“橡皮筋上的球”運(yùn)動(dòng)規(guī)律的研究

劉旭　趙泉翔　王振宇　劉偉

摘 要 本文對(duì)2022年IYPT 的一道題目“橡皮筋上的球”進(jìn)行了研究，在對(duì)橡皮筋扭轉(zhuǎn)力和阻尼作線(xiàn)性假設(shè)的條件下，建立了二自由度線(xiàn)性阻尼自由扭振模型描述雙球橡皮筋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，建立了彈性圓軸的剪切形變力學(xué)模型描述橡皮筋的力學(xué)性質(zhì)，并給出解析解。本文解釋了雙球橡皮筋系統(tǒng)的“鐘擺”行為，定量探究了此行為與相關(guān)參數(shù)的依賴(lài)關(guān)系;通過(guò)Tracker軟件得到了相關(guān)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，驗(yàn)證了模型的正確性，并對(duì)實(shí)驗(yàn)中的等時(shí)性破缺現(xiàn)象進(jìn)行了半定量解釋?zhuān)瑢?duì)非線(xiàn)性公轉(zhuǎn)半徑r 隨時(shí)間t 的變化進(jìn)行了定性分析。

關(guān)鍵詞 橡皮筋;球;線(xiàn)性扭振;剪切形變;振動(dòng)

2022年IYPT 有一道題目是有關(guān)“橡皮筋上的球”運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象的研究：“Connect two metal ball with an elastic band， then twist the elastic bandand put the balls on a table. The balls will begin to spin in one direction， then in the other. Explainthis phenomenon and investigate how thebehaviour of such a “pendulum” depends on therelevant parameters.”

分析題目發(fā)現(xiàn)，我們需要一根彈力帶將兩個(gè)硬質(zhì)球連接起來(lái)提供扭轉(zhuǎn)恢復(fù)力矩。常見(jiàn)的彈力帶一般有織物彈力帶、橡膠彈力帶（又稱(chēng)橡皮筋）兩類(lèi)，此外也可使用金屬材料的扭轉(zhuǎn)彈簧（又稱(chēng)扭簧）提供扭轉(zhuǎn)恢復(fù)力矩?？紤]到織物彈力帶由于其紡織工藝存在經(jīng)緯向的差別帶來(lái)的各向異性，其雖具有出色的縱向伸縮彈性，但是其橫向剪切彈性卻并不好;并且考慮到實(shí)驗(yàn)可行性，硬質(zhì)球直徑在10mm 量級(jí)，因此彈力帶的長(zhǎng)度和直徑分別在10cm、1mm 量級(jí)，長(zhǎng)徑比約100∶1量級(jí)，這也是金屬扭簧難以實(shí)現(xiàn)的。綜上，可以完美符合實(shí)驗(yàn)要求的橡皮筋變成了實(shí)驗(yàn)的首選。

為了解題目，進(jìn)行如下預(yù)實(shí)驗(yàn)：（1）用502膠水將單根橡皮筋與兩個(gè)金屬球連接;（2）手持球，扭轉(zhuǎn)橡皮筋約幾十圈，然后在橡膠墊上釋放。觀察到系統(tǒng)做周期性的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，兩球會(huì)先向一個(gè)方向公轉(zhuǎn)數(shù)周，再向相反的方向公轉(zhuǎn)數(shù)周，如此反復(fù)幾次直至系統(tǒng)能量耗盡，即雙球橡皮筋系統(tǒng)呈現(xiàn)出“鐘擺”振蕩行為：小球的自轉(zhuǎn)角度、公轉(zhuǎn)角度、公轉(zhuǎn)半徑、公轉(zhuǎn)線(xiàn)速度均呈現(xiàn)準(zhǔn)期性的特征。

前人的研究主要針對(duì)橡皮筋拉伸與彈出建立的動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型[1]，球在振動(dòng)彈性膜上反彈的動(dòng)力學(xué)模型[2]或者以扭曲實(shí)現(xiàn)扭轉(zhuǎn)制冷的能量分析方法[3]。本文通過(guò)構(gòu)建理論動(dòng)力學(xué)模型分析“橡皮筋上的球”，將橡皮筋與球視為一個(gè)系統(tǒng)整體分析，從理論力學(xué)力矩分析的角度將線(xiàn)性部分的模型進(jìn)行定量計(jì)算，對(duì)“橡皮筋上的球”全新模型進(jìn)行建模。

本文建立二自由度線(xiàn)性阻尼自由扭振模型描述雙球橡皮筋系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，建立彈性圓軸的剪切形變力學(xué)模型描述橡皮筋的力學(xué)性質(zhì)，給出了系統(tǒng)的扭振周期的表達(dá)式。在實(shí)驗(yàn)中調(diào)整小球質(zhì)量、半徑、橡皮筋長(zhǎng)度、并聯(lián)橡皮筋條數(shù)等參數(shù)，并測(cè)量其扭振周期，對(duì)影響系統(tǒng)周期性的參數(shù)進(jìn)行定量分析，反推出了橡皮筋的剪切模量，從多方面驗(yàn)證了理論的合理性。此外還發(fā)現(xiàn)雙球橡皮筋系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)周期的非等時(shí)性，認(rèn)為非線(xiàn)性系統(tǒng)阻尼和橡皮筋的多階盤(pán)繞是導(dǎo)致周期等時(shí)性破缺的兩個(gè)主要因素，并做了相應(yīng)的半定量分析。本文還對(duì)公轉(zhuǎn)半徑r 隨時(shí)間t 近似呈振蕩衰減的關(guān)系以及系統(tǒng)能量耗散的來(lái)源進(jìn)行了定性分析。

