基于全階模型的直驅(qū)風(fēng)電機組多時間尺度等效慣量機理建模

姜繼恒，魯宗相，喬 穎，李佳明，程 艷，關(guān)逸飛，汪 挺

（1.電力系統(tǒng)及發(fā)電設(shè)備控制和仿真國家重點實驗室（清華大學(xué)），北京市 100084；2.國網(wǎng)山東省電力公司電力科學(xué)研究院，山東省濟南市 250003；3.國網(wǎng)山東省電力公司，山東省濟南市 250000）

0 引言

風(fēng)、光電源等基于逆變器的資源（inverter-based resource,IBR）大規(guī)模并網(wǎng)，極大改變了系統(tǒng)慣量、頻率特性，出現(xiàn)了新型逆變器驅(qū)動的系統(tǒng)穩(wěn)定問題［1］。另外，新能源電源對火電機組的替代效應(yīng)使得系統(tǒng)調(diào)節(jié)資源減少，亟需新能源機組提供暫態(tài)支撐能力。中國最新風(fēng)電并網(wǎng)標(biāo)準中明確要求，以永磁直驅(qū)風(fēng)電機組為代表的新能源電源應(yīng)具備慣量響應(yīng)和調(diào)頻功能［2］。因此，模擬慣量資源將與同步發(fā)電機、同步調(diào)相機、異步電機等旋轉(zhuǎn)慣量資源共同為系統(tǒng)提供“廣義慣量”支撐［3］。構(gòu)建新能源等效慣量模型成為開展其支撐特性定量分析與優(yōu)化控制工作的關(guān)鍵基礎(chǔ)。風(fēng)電機組的等效慣量是其在系統(tǒng)頻率變化趨勢激勵下對沖有功不平衡能力的量度，由設(shè)備氣動、機械、電氣、測控等多環(huán)節(jié)控制策略共同作用，且不同時間尺度下的動態(tài)特性迥異，如何綜合全環(huán)節(jié)進行等效慣量建模并按不同時間尺度標(biāo)準實現(xiàn)模型簡化，是極具挑戰(zhàn)的難題。

目前，新能源電源等效慣量建模已開展大量研究。研究聚焦于機械環(huán)節(jié)、有功指令環(huán)等慢時間尺度環(huán)節(jié)，構(gòu)建了低階頻率響應(yīng)、慣量模型［4-5］，可用于風(fēng)電極限功率求解［6］、機組有功環(huán)策略設(shè)計［7］和系統(tǒng)秒級以上的頻率分析［8］。納入電氣、控制環(huán)節(jié)模型［9-11］后，變流器等效內(nèi)電勢矢量建模也被用于雙饋 風(fēng) 電 機 組 在 有 功 外 環(huán)［12］、直 流 電 壓［13］、交 流 電流［14］等時間尺度上的等效慣量分析。但這些研究未計入鎖相環(huán)（phase lock loop，PLL）的影響，也未考慮附加頻率控制、機械動態(tài)等環(huán)節(jié)的影響，對慣量特性分析不完整。文獻［15］結(jié)合內(nèi)電勢運動方程和附加功率控制環(huán)建立了雙饋風(fēng)電機組的低階頻率響應(yīng)函數(shù)，但仍然忽略了PLL、電壓控制環(huán)、槳距角動態(tài)，模型精度有待提高。當(dāng)進行PLL 主導(dǎo)的同步穩(wěn)定分析時，可在忽略機械等環(huán)節(jié)動態(tài)的條件下得到變流器的慣量表征［16］，但仍然是針對特定場景的簡化等效模型?？梢钥闯?，已有研究均無法給出考慮全環(huán)節(jié)的統(tǒng)一建模方法，在未嚴格論證環(huán)節(jié)、變量選擇合理性的前提下直接構(gòu)建簡化模型，缺乏理論基礎(chǔ)和精度保障。

