+b=-25,不符合題意,故舍去).因此,△ABC的周長(zhǎng)為a+b+35=49+35=84(cm).

這個(gè)例題涵蓋了勾股定理、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn),其解題過(guò)程展示了數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用,即首先通過(guò)圖形的特征建立幾何關(guān)系,然后將這些關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)方程進(jìn)行求解.這種方法不僅提高了解題的效率,而且增強(qiáng)了對(duì)幾何概念和代數(shù)技能的綜合理解,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的重要作用.

2 方程與不等式的圖形可視化技巧

圖2 例2題圖

圖3 例3題圖

具體解題過(guò)程如下：首先確定不等式-x≥a對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的區(qū)域.這表示x的值必須小于或者等于-a.接下來(lái),分析不等式x-1≥-b,這表明x的值可以等于b+1,但不可以大于這個(gè)值.聯(lián)合這兩個(gè)不等式,解集在數(shù)軸上表示為-a到b+1的閉區(qū)間.題目要求求解-x與x-1的乘積.結(jié)合兩個(gè)不等式,這個(gè)乘積的最大值在x取最小值-a和x取最大值b+1時(shí)出現(xiàn),即-(-a)×(b+1-1).根據(jù)題目在數(shù)軸上的標(biāo)記,a和b的數(shù)值可以直接讀出為a=-2和b= 4.將a和b的值代入上述代數(shù)式中,得到2×4=8.最終得出的乘積為 8,故選B.

數(shù)軸的可視化在此過(guò)程中起到了關(guān)鍵作用,可以直觀地識(shí)別和解決問(wèn)題.通過(guò)數(shù)形結(jié)合,不僅簡(jiǎn)化了問(wèn)題的理解,而且提高了求解效率.

3 運(yùn)用圖形解析函數(shù)特性

例3 給定兩個(gè)正比例函數(shù)的圖象,點(diǎn)A(2,0)位于x軸上.過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線,與這兩個(gè)函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)B和點(diǎn)C.請(qǐng)計(jì)算△OBC的面積.

數(shù)形結(jié)合的方法加深了學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解,使學(xué)生能夠通過(guò)觀察和分析圖形來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.這種方法不僅加深了學(xué)生對(duì)函數(shù)在坐標(biāo)平面上表示方法的理解,而且為學(xué)生解決問(wèn)題提供了一種強(qiáng)有力的視覺(jué)工具.

4 實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中的數(shù)形結(jié)合策略

例4 考慮一個(gè)反映銷售數(shù)量(用x表示,單位為件)與銷售費(fèi)用(用y表示,單位為元)之間關(guān)系的銷售情景,如圖4所示,它描述了某家企業(yè)按月向其銷售團(tuán)隊(duì)支付銷售費(fèi)用的兩個(gè)不同計(jì)劃.

圖4 例4題圖

(1)根據(jù)圖表數(shù)據(jù),推導(dǎo)出兩個(gè)支付計(jì)劃下的銷售費(fèi)用y1和y2與銷售數(shù)量x的函數(shù)關(guān)系式.

(2)從圖4中解讀這兩個(gè)支付計(jì)劃,概述每一種方案的推銷費(fèi)支付機(jī)制.

(3)假設(shè)你是該銷售團(tuán)隊(duì)的一員,基于這些信息,考慮你應(yīng)如何選擇最適合你的薪酬計(jì)劃.

具體解題過(guò)程如下：

(1)觀察圖表,直觀看出y1與y2都隨著x的增加而增加,但增長(zhǎng)的速率和起始點(diǎn)不同.直線y1從原點(diǎn)開(kāi)始,表明無(wú)基本工資,完全依賴銷售量;而直線y2從y軸的300開(kāi)始,表示有固定工資,再加上銷量提成.

(2)分析這兩條直線,可以得出它們的函數(shù)解析式y(tǒng)1=20x表示無(wú)底薪,是純提成方案.y2=10x+300表示有底薪加上提成.

(3)針對(duì)不同的銷售能力,推銷員可以選擇最優(yōu)方案：銷量高于30件時(shí),選擇方案y1較為有利;銷量不足30件時(shí),選擇y2方案更為保險(xiǎn).

通過(guò)數(shù)形結(jié)合的策略,學(xué)生可以從圖形中直觀地理解和建立推銷費(fèi)與銷售量之間的函數(shù)關(guān)系,進(jìn)而做出基于數(shù)學(xué)分析的決策.此方法不僅使問(wèn)題的解決更加直觀有效,而且?guī)椭鷮W(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)工具在現(xiàn)實(shí)世界經(jīng)濟(jì)決策中的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.

5 數(shù)形結(jié)合解決“距離與相遇”問(wèn)題

例5 一輛動(dòng)車和一輛普通火車分別從西安和西寧同時(shí)出發(fā),朝對(duì)方所在的城市前進(jìn).這里將普通火車運(yùn)行的時(shí)長(zhǎng)記為xh,兩列火車之間的距離記為ykm.圖5描繪了y隨x變化的關(guān)系.

圖5 例5題圖

依據(jù)圖5,解答下列問(wèn)題：

(1)計(jì)算西安與西寧之間的實(shí)際距離及兩列火車啟程后多長(zhǎng)時(shí)間相遇;確定普通火車到達(dá)目的地所需的整體時(shí)間,并推算其速度(以km/h為單位).

(2)基于圖表信息,推導(dǎo)出動(dòng)車組的平均速率.

(3)在普通火車行駛th之后,動(dòng)車組正好抵達(dá)西寧.估算在這個(gè)時(shí)刻,普通火車還需行進(jìn)多少千米才能抵達(dá)西安?

數(shù)形結(jié)合策略在解決“距離與相遇”問(wèn)題中的應(yīng)用,讓學(xué)生通過(guò)圖形化的數(shù)據(jù)理解和解決實(shí)際問(wèn)題,這種方法提高了解題的準(zhǔn)確性和效率.

6 結(jié)束語(yǔ)

文章探討了數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用路徑,從幾何圖形的理解到方程與不等式的圖形化,再到函數(shù)特性的直觀分析,最后討論了數(shù)形結(jié)合在實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中的應(yīng)用價(jià)值.這一教學(xué)方法不僅提高了學(xué)生的解題效率,而且深化了他們對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解.展望未來(lái),數(shù)形結(jié)合的策略應(yīng)當(dāng)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中得到更廣泛的應(yīng)用.