化點(diǎn)為斜

范習(xí)昱 張海葉

摘 要：解析幾何問(wèn)題一般計(jì)算較為繁瑣，究其根本原因是對(duì)參數(shù)的處理，而消參方法多樣是困擾學(xué)生破解這類問(wèn)題的主要因素.文章發(fā)現(xiàn)很多經(jīng)典的解析幾何綜合問(wèn)題都可利用一種通法消參，即“化點(diǎn)為斜”.

關(guān)鍵詞：解析幾何；消參；通法；“化點(diǎn)為斜”

中圖分類號(hào)：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1008-0333（2024）07-0005-05

解析幾何的本質(zhì)思想是解析法或者叫坐標(biāo)法，核心就是用代數(shù)計(jì)算的方法來(lái)處理各類幾何問(wèn)題，引入很多參數(shù)或變量是解析幾何問(wèn)題的常規(guī)操作，于是如何消參就顯得格外重要.解析幾何一般包含點(diǎn)的坐標(biāo)和斜率、截距或者其他參變量.筆者整理很多相關(guān)資料，發(fā)現(xiàn)“化點(diǎn)為斜”是處理消參的一種通用方法，是破解教學(xué)難點(diǎn)和突破學(xué)生瓶頸的不二選擇［1］.

所謂“化點(diǎn)為斜”就是利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，通過(guò)代入消元或者作差消元或者其他方法，消去點(diǎn)的坐標(biāo)而保留斜率參數(shù)的一種消參方法，它是一種處理解析幾何綜合問(wèn)題的最為常見(jiàn)的消參通法.

下面筆者從幾類經(jīng)典的解析幾何綜合題加以分析.

1 弦的斜率問(wèn)題，利用根與系數(shù)關(guān)系消參

解法1 過(guò)點(diǎn)A（0，1）且斜率為k的直線為y=kx+1.

代入橢圓方程中，消去y并整理，得

（1+4k2）x2+8kx=0.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y），則

整理，得

解法2 過(guò)點(diǎn)A（0，1）且斜率為k的直線為y=kx+1.

代入橢圓方程中，消去y并整理，得

（1+4k2）x2+8kx=0.

去分母，得

評(píng)析 斜率問(wèn)題是直線和圓錐曲線綜合問(wèn)題中最為基本的一類問(wèn)題，引入點(diǎn)的坐標(biāo)和直線的斜率是這類問(wèn)題的常規(guī)方法，也是學(xué)生很容易接受和上手的方法.例1的解法1中有三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)加上一個(gè)斜率共有7個(gè)變量，利用橢圓方程、直線方程和題目中的向量等式，消去這些點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到斜率方程解出斜率；解法2考慮橢圓的弦有一個(gè)端點(diǎn)已知，根據(jù)聯(lián)立后的一元二次方程特點(diǎn)，另一個(gè)端點(diǎn)M（x，y）的坐標(biāo)（斜率表示）也就容易求得，適合于消參，問(wèn)題得到解決［2］.

2 非斜率定值問(wèn)題，保留斜率參數(shù)

（1）求橢圓C的方程；

（2）試探究M，N的橫坐標(biāo)的乘積是否為定值，若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析 （1）由已知，A，B的坐標(biāo)分別是Aa，0，B0，-b，由于△ABC的面積為3，

化簡(jiǎn)，得a=2b.②

①②兩式聯(lián)立解得

b=1或b=-3（舍去）.

所以a=2，b=1.

（2）設(shè)直線PQ的方程為y=kx+2，P，Q的坐標(biāo)分別為Px1，y1，Qx2，y2，

則直線BP的方程為

（1+4k2）x2+16kx+12=0.

由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得

評(píng)析 各類圓錐曲線的定值問(wèn)題

是高考的一類熱點(diǎn)問(wèn)題，一般也要引入點(diǎn)的坐標(biāo)和直線的斜率.例2（2）也有5個(gè)變量，將P，Q的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為斜率即“化點(diǎn)為斜”可以較容易地消去點(diǎn)的坐標(biāo)參數(shù)，是這類問(wèn)題的一種通用方法.

3 定點(diǎn)問(wèn)題中消去點(diǎn)坐標(biāo)

（2）將y=kx+b代入曲線C的方程，整理得

（1+4k2）x2+8kxb+4b2-4=0.