IBR 多時間尺度特性建模也是研究熱點，主流的思路是基于奇異攝動理論進行風(fēng)電、儲能模型降階［17］，并將模型用于仿真計算［18］、控制優(yōu)化［19］和穩(wěn)定性分析［20］。但新能源電源等效慣量的多時間尺度建模是個新問題，相關(guān)工作開展甚少。上述新能源電源慣量建模研究［10-16］大多涉及降階簡化，但降階過程中均未給出嚴謹?shù)臅r間尺度選擇和變量簡化判據(jù)，導(dǎo)致結(jié)果誤差較大。

此外，也有研究基于實測數(shù)據(jù)辨識進行等效慣量評估［21］。該方法可在參數(shù)未知時求解風(fēng)電慣量，較機理分析方法更適合在線快速計算，但數(shù)據(jù)辨識法面臨電網(wǎng)擾動事件難以獲取、二階模型強假設(shè)的適用性差、低信噪比條件下計算誤差大［3］等問題。而慣量機理分析方法的結(jié)果可解釋性強，可從理論上揭示新能源慣量的動力學(xué)機理，且能夠為數(shù)據(jù)辨識方法提供模型結(jié)構(gòu)等必要信息。本文所提基于降階的慣量建模方法可在機組特性研究階段應(yīng)用于務(wù)類擾動工況分析。

本文構(gòu)建了面向電網(wǎng)頻率分析的新能源等效慣量機理模型。首先，以直驅(qū)風(fēng)電機組為對象，對機械、電氣、測量、控制多環(huán)節(jié)動態(tài)完整建模，以機端頻率-輸出電磁功率為輸入-輸出量，構(gòu)建開環(huán)全階慣量機理模型。然后，通過模態(tài)分析將慣量作用路徑中的狀態(tài)量分為慢、混合動態(tài)、較快、快和超快5 個時間尺度，基于奇異攝動法推導(dǎo)不同時間尺度下的等效慣量降階形式，并應(yīng)用瓦西里耶娃定理推導(dǎo)了誤差與模型時間尺度之間的關(guān)系。最后，基于電磁暫態(tài)（electromagnetic transient，EMT）仿真算例驗證了全階機理模型的有效性及不同降階模型的精度水平。

1 直驅(qū)風(fēng)電機組等效慣量特性分析

1.1 等效慣量的概念及數(shù)學(xué)表征

慣量常用于描述系統(tǒng)有功功率-頻率動態(tài)特性，表征系統(tǒng)在有功功率不平衡時維持頻率不變/抵抗頻率變化的能力。不同慣量資源的特性和模型不同。同步機的慣量響應(yīng)功率等于轉(zhuǎn)子動能釋放功率，若忽略調(diào)速器和汽輪機的滯后效應(yīng)，其頻率響應(yīng)模型可表示如下：

式中：“Δ”表示變量的增量；fCOI為系統(tǒng)頻率；P(t)為系統(tǒng)有功功率；Hsg為系統(tǒng)等效慣量時間常數(shù)；PL為系統(tǒng)負荷；Ksg為調(diào)速器下垂系數(shù)；Dsg為同步機阻尼系數(shù)；DL為負荷阻尼系數(shù)；fCOI，0為頻率初始值。

對于依賴PLL 同步的跟網(wǎng)型直驅(qū)風(fēng)電機組，其等效慣量可描述為單位頻率變化率對應(yīng)的慣量響應(yīng)功率。線性化條件下，可用慣量響應(yīng)功率與機端頻率的頻域關(guān)系表征，如式（2）所示。

式中：PH(s)為慣量響應(yīng)功率；f(s)為系統(tǒng)頻率；s為拉普拉斯算子；Meq(s)為慣量的頻域表征式，簡稱等效慣量模型，即本文的建模結(jié)果。

