B樣條擬插值算子在Orlicz空間中的逼近

閆麗新，韓領(lǐng)兄

（內(nèi)蒙古民族大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古 通遼 028043）

1 預(yù)備知識(shí)

首先介紹Orlicz空間［1］。

定義1［1］設(shè)定義在R=(-∞,+∞)上滿足如下性質(zhì)：

1）M(u)是偶的連續(xù)的凸函數(shù)且M(0)=0；

2）當(dāng)u＞0時(shí)M(u)＞0；

由定義得出存在非減的右連續(xù)函數(shù)p(t)，使得

其中p(0)=0，p(∞)=∞。

定義2［1］N函數(shù)M(u)的余N函數(shù)N(v)定義為：

其中q(s)=為p(t)的右反函數(shù)。

定義3［1］由N函數(shù)M(u)在閉區(qū)間[a,b]上生成的Orlicz空間是指具有有限Orlicz范數(shù)

的可測(cè)函數(shù)全體{u(x)} 。這里ρ(v,N)=是關(guān)于v(x)的模。

Orlicz范數(shù)還可以表示為：

定義4［2］設(shè)，r≥1，t≥0，稱

為K泛函，其中f在(a,b)上局部絕對(duì)連續(xù)}。

定義5［2］設(shè)，r≥1，t≥0，則稱

為f的r階連續(xù)模或r階光滑模，其中

稱為f在x點(diǎn)上步長(zhǎng)h的r階差分。

關(guān)于K泛函及光滑模具有以下等價(jià)性質(zhì)［2］，即存在常數(shù)A1與A2不依賴于f和t，有

文中C表示與x無(wú)關(guān)的常數(shù)，在引理1、引理2及定理1的證明中不同的地方其值也不同。

自20世紀(jì)以來(lái)，函數(shù)逼近論已成為函數(shù)理論中最重要的分支之一。而在Orlicz空間中研究算子逼近是逼近論的一個(gè)重要分支，近年來(lái)已經(jīng)有很多學(xué)者在這方面取得了很好的成果［3-7］。同時(shí)，關(guān)于B樣條相關(guān)算子在不同空間的研究也已經(jīng)有了很好的結(jié)果［8-11］，但是還沒有關(guān)于B樣條擬插值算子在Orlicz空間中的研究成果。下面給出了B樣條及B樣條擬插值算子的定義。

先介紹B樣條定義。

定義6［9］設(shè)a=x0＜x1＜x2＜…＜xN＜xN+1=b為一組節(jié)點(diǎn)，分段函數(shù)S(x)滿足下面條件：

1）每個(gè)區(qū)間[xj,xj+1](j=0,…,N)上，S(x)是一個(gè)次數(shù)小于等于n的實(shí)系數(shù)代數(shù)多項(xiàng)式；

2）S(x)于[a,b]上具有一直到n-1 階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么稱y=S(x)是n次樣條函數(shù)，稱x1,x2,…,xN為樣條節(jié)點(diǎn)。

定義7［9］m階B樣條的定義為：

當(dāng)m≥2 時(shí)

下面介紹B樣條擬插值算子的定義。

定義8［12］設(shè)對(duì)于?k≥2，X=是單調(diào)上升的點(diǎn)列，記

用任意m階B樣條去構(gòu)造擬插值算子(Sh f)(x)，

郭紅焱在文獻(xiàn)［9-11］中構(gòu)造了B樣條擬插值算子并分別研究了其在C空間及Lp空間的逼近階，并在文獻(xiàn)［10］中得出了下列定理。

定理A［10］若對(duì)?m≥2，X=是單調(diào)上升的點(diǎn)列，則當(dāng)h=sup(xj+1-xj)時(shí)，對(duì)[a,b]上任意滿足m次可導(dǎo)且m次導(dǎo)數(shù)連續(xù)的函數(shù)f(x)有

推論［10］若對(duì)任意m≥2，X=是單調(diào)上升點(diǎn)列，則當(dāng)h=sup(xj+1-xj)時(shí)，對(duì)[a,b]上任意的函數(shù)f(x)，若滿足m次可導(dǎo)并且m次導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則有

而近幾年，隨著非線性問(wèn)題的增多，將Lp空間過(guò)渡到Orlicz空間已是必然，筆者在文獻(xiàn)［10］的基礎(chǔ)上研究了B樣條擬插值算子在Orlicz空間上的逼近性質(zhì)，推廣了文獻(xiàn)［10］中的結(jié)果。

2 主要結(jié)果

筆者得出了B樣條擬插值算子在Orlicz空間的逼近正定理。

定理1若對(duì)任意m≥2，X=為單調(diào)上升點(diǎn)列，當(dāng)h=sup(xj+1-xj)時(shí)，對(duì)[a,b]上任意的m次連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)g(x)，有

則對(duì)?f∈L*M[a,b]，有

為了給出定理的證明需要以下幾個(gè)引理。

引理1若對(duì)?m≥2，X=是單調(diào)上升的點(diǎn)列，則當(dāng)h=sup(xj+1-xj)時(shí)，對(duì)，

則‖Sh‖有界。

證因?yàn)?/p>

其中Zj(f)是f(xj)，f(xj+1)，…，f(xj+m)的組合。由文獻(xiàn)［13］可知

再根據(jù)B樣條的正定性和再生性［9］，由定義8可得

引理2若對(duì)任意m≥2，為單調(diào)上升點(diǎn)列，當(dāng)h=sup(xj+1-xj)時(shí)，對(duì)[xj,xj+1]上任意m次連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)g(x)，則有

滿足

證由引理1及g(x)滿足的性質(zhì)，在x0附近有

其中ξ介于x與x0之間。

又記

此時(shí)不妨設(shè)|x-x0|＜h，則有

又由B樣條再生性［10］可知(Sh f)(x)具有m-1次局部多項(xiàng)式再生性質(zhì)，所以有

從而得

定理1的證明由引理2得

從而利用K泛函的定義，得

由式（1）得

3 結(jié)論

將B樣條擬插值算子在Lp空間的逼近推廣到Orlicz空間，對(duì)B樣條擬插值算子在Orlicz空間有界性進(jìn)行了研究，并得出了其在Orlicz空間的逼近正定理。