基于VMD的圓光柵測角誤差補償方法

張 棟,韋寶琛,2,廖忠駿,岳 義,2

1.上海工程技術(shù)大學(xué)機械與汽車工程學(xué)院;2.上海市大型構(gòu)件智能制造機器人技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心

0 引言

圓光柵作為精密測角元件,在航空航天、智能機器人、高檔數(shù)控機床、高精度坐標(biāo)測量儀等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用[1-3],隨著技術(shù)的不斷發(fā)展,對圓光柵編碼器測量精度的要求也越來越高。

為進(jìn)一步提高圓光柵測角精度,國內(nèi)外學(xué)者采用誤差補償方法:多讀數(shù)頭的硬件補償、基于諧波分析的數(shù)值補償和基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的軟件補償[4]。蘇東風(fēng)等[5]通過對光柵刻度誤差的分析,采用均布四讀數(shù)頭布置方式有效提高了圓光柵測角精度;張文穎等[6]詳細(xì)推導(dǎo)了多讀數(shù)頭抑制誤差的原理,提出了一種采用3個奇讀頭和4個偶讀頭相結(jié)合的混合布局方式,相比同數(shù)量6讀數(shù)頭均勻布置的誤差抑制效果更佳,但多讀數(shù)頭的硬件補償方法使測量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜[7],成本提高,且對讀數(shù)頭安裝要求較高;李尕麗等[8]針對安裝偏心和傾斜產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差,進(jìn)行諧波補償,有效消除了穩(wěn)定可復(fù)現(xiàn)的誤差諧波成分,但沒有較好地將圓光柵測量系統(tǒng)中的系統(tǒng)誤差分離,直接一次性對部分誤差進(jìn)行補償;洪喜等[9]提出了一種基于徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的編碼器誤差修正技術(shù),實驗表明可將標(biāo)準(zhǔn)差從0.82″降至0.24″,很好解決了非線性誤差對系統(tǒng)的影響;劉鳳偉等[10]針對光電編碼器安裝、環(huán)境等因素提出了一種基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的誤差補償方法,實驗結(jié)果表明該方法補償精度高,收斂速度快,顯著提高了旋轉(zhuǎn)角度精度。雖然基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的軟件補償不需要建立誤差補償模型,但其補償精度依賴數(shù)據(jù)樣本,隨機誤差對補償效果的影響較大。真實的圓光柵測角誤差是系統(tǒng)誤差與隨機誤差相耦合的[11],圓光柵測角系統(tǒng)的系統(tǒng)誤差具有周期性,表現(xiàn)出高幅值低頻率特性,然而隨機誤差表現(xiàn)出沒有規(guī)律性、不可預(yù)見性和高頻率特性,隨機誤差由于其隨機性,幾乎無法補償[12]。在誤差補償中,隨機誤差會影響其補償模型的精確度,因此,有必要將數(shù)據(jù)中的系統(tǒng)誤差對圓光柵測角誤差進(jìn)行分解和溯源,找到誤差的成分,并補償其系統(tǒng)誤差,同時避免過擬合,提高圓光柵測角精度。

為了從圓光柵測角誤差中重建系統(tǒng)誤差,信號分解是一種有效的解決方法。經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(EMD)基于Hilbert-Huang變換將信號自適應(yīng)分解為一系列的模態(tài)分量,但EMD具有端點效應(yīng)和模態(tài)混雜,變分模態(tài)分解(VMD)基于三維變分約束理論,利用非遞歸特性估計多個模態(tài)分量。F Hu等[13]針對不同溫度下,提出了一種經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解和互相關(guān)的誤差補償方法,分解不同溫度下的誤差曲線,利用互相關(guān)計算其相關(guān)性進(jìn)行誤差分離;N.Cai等[14]提出了一種基于經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解的誤差補償方法,將編碼器測量誤差分解成若干分量和殘差,利用邊際譜提取測量誤差的趨勢。VMD克服了EMD模態(tài)混疊和計算量大的缺點,噪聲魯棒性好,具有良好的去噪效果,被廣泛應(yīng)用于非穩(wěn)態(tài)信號分解;Z.Ning等[15]提出了一種基于VMD的誤差補償方法,將光電編碼器的誤差信號分解成若干模態(tài)分量,采用一種從粗選到精選的方法選擇合適的模態(tài)分量,完成信號重構(gòu),但沒有對誤差進(jìn)行溯源補償。