式（2）反映了慣量響應(yīng)功率與機端頻率的動力學(xué)關(guān)系，由附加有功控制等環(huán)節(jié)決定。風(fēng)電進行慣量響應(yīng)的能量來源包括轉(zhuǎn)動部件動能、降載備用能量和直流電容能量等形式。其中，主軸動能是慣量響應(yīng)能量的主體，降載備用能量由慣量響應(yīng)階段的快速變槳提供。本文建模過程包括快速變槳控制，直流電容能量一般可在工程計算中予以忽略。綜上可知，風(fēng)電等效慣量與同步機轉(zhuǎn)動慣量的主要差異為：同步機的慣量可以直接表征額定狀態(tài)下的轉(zhuǎn)動動能，而風(fēng)電的等效慣量僅表征動力學(xué)關(guān)系，無法反映機組的存儲能量水平，風(fēng)電的慣量響應(yīng)功率與主軸等儲能元件的能量變化率并不嚴格相等?？紤]到系統(tǒng)頻率動態(tài)與風(fēng)電慣量響應(yīng)功率的動態(tài)強相關(guān)，本文從動力學(xué)關(guān)系角度構(gòu)建風(fēng)電等效慣量模型。

為了簡化分析，本文定義風(fēng)電機組的頻率響應(yīng)總功率由慣量響應(yīng)功率與恒定參數(shù)下垂環(huán)節(jié)支撐功率兩部分組成。下垂環(huán)節(jié)不引入新的階次，也可理解為風(fēng)電機組對頻率的阻尼作用。在風(fēng)速恒定的假設(shè)下，ΔPH如式（3）所示。

式中：Pfr為風(fēng)電機組頻率響應(yīng)功率；Keq為風(fēng)電機組下垂系數(shù)，該值可在采用頻率階躍信號的機組快頻響應(yīng)測試中，通過計算機端有功增量穩(wěn)定值和頻差的比值獲得。

式（2）中的Meq(s)描述了頻率-有功功率因果系統(tǒng)的頻域等效慣量。由卷積定理和沖激函數(shù)的性質(zhì)可知，在零狀態(tài)下，當(dāng)機端頻率為單位階躍函數(shù)時，設(shè)備在務(wù)時刻的等效慣量水平的數(shù)值等于該時刻慣量響應(yīng)功率的數(shù)值?；谠撎匦钥蛇M行風(fēng)電機組等效慣量水平的工程化測量。在風(fēng)電機組/場的快速頻率響應(yīng)性能測試中，當(dāng)機端注入模擬的階躍頻率信號時，采集機端增發(fā)有功功率，按照式（3）計算機端慣量響應(yīng)功率，完成等效慣量測量。

此外，構(gòu)網(wǎng)型風(fēng)電機組的等效慣量與同步機的有功功率-頻率因果系統(tǒng)類似，對其進行慣量機理分析時也可按照本文的相關(guān)環(huán)節(jié)分析、物理建模、簡化降階、誤差分析等步驟進行。

1.2 風(fēng)電機組等效慣量的相關(guān)環(huán)節(jié)分析

當(dāng)同步機的原動機、發(fā)電機軸系采用單體模型時，同步機慣性矩僅由軸系質(zhì)量和分布決定，其慣量是時不變定常參數(shù)。因此，慣量環(huán)節(jié)對轉(zhuǎn)子電氣角速度的動態(tài)具有機電時間尺度的單一模態(tài)影響，系統(tǒng)頻率動態(tài)的時間常數(shù)T如式（4）所示。

風(fēng)電機組的等效慣量Meq(s)包含了控制、機械、電氣等多時間尺度環(huán)節(jié)的特性，在“機端頻率信號-機端功率”的傳遞路徑中，PLL、頻率濾波、變流器控制、永磁同步電機、風(fēng)輪槳葉等部分的動態(tài)特性均對其產(chǎn)生影響，如圖1 所示。

圖1 風(fēng)電機組頻率-有功功率回路結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of frequency-active power loop structure for wind turbines

當(dāng)系統(tǒng)出現(xiàn)階躍型有功功率不平衡量時，務(wù)節(jié)點的頻率過程包含多個模態(tài)的分量［22］，系統(tǒng)頻率安全分析主要考慮其主模態(tài)分量（或慣性中心頻率）的變化過程，傳統(tǒng)的系統(tǒng)頻率響應(yīng)模型依然有效。頻率主模態(tài)分量的時間尺度可用式（4）來近似衡量，式中的慣量、調(diào)頻、阻尼系數(shù)為按照容量的加權(quán)值。下文分析中將證明風(fēng)電機組大部分環(huán)節(jié)與主模態(tài)頻率分量的時間尺度差異較大，可以通過降階的方式進行模型簡化。

