坐標(biāo)觀點(diǎn)下的解析幾何命題推廣探究
——以2023年全國乙卷理數(shù)第20題為例

金 毅

(呼和浩特市第二中學(xué),內(nèi)蒙古 呼和浩特 010000)

解析幾何主要考查直觀想象能力、邏輯推理能力與運(yùn)算求解能力.坐標(biāo)法是高中階段解決解析幾何問題的主要方法.“坐標(biāo)法”的基本含義是:通過將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo),并使用代數(shù)方法對坐標(biāo)進(jìn)行運(yùn)算,體現(xiàn)了解析幾何中的數(shù)形結(jié)合思想[1].下面我們以2023年的一道高考題目為例,在坐標(biāo)法的觀點(diǎn)下研究其一般情形,并做推廣.

1 題目呈現(xiàn)

圖1 全國乙卷理科數(shù)學(xué)20題

(1)求C的方程;

(2)過點(diǎn)(-2,3)的直線交C于P,Q兩點(diǎn),直線AP,AQ與y軸的交點(diǎn)分別為M,N,證明:線段MN的中點(diǎn)為定點(diǎn).

為了便于說明問題,不妨設(shè)點(diǎn)B(-2,3),M,N中點(diǎn)為K.本題充分考查學(xué)生的邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng),解決方法不唯一,可以多角度切入分析試題,定點(diǎn)結(jié)論簡潔美觀,是一道具備選拔功能的優(yōu)秀試題,下面嘗試對問題的一般化情況做討論.

2 推廣探究

此結(jié)論證明方法較多.考慮到直線AP,AQ地位等同,知其運(yùn)算方式是相似的.具體來看,當(dāng)我們通過聯(lián)立計(jì)算解決了點(diǎn)P的坐標(biāo)時,點(diǎn)Q的坐標(biāo)也可以通過類似的計(jì)算方式得出.所以,我們選擇方程同構(gòu)方法解決,目的是為了盡可能減少計(jì)算量.

證明設(shè)直線AP,AQ的方程分別為

y=k1(x+b),y=k2(x+b),

由韋達(dá)定理,可得

設(shè)直線PQ的方程為y-a=t(x+b),可得

此時k1,k2可看作方程ab2x2-2a2bx+a3+ta2b+tab2=0的兩個不等實(shí)數(shù)根.

對于直線AP,AQ,令x=0,可得

yP=bk1,yQ=bk2.

設(shè)MN的中點(diǎn)為K,

評注對于結(jié)論1,令a=3,b=2即得到乙卷理科第20題.通過此分析可以看到,幾何上的相同地位暗示著相同的代數(shù)運(yùn)算方式.事實(shí)上,我們證得定點(diǎn)的同時,發(fā)現(xiàn)本質(zhì)上是斜率和為定值導(dǎo)致定點(diǎn)的出現(xiàn),所以得到結(jié)論2.

證明根據(jù)結(jié)論1,可得

故有kAP+kAQ=2kAK成立.

本結(jié)論可以推廣至雙曲線,于是得到結(jié)論3.

證明方法與結(jié)論1類似,此處略去.

圖2 結(jié)論4示意圖

(-b-x1,a-y1)=λ(x2+b,y2-a).

根據(jù)幾何圖形可知,λ≠-1.

作差,得

兩者相加,可得

考慮表達(dá)式

①

②

所以|PG|·|BQ|=|PB|·|GQ|.

評注我們用純坐標(biāo)法證明了此結(jié)論,避免了使用平面幾何與高等幾何中繁雜的推導(dǎo),體現(xiàn)了坐標(biāo)法的優(yōu)勢.若此結(jié)論成立,認(rèn)為點(diǎn)B,P,G,Q為調(diào)和點(diǎn)列.在證明過程中,我們使用了定比點(diǎn)差法,點(diǎn)差法在代數(shù)結(jié)構(gòu)上簡明對稱,便于我們找到等量關(guān)系,整體代換求出線段比為定值.事實(shí)上,此結(jié)論也揭示了全國乙卷20題的命題背景為調(diào)和點(diǎn)列.

結(jié)論4可一般化推廣,我們得到結(jié)論5.

此結(jié)論的證明方式同結(jié)論4,并且對于焦點(diǎn)在x軸上的橢圓也成立.

調(diào)和點(diǎn)列的出現(xiàn)意味著出現(xiàn)調(diào)和線束,可知AB,AP,AG,AQ為調(diào)和線束.我們將調(diào)和點(diǎn)列的結(jié)論改進(jìn),得到結(jié)論6.

根據(jù)正弦定理,易證得

分別設(shè)調(diào)和線束AB,AP,AG,AQ的傾斜角為θ1,θ2,θ3,θ4,其斜率分別為k1,k2,k3,k4,根據(jù)三角形外角關(guān)系,得

有(k2-k3)(k1-k4)=(k3-k4)(k1-k2)成立.

也即(k2-k4+k4-k3)(k1-k4)=(k1-k4+k4-k2)(k3-k4).

即(k4-k3)(k1-k4)+(k2-k4)(k1-k4)=(k4-k2)(k3-k4)+(k1-k4)(k3-k4).

故有2(k1-k4)(k3-k4)=(k2-k4)(k1-k4)+(k2-k4)(k3-k4).

3 結(jié)束語

通過以上結(jié)論與分析可以看到,坐標(biāo)法在解決解析幾何問題時有非常重要的推動作用,能通過計(jì)算避免繁雜的幾何推理,并且推導(dǎo)出來的結(jié)果更具備一般性.在運(yùn)用坐標(biāo)法計(jì)算時,要注意靈活運(yùn)用代數(shù)中的對稱、同構(gòu)、替換的思路,巧妙運(yùn)算,減少計(jì)算量.同時,解析幾何的關(guān)系經(jīng)過坐標(biāo)的加工、轉(zhuǎn)化之后可以出現(xiàn)新的數(shù)學(xué)問題.正是坐標(biāo)觀點(diǎn)的出現(xiàn),使解析幾何問題的呈現(xiàn)形式多樣化,變得越來越豐富多彩,引人入勝.