因?yàn)橹本€l與曲線C交于不同的兩點(diǎn)P和Q，所以△=64k2b2-4（1+4k2）（4b2-4）=16（4k2-b2+1）>0.③

設(shè)Px1，y1，Qx2，y2，則

且y1·y2=（kx1+b）（kx2+b）

=（k2x1x2）+kb（x1+x2）+b2，

顯然，曲線C與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)

A-2，0，

（x1+2）（x2+2）+y1y2=0.⑤

將④⑤代入上式，整理，得

12k2-16kb+5b2=0.

所以（2k-b）·（6k-5b）=0.

經(jīng)檢驗(yàn)，都符合條件③.

評(píng)析 例3是一類有關(guān)向量條件下的定點(diǎn)問(wèn)題，也是高考中圓錐曲線綜合問(wèn)題的熱點(diǎn)問(wèn)題.解決定點(diǎn)問(wèn)題，一般采用設(shè)點(diǎn)法化簡(jiǎn)有關(guān)向量等式或其他的條件，然后聯(lián)立直線和曲線方程利用根與系數(shù)的關(guān)系探討定值或定點(diǎn)取得的條件，從而求出定點(diǎn)，運(yùn)算對(duì)學(xué)生的要求很高，難度也較大.我們依然也可以“化點(diǎn)為斜”消參求解［3］.

4 最值問(wèn)題保留斜率為主變量

例4 如圖3，過(guò)拋物線C：x2=2py（p>0）的焦點(diǎn)F的直線交C于M（x1，y1），N（x2，y2）兩點(diǎn)，且x1x2=-4.

（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）R，Q是C上的兩動(dòng)點(diǎn)，R，Q的縱坐標(biāo)之和為1，R，Q的垂直平分線交y軸于點(diǎn)T，求△MNT的面積的最小值.

由題意設(shè)x1，x2是方程兩根，所以

x1x2=-p2=-4.

所以p=2.

所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=4y.

（2）設(shè)R（x3，y3），Q（x4，y4），T（0，t），因?yàn)門(mén)在RQ的垂直平分線上，所以TR=TQ.

得x23+（y3-t）2=x24+（y4-t）2.

因?yàn)閤23=4y3，x24=4y4，

所以4y3+（y3-t）2=4y4+（y4-t）2.

即4（y3-y4）=（y3+y4-2t）（y4-y3）.

所以-4=y3+y4-2t.

因此當(dāng)k=0時(shí)S△MNT有最小值3.

評(píng)析 例4是圓錐曲線綜合問(wèn)題中的最值問(wèn)題，也是非常常見(jiàn)的.其中參變量多達(dá)6個(gè)，對(duì)于線段長(zhǎng)度和面積的處理依然可以運(yùn)用“化點(diǎn)為斜”這一通法來(lái)消參化解.

5 圓錐曲線其他綜合問(wèn)題

（2）將y=kx+4代入雙曲線C的方程并整理，得（3-k2）x2-8kx-19=0.

當(dāng)3-k2=0時(shí)，直線與雙曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，故3-k2≠0.

解得k2=4，驗(yàn)知△>0， 所以k=±2.

所以所求點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（±2，0）.

解法2 利用根與系數(shù)的關(guān)系，但是考慮結(jié)論中涉及的λ1+λ2怎樣用k表示，上述解法改進(jìn)后如下：

解得k2=4，驗(yàn)知△>0.

所以k=±2.

故所求點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（±2，0）.

評(píng)析 例5中的參數(shù)多達(dá)5個(gè)，通過(guò)坐標(biāo)表示參數(shù)，最終還是可以化歸為斜率的表達(dá)式或者方程不等式，最后利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)獲得求解.

6 結(jié)束語(yǔ)

解析幾何綜合問(wèn)題由于計(jì)算量較大，對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力提出了很高的要求，很多學(xué)生都難以越過(guò)這道鴻溝.由于方法多思路廣，一般傳統(tǒng)的講解是很難突破的.從以上幾道經(jīng)典的案例中，我們不難發(fā)現(xiàn)，“化點(diǎn)為斜”可以作為解析幾何綜合問(wèn)題的一種消參通法，參數(shù)少了，這類問(wèn)題一般都可以迎刃而解.

參考文獻(xiàn)：

［1］范習(xí)昱.例談簡(jiǎn)化平面解析幾何運(yùn)算的幾種“優(yōu)先策略”[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版）， 2019（13）：8-11.

[2] 范習(xí)昱.例析解幾中面積問(wèn)題的幾種題型[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)， 2019（17）：12-15.

[3] 范習(xí)昱.例析解析幾何中有關(guān)線段長(zhǎng)度問(wèn)題的幾種典型處理策略[J].數(shù)理化解題研究， 2020（01）：13-17.