高考數(shù)學復習備考策略的研究
——以2023年全國卷高考數(shù)學試題為例

董同明

(江蘇省東海高級中學,江蘇 連云港 222300)

1 數(shù)學復習要強調基礎性

深化基礎考查是高考數(shù)學命題的根本,雖然高考數(shù)學試題千變萬化,但不變的是數(shù)學的基礎知識、基本技能和基本思想方法.

A.-i B.i C.0 D.1

試題分析本題考查復數(shù)的代數(shù)形式、復數(shù)代數(shù)形式的運算、共軛復數(shù)的概念等基礎知識和基本方法.由題意首先計算復數(shù)z的值,然后利用共軛復數(shù)的定義確定其共軛復數(shù)即可.

故選A.

2 數(shù)學復習要突出綜合性

作為選拔性考試的高考,綜合性就成為高考數(shù)學命題的重要特征.高考數(shù)學命題依據(jù)課程標準,落實“綜合性”考查要求,彰顯學科核心素養(yǎng),突出對主干、重點知識、內容及關鍵能力的考查,考查綜合應用知識的能力.高考復習備考要重視知識點的交叉,學會從一個知識點向另一個知識點轉化的方法,即轉化條件、轉化結論.學會在不同的知識點之間建立起橋梁,學會對各個知識點進行挖掘、擴展,既深入思考又廣開思路,這是復習備考的核心問題.

(1)當a=-1時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;

(3)若f(x)在(0,+∞)上存在極值,求a的取值范圍.

據(jù)此可得f(1)=0,f′(1)=-ln2.

函數(shù)在(1,f(1))處的切線方程為

y-0=-ln2(x-1).

即xln2+y-ln2=0.

(2)由函數(shù)的解析式可得

由對稱性可知

(3)由函數(shù)的解析式可得

由f(x)在區(qū)間(0,+∞)上存在極值點,則f′(x)在區(qū)間(0,+∞)上存在變號零點.

-(x+1)ln(x+1)+(x+ax2)=0.

令g(x)=ax2+x-(x+1)ln(x+1),

f(x)在區(qū)間(0,+∞)存在極值點,等價于g(x)在區(qū)間(0,+∞)上存在變號零點,

當a≤0時,g′(x)<0,g(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調遞減,此時g(x)

令m(x)=1-x+lnx(0

所以函數(shù)m(x)在定義域內單調遞增.所以m(x)

令h(x)=lnx-x2+x(x>0),則

當x∈(0,1)時,h′(x)>0,h(x)單調遞增,當x∈(1,+∞)時,h′(x)<0,h(x)單調遞減,故h(x)≤h(1)=0.

即lnx≤x2-x(取等條件為x=1).

所以g′(x)=2ax-ln(x+1)>2ax-[(x+1)2-(x+1)]=2ax-(x2+x),

g′(2a-1)>2a(2a-1)-[(2a-1)2+(2a-1)]=0,且注意到g′(0)=0.

根據(jù)零點存在性定理可知:g′(x)在區(qū)間(0,+∞)上存在唯一零點x0.

當x∈(0,x0)時,g′(x)<0,g(x)單調遞減,當x∈(x0,+∞)時,g′(x)>0,g(x)單調遞增,所以g(x0)

所以g(x)=ax2+x-(x+1)ln(x+1)

所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,+∞)上存在變號零點,符合題意.

3 數(shù)學復習要關注應用性

數(shù)學應用已經(jīng)滲透到現(xiàn)代社會及人們日常生活的各個方面,而應用數(shù)學解決問題是學生學科核心素養(yǎng)的綜合體現(xiàn).數(shù)學模型搭建了數(shù)學與外部世界聯(lián)系的橋梁,是數(shù)學應用的重要形式.因此,高考命題重視應用數(shù)學模型解決實際問題,強化對“應用意識”的考查,既體現(xiàn)課程標準的要求,也是考查學生學科素養(yǎng)的重要手段.

例3(新高考Ⅱ卷第19題)某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學指標有明顯差異,經(jīng)過大量調查,得到如圖1所示的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖:

圖1 頻率分布直方圖

利用該指標制定一個檢測標準,需要確定臨界值c,將該指標大于c的人判定為陽性,小于或等于c的人判定為陰性.此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率,記為p(c);誤診率是將未患病者判定為陽性的概率,記為q(c).假設數(shù)據(jù)在組內均勻分布,以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率.

(1)當漏診率p(c)=0.5%時,求臨界值c和誤診率q(c);

(2)設函數(shù)f(c)=p(c)+q(c),當c∈[95,105]時,求f(c)的解析式,并求f(c)在區(qū)間[95,105]的最小值.

試題分析(1)根據(jù)題意由第一個圖可先求出c,再根據(jù)第二個圖求出c≥97.5的矩形面積即可解出;

(2)根據(jù)題意確定分段點100,即可得出f(c)的解析式,再根據(jù)分段函數(shù)的最值求法即可解出.

解析(1)根據(jù)題意可知,左邊圖形第一個小矩形的面積為5×0.002>0.5%,所以95

q(c)=0.01×(97.5-95)+5×0.002=0.035=3.5%.

(2)當c∈[95,100]時,f(c)=p(c)+q(c)=(c-95)×0.002+(100-c)×0.01+5×0.002=-0.008c+0.82≥0.02;

當c∈(100,105]時,f(c)=p(c)+q(c)=5×0.002+(c-100)×0.012+(105-c)×0.002=0.01c-0.98>0.02.

故f(c)在區(qū)間[95,105]的最小值為0.02.

4 數(shù)學復習要重視創(chuàng)新性

培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神、創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力是高中數(shù)學新課程的重要任務,而在數(shù)學探究中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題,并應用數(shù)學知識、思想方法分析問題和解決問題是這種創(chuàng)新性的最好表現(xiàn).高考命題重視對情境創(chuàng)新性的考查,這就要求我們在高考復習備考中重視和加強對數(shù)學創(chuàng)新型問題的研究,并引導學生加強對創(chuàng)新問題的訓練,以適應高考命題的要求.

試題分析根據(jù)直線與圓的位置關系,求出弦長|AB|,以及點C到直線AB的距離,結合面積公式即可解出.

5 結束語

教育部考試中心發(fā)布的高考評價體系由“一核”“四層”“四翼”組成,其中:“四翼”即基礎性、綜合性、應用性、創(chuàng)新性為考查要求[1].高考數(shù)學復習備考要強化對實現(xiàn)“四翼”考查要求策略的研究,把復習備考的著眼點放在數(shù)學的“問題本質”和能力培養(yǎng)上,將本質性的東西弄熟吃透了,閱讀理解能力及數(shù)學抽象、邏輯推理和數(shù)據(jù)分析、直觀想象和數(shù)學建模等數(shù)學核心素養(yǎng)提高了,相應的問題便迎刃而解.