針對圓光柵誤差溯源與補償,本文基于變分模態(tài)分解,提出了一種圓光柵測角誤差重構(gòu)和補償?shù)姆椒?將原始誤差數(shù)據(jù)分解成若干模態(tài)分量,計算其相關(guān)因子Ψk,篩選出系統(tǒng)誤差成分,再對各模態(tài)分量溯源分析得到系統(tǒng)誤差的諧波階次,最后得到誤差補償模型,對圓光柵測角誤差進(jìn)行補償。實驗結(jié)果表明:主要成分的諧波階次識別與常用的諧波補償方法一致,且加入隨機誤差后,也能準(zhǔn)確識別誤差主要成分,該方法降低了隨機誤差對補償模型精確度的影響。

1 誤差分析

如圖1所示,圓光柵測角系統(tǒng)硬件由光柵環(huán)和讀數(shù)頭組成。圓光柵測量誤差由系統(tǒng)誤差和隨機誤差組成,測量誤差Δθ可定義為

圖1 圓光柵編碼器結(jié)構(gòu)

(1)

周期性系統(tǒng)誤差除了光柵本身制造誤差,來自于圓光柵安裝偏心產(chǎn)生的一階諧波誤差,通常使用多讀數(shù)頭消除,還包括傾斜所產(chǎn)生的二階諧波誤差,錐面安裝也會產(chǎn)生多階諧波誤差。式(1)中es可表示為

(2)

軸系晃動等會產(chǎn)生隨機誤差,在保證安裝精度和采用多讀數(shù)頭測量模式消除部分誤差的條件下,隨機誤差和系統(tǒng)誤差的幅值接近,在系統(tǒng)誤差得到準(zhǔn)確修正后,隨機誤差的幅值有可能超過系統(tǒng)誤差的幅值[16]。

其中隨機誤差的存在會影響系統(tǒng)誤差諧波階次和幅值大小的識別,為更好地補償系統(tǒng)誤差,需要將系統(tǒng)誤差從誤差數(shù)據(jù)中分離出來,以重構(gòu)系統(tǒng)誤差。

2 圓光柵測角誤差分解與重構(gòu)

2.1 變分模態(tài)分解(VMD)

VMD將原始誤差標(biāo)定數(shù)據(jù)X(θ)分解為k個有限帶寬的模態(tài)函數(shù)(intrinsic mode functions,IMFS),表示為

uk(θ)=Ak(θ)cos(ωk(θ))

(3)

式中:uk(θ)為第k個本征模態(tài)函數(shù);Ak(θ)為uk(θ)的瞬時幅值;ωk(θ)為uk(θ)的瞬時頻率。

模態(tài)函數(shù)在中心頻率ωk處集中,可用高斯平滑偏移信號估算帶寬,由于VMD分解的稀疏性,分解時可將其轉(zhuǎn)換成如下問題:

(4)

(5)

式中:δ(θ)為狄拉克函數(shù);*為卷積函數(shù)運算符;j為虛數(shù)單位。

通過引入增廣拉格朗日乘子λ和二次懲罰因子α,將約束變分問題轉(zhuǎn)化為無約束變分問題,得到增廣拉格朗日表達(dá)式:

(6)

利用交叉方向乘子法計算靶點即原問題最優(yōu)解,求解uk、ωk和λ:

更新uk:

(7)

更新ωk:

(8)

更新λ:

(9)

主要迭代求解步驟為:

1)初始化uk、ωk和λ,n=0;

2)確定迭代次數(shù)n=n+1;

3)利用式(7)、式(8)、式(9)更新uk、ωk和λ;

2.2 誤差重構(gòu)

(10)

式中K為IMF的個數(shù);L為測量誤差數(shù)據(jù)點的個數(shù)。

與隨機誤差成分相比,系統(tǒng)誤差成分具有典型的低復(fù)雜度、高振幅特征。為定量表征各模態(tài)分量IMF所含噪聲,定義相關(guān)因子Ψk:

(11)

相關(guān)因子數(shù)值大小可以表示變分模態(tài)分解后的模態(tài)分量含噪聲影響程度,該值越大,表明含系統(tǒng)誤差占比越高,噪聲影響程度低。