2 直驅(qū)風(fēng)電機組頻率響應(yīng)全階建模

本文選擇主流直驅(qū)風(fēng)電機組進行全階建模，推導(dǎo)風(fēng)電參與系統(tǒng)頻率響應(yīng)的動態(tài)模型，其基本結(jié)構(gòu)、控制方式以及模型物理量正方向如圖2 所示，相關(guān)控制方式、結(jié)構(gòu)類型見附錄A 表A1。

圖2 直驅(qū)風(fēng)電機組結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Schematic diagram of structure of direct-drive wind turbines

圖2 中網(wǎng)側(cè)變流器的內(nèi)環(huán)、外環(huán)控制部分的變量說明見附錄B。對風(fēng)電機組務(wù)環(huán)節(jié)構(gòu)建局部線性化模型，基于環(huán)節(jié)間的連接關(guān)系給出整機全階模型，得到描述網(wǎng)側(cè)頻率-輸出有功功率的傳遞函數(shù)。如無特殊說明，本文的電氣量均在機組網(wǎng)側(cè)鎖相的dq軸坐標(biāo)系和標(biāo)幺值系統(tǒng)下表示，下標(biāo)“0”表示變量的初值，模型中的動態(tài)方程均以頻域形式表示。

由于是機理性建模，本文方法可適用于基于鎖相同步的務(wù)類直驅(qū)、半直驅(qū)和雙饋風(fēng)電機組，應(yīng)用時只需在物理建模時選擇并網(wǎng)點頻率-有功功率回路的環(huán)節(jié)，對不同環(huán)節(jié)修正動態(tài)模型即可，模型簡化可直接使用本文方法。

2.1 PLL 動態(tài)模型

忽略機端電壓幅值變化，PLL 的局部線性化模型如式（5）所示，具體推導(dǎo)過程見附錄B。

式中：xpll為PLL 中間積分量；fV為并網(wǎng)點頻率，是本文全階建模的輸入量；fpll為鎖相頻率，與鎖相坐標(biāo)系的電氣角速度數(shù)值相等；kpp和kip分別為PLL 的比例、積分系數(shù)；Vt為機端電壓幅值。

暫態(tài)過程中，風(fēng)電機組并網(wǎng)點瞬時頻率與同步機內(nèi)電勢頻率、風(fēng)電PLL 鎖相頻率均不相等，本文參考文獻［23］的方法，利用式（6）計算風(fēng)電并網(wǎng)點瞬時頻率fV。

式中：vtd、vtq分別為機端電壓在鎖相坐標(biāo)下的d、q軸分量；ωpll為鎖相坐標(biāo)系的電氣角速度；ωgN為系統(tǒng)額定電氣角速度有名值。

2.2 機械環(huán)節(jié)動態(tài)模型

機械環(huán)節(jié)主要由風(fēng)輪葉片與發(fā)電機組成的軸系構(gòu)成，單質(zhì)量塊模型下的軸系動態(tài)、槳距角控制動態(tài)、氣動功率模型分別如式（7）—式（9）所示，限于篇幅，此處直接給出小信號模型。

式中：ωw為主軸轉(zhuǎn)速；Hw為軸系慣量時間常數(shù)；Pwm為風(fēng)輪捕獲功率；Pmeg為永磁同步電機的電磁功率；KwD為軸系阻尼系數(shù)；xbeta1為槳距角控制的積分狀態(tài)量；β為槳距角；ki1、kp1、kp2為槳距角控制系數(shù)；Po為整機輸出有功功率；Poref為整機參考有功功率，無降載時Poref=1；ωwref為轉(zhuǎn)速參考值；ρ為空氣密度；R為風(fēng)輪葉片半徑；Pbase為機組額定功率有名值；ωwN為額定機械轉(zhuǎn)速有名值；vw為平均風(fēng)速；CP為氣動功率系數(shù)，具體形式見文獻［7］；ωSIw為主軸轉(zhuǎn)速的有名值。