該實(shí)驗(yàn)雖然裝置簡(jiǎn)單，但現(xiàn)象引人入勝，實(shí)際上雙球橡皮筋系統(tǒng)的“鐘擺”振蕩行為中蘊(yùn)含著極為豐富的力學(xué)知識(shí)，對(duì)該問(wèn)題的研究不僅有助于同學(xué)們更深刻地理解理論力學(xué)，尤其是振動(dòng)相關(guān)的知識(shí)，并且該問(wèn)題所蘊(yùn)含的非線(xiàn)性等內(nèi)容更是當(dāng)今控制科學(xué)與自動(dòng)化領(lǐng)域的基礎(chǔ)問(wèn)題，對(duì)該問(wèn)題的研究將增進(jìn)人們對(duì)該領(lǐng)域的理解，也可以極大激發(fā)同學(xué)的學(xué)習(xí)和研究興趣。

1 理論分析

設(shè)兩球?yàn)橘|(zhì)量均勻的球體，質(zhì)量分別為m1，m2，半徑分別為R1、R2，繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為I10、I20，繞地面接觸點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為I1、I2，則有

為反映雙球橡皮筋系統(tǒng)的“鐘擺”振蕩行為的主要特征，作以下簡(jiǎn)化假設(shè)：

（1） 主要關(guān)注小球的自轉(zhuǎn)公轉(zhuǎn)情況，不考慮徑向運(yùn)動(dòng)的情況，忽略橡皮筋長(zhǎng)度這一自由度的變化，令兩小球繞橡皮筋分別轉(zhuǎn)過(guò)的角度θ1、θ2為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)。

（2） 橡皮筋粘性阻尼線(xiàn)性假設(shè)：將橡皮筋在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的本構(gòu)關(guān)系近似為線(xiàn)彈性，記橡皮筋扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)為k，將小球所受橡皮筋的阻力矩近似為正比于小球繞橡皮筋轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的粘性阻尼，記橡皮筋阻力矩的粘性阻尼系數(shù)為c。

（3） 滾動(dòng)阻尼線(xiàn)性假設(shè)：假設(shè)小球受到的除橡皮筋阻力矩以外的滾動(dòng)阻力矩正比于小球繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I10 、I20（也因此正比于繞地面接觸點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I1、I2）和小球繞橡皮筋轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度?θ1、?θ2 的乘積，故記其大小為σI1?θ1、σI2?θ2，其中σ為比例系數(shù)。

基于以上假設(shè)，由相關(guān)理論力學(xué)知識(shí)，下面建立雙球橡皮筋系統(tǒng)“鐘擺”振蕩行為的粘性線(xiàn)性阻尼扭振模型[4-7]。

雙球橡皮筋系統(tǒng)在線(xiàn)性阻尼作用下做二自由度的自由扭振，得到系統(tǒng)的扭振動(dòng)力學(xué)方程為

次要誤差主要為系統(tǒng)誤差，且可以通過(guò)特定的方式縮小影響，主要有以下兩點(diǎn)。

（1） 打滑與彈跳的影響。質(zhì)量和半徑都較大的球轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大，滾動(dòng)摩擦力矩大，啟動(dòng)困難，在經(jīng)歷第一個(gè)振蕩周期后，難以自發(fā)進(jìn)行后續(xù)的振蕩周期，導(dǎo)致周期性參量測(cè)量誤差較大;質(zhì)量小的球 （r<10mm），與平面接觸的正壓力小，最大靜摩擦力小，導(dǎo)致橡皮筋最大扭矩超過(guò)了不打滑的閾值，使得系統(tǒng)在扭振過(guò)程中，出現(xiàn)嚴(yán)重的球打滑或者彈跳現(xiàn)象，造成不必要的能量衰減，帶來(lái)誤差。選擇質(zhì)量適中、密度較大的鋼球在橡膠墊上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)可以有效減少打滑和彈跳，使其對(duì)實(shí)驗(yàn)影響幾乎忽略不計(jì)。

（2） 用502膠水連接橡皮筋與球時(shí)，會(huì)使橡皮筋與小球接觸的一小段硬化，導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)與模型出現(xiàn)偏差，影響較小。

4 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)雙球橡皮筋系統(tǒng)，創(chuàng)新性構(gòu)建了二自由度的線(xiàn)性阻尼自由振動(dòng)模型和彈性剪切形變模型，對(duì)“鐘擺”行為與橡皮筋橫截面積、小球質(zhì)量及半徑的關(guān)系等進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明理論模型與實(shí)驗(yàn)結(jié)果擬合良好，解釋了系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，并對(duì)系統(tǒng)周期的非等時(shí)性進(jìn)行了分析。本實(shí)驗(yàn)材料獲取容易，操作簡(jiǎn)單方便，但是實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象卻直觀有趣，并蘊(yùn)含了豐富的力學(xué)知識(shí)，可用于大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)的研究型項(xiàng)目拓展。

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