首先將誤差數(shù)據(jù)經(jīng)過變分模態(tài)分解,得到若干個模態(tài)分量,計算模態(tài)分量的相關(guān)因子,剔除含噪聲較大的模態(tài)分量,重構(gòu)系統(tǒng)誤差。

3 圓光柵誤差補償

由上述誤差分析可知,圓光柵系統(tǒng)誤差補償模型F(θ)可表示為

(12)

圓光柵誤差補償方法:首先,對36面棱體標(biāo)定的誤差數(shù)據(jù)進(jìn)行變分模態(tài)分解,得到若干個模態(tài)分量,計算各分量的中心頻率,并依次按照從低到高的中心頻率值進(jìn)行排列;其次,基于圓光柵測角誤差周期特性,定義一個表征含噪聲程度的相關(guān)因子Ψ,通過其數(shù)值來篩選符合條件的模態(tài)分量,將符合條件的模態(tài)分量進(jìn)行重構(gòu);通過對分解后的各模態(tài)分量溯源,找到原誤差數(shù)據(jù)中的諧波階次,確定補償模型中參數(shù)i,最后通過仿真軟件MATLAB線性回歸獲得補償模型中的其他參數(shù),建立誤差補償模型實現(xiàn)誤差補償。通過對比實驗詳細(xì)驗證了溯源的可靠性。為驗證該方法的抗干擾能力,通過加入高斯噪聲的方式,對比補償效果。誤差補償大致流程如圖2所示。

圖2 誤差補償流程圖

3.1 實驗數(shù)據(jù)獲取

針對激光干涉儀測量系統(tǒng)中的圓光柵測量系統(tǒng),李萬紅[17]采用自準(zhǔn)直儀結(jié)合36和23面多棱體對雙讀數(shù)頭圓光柵測角系統(tǒng)進(jìn)行標(biāo)定實驗,采用36面多棱體標(biāo)定的誤差數(shù)據(jù)平均值建立誤差補償模型,采用23多面棱體標(biāo)定的誤差數(shù)據(jù)平均值進(jìn)行補償效果驗證。2組標(biāo)定數(shù)據(jù)如圖3所示。

圖3 文獻(xiàn)[17]標(biāo)定誤差數(shù)據(jù)

3.2 誤差補償實驗

36面棱體標(biāo)定的誤差數(shù)據(jù)通過上述基于VMD的誤差重構(gòu)方法,將原誤差數(shù)據(jù)分解成5個模態(tài)分量IMF1～I(xiàn)MF5,設(shè)置相關(guān)因子閾值ψ=0.6,按照中心頻率從小到大排列,如圖4所示。

圖4 原信號及VMD分解后各模態(tài)分量

為判斷各模態(tài)分量含噪多少,利用式(11)計算5個模態(tài)分量的相關(guān)因子ψ1～ψ5如表1所示。

表1 模態(tài)分量相關(guān)因子

其中:

v1(θ)=-0.27+0.1θ+0.2sin(θ+1.78)
v2(θ)=-0.24sin(θ-0.63)-0.66sin(2θ-0.18)
v3(θ)=-0.12sin(6θ-0.05)
v4(θ)=-0.12sin(12θ+1.31)
v5(θ)=0.08sin(16θ+0.16)

由各變分模態(tài)分量的相關(guān)因子值溯源分析可知:IMF1中包含一階諧波周期函數(shù)和一次線性誤差,IMF2中包含一階、二階諧波周期誤差,IMF3中包含六階諧波周期函數(shù),但是受一定噪聲影響,IMF4包含十二階諧波周期誤差,IMF5含噪聲成分較多覆蓋周期性特征,且0.08的幅值較小。結(jié)合VMD分解后各模態(tài)分量的相關(guān)因子值和幅值,將F1～F4重構(gòu)作為系統(tǒng)誤差。為了更好補償360°圓周任意角度的角度測量值,誤差數(shù)據(jù)通過仿真軟件MATLAB中的曲線擬合,可以獲得誤差補償模型:

F(θ)=-0.284-0.042θ+0.377sin(θ+1.444)-

0.857sin(2θ-0.095)+0.111sin(6θ-

0.293)-0.128sin(12θ+1.294)

(13)