2.3 功率控制環(huán)動態(tài)模型

功率控制環(huán)根據(jù)軸系轉(zhuǎn)速、機端測量頻率形成有功功率參考值，傳遞至機側(cè)變流器電流內(nèi)環(huán)，最大功率跟蹤值、頻率響應(yīng)功率增量、總有功功率參考值和機側(cè)q軸電流參考值的小信號模型如式（10）—式（13）所示。

式中：ωmax和ωmin分別為ωw的最大、最小值；Pmppt為最大功率跟蹤功率；xfr為頻率濾波值；kopt為變轉(zhuǎn)速運行區(qū)間的最大功率跟蹤系數(shù)；Tfr為頻率濾波系數(shù)；kdr為下垂控制系數(shù)；kh為虛擬慣量系數(shù)；Pmeref為機側(cè)變流器參考功率；imqref為機側(cè)q軸電流參考值；ψ為永磁體磁鏈。

Tfr包含了頻率測量濾波效果和Δfpll到功率增量的濾波效應(yīng)，后者是為了避免機組過快釋放旋轉(zhuǎn)動能帶來的載荷急劇變化。

2.4 電氣量及控制環(huán)節(jié)模型

本文的永磁同步電機、直流電容、機側(cè)變流器控制、網(wǎng)側(cè)變流器控制、網(wǎng)側(cè)交流電路模型為常見形式，詳見附錄B。

2.5 系統(tǒng)全階模型

聯(lián)立2.1 節(jié)至2.4 節(jié)模型，假設(shè)機組的有功功率參考值和轉(zhuǎn)速參考值不變，省略ΔPoref和Δωwref項，得到直驅(qū)風(fēng)電機組的全階模型，如式（14）所示。

該模型包括含有16個狀態(tài)變量的ΔX、含有17個中間代數(shù)量的ΔZ、含有4 個輸入量的ΔU和1 個輸出量ΔY，可分別表示為：

式中：imd和imq分別為轉(zhuǎn)子電流的d、q軸分量；Udc為電容電壓；xm1、xm2為機側(cè)變流器控制積分量；xig1、xig2為網(wǎng)側(cè)變流器電壓外環(huán)控制積分量；xegd和xegq分別為網(wǎng)側(cè)變流器電流內(nèi)環(huán)控制積分的d、q軸分量；igd和igq分別為網(wǎng)側(cè)交流電流的d、q軸分量；Pge和Pme分別為網(wǎng)側(cè)、機側(cè)變流器與電容間的功率；umd和umq分別為永磁同步電機機端電壓的d、q軸分量；igdref和igqref分別為網(wǎng)側(cè)變流器d、q軸電流參考值；egd和egq分別為網(wǎng)側(cè)變流器交流側(cè)端口電壓的d、q軸分量。

對式（14）利用舒爾補消去中間代數(shù)變量，得到全階狀態(tài)空間模型，如式（16）所示?？梢宰C明，式（14）中的AZZ為非奇異矩陣，分析過程見附錄C。

式中：AXX、AXZ、AZZ、AZX、BXU、AZU、Ass、Bss、CYX、CYZ、DYU、BZU、Css、Dss為系數(shù)矩陣，具體形式見附錄D。

基于狀態(tài)空間模型向傳遞函數(shù)的轉(zhuǎn)換方法，可以得到零狀態(tài)和機端開環(huán)條件下的機組有功功率增量與輸入量之間的關(guān)系。輸入量包括機端電壓在網(wǎng)側(cè)PLL 坐標(biāo)下的d、q軸分量，其小信號量包含外網(wǎng)電壓幅值動態(tài)和PLL 動態(tài)，并不屬于嚴格的外部動態(tài)，但本文主要關(guān)注頻率動態(tài)過程，ΔPo至Δvtd和ΔPo至Δvtq的傳