23面多棱體標(biāo)定誤差的平均值為-0.31″、峰峰值為2.33″、標(biāo)準(zhǔn)差為0.68″?；诒疚姆椒ǖ难a償結(jié)果表明,平均值、峰峰值和標(biāo)準(zhǔn)差的補償(補償百分比)分別降至-0.029″(90.73%)、1.14″(51.07%)、0.29″(57.35%),如圖5所示。其補償效果和補償后誤差趨勢與基于諧波方法補償效果高度相似,表明該方法的準(zhǔn)確可靠性。

圖5 本文方法與諧波補償效果圖

同時,為進(jìn)一步驗證基于VMD分解對于諧波階次識別的準(zhǔn)確性,在實驗中通過增加、減少和代替某諧波階次進(jìn)行對比。比較補償后誤差的平均值、峰峰值、標(biāo)準(zhǔn)差,具體補償效果如表2所示。

表2 補償效果比較 %

由表2數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn),通過增減或替換某階次諧波都使峰峰值和標(biāo)準(zhǔn)差的補償效果有所下降,平均值的補償量變化較小。也進(jìn)一步證明基于VMD溯源分析得到的誤差的主要成分是準(zhǔn)確的。

由上述誤差分析可知,隨機誤差不可忽略,為驗證該方法的抗干擾性能,本文通過在誤差數(shù)據(jù)中加入符合高斯分布的隨機誤差,再分別研究該方法識別誤差主要成分的可靠性和補償效果。

圖6 加入隨機誤差后分解的各模態(tài)分量

(14)

式中i=1,2,3,4。

如表3所示,該數(shù)值表明在加入標(biāo)準(zhǔn)差為0.1的隨機誤差時,其各模態(tài)分量與原誤差信號分解的模態(tài)分量相關(guān)系數(shù)高達(dá)96%之上。原誤差信號分解的IMF3和IMF4的幅值在0.15左右,當(dāng)加入方差為0.15和0.2的隨機誤差時,會導(dǎo)致其模態(tài)分量中混雜隨機噪聲,但相關(guān)系數(shù)均在77%以上,如圖6所示,且周期性特征明顯,也能正確識別諧波階次。

表3 加入隨機誤差后分解的各IMF相關(guān)系數(shù) %

在理想情況下,識別的諧波階次與不加隨機誤差一致,假設(shè)基于諧波補償方法能正確識別誤差數(shù)據(jù)的諧波階次,2種方法的補償效果如圖7所示,為更直觀比較2種方法補償效果,計算2種方法補償后的平均值、峰峰值和標(biāo)準(zhǔn)差,如表4所示。

表4 補償效果比較 (″)

圖7 加入隨機誤差后誤差補償效果圖

諧波補償方法只對誤差數(shù)據(jù)進(jìn)行非線性諧波擬合,在加入隨機誤差后,諧波補償方法可能無法識別低幅值的諧波階次,但基于變分模態(tài)分解可以將含噪的誤差數(shù)據(jù)分解成若干有限帶寬的模態(tài)分量,將含噪程度較大的分量剔除,再根據(jù)溯源分析可獲得主要諧波成分。實驗結(jié)果表明,采用該方法補償效果比基于諧波分析方法的補償效果更佳。

4 結(jié)束語

本文采用VMD將圓光柵誤差數(shù)據(jù)自適應(yīng)分解,結(jié)合表征含噪程度的相關(guān)因子Ψ來重構(gòu)系統(tǒng)誤差,能夠?qū)?shù)據(jù)中穩(wěn)定的諧波誤差部分分離出去。相比諧波補償方法,基于VMD的誤差重構(gòu)補償方法不需要多組樣本進(jìn)行反復(fù)實驗,只需要通過一組誤差值就能較為準(zhǔn)確得到誤差主要成分,而諧波補償算法則需要通過多組數(shù)據(jù)建模,分析發(fā)現(xiàn)高幅值的系統(tǒng)誤差,這要求每組誤差數(shù)據(jù)都準(zhǔn)確可靠,諧波分析補償方法要求誤差數(shù)據(jù)是平穩(wěn)信號,但在實際測量數(shù)據(jù)中很難得到保證,本文方法可以處理非平穩(wěn)信號,可以引入實時補償方案中,實現(xiàn)對誤差數(shù)據(jù)的重構(gòu),適用性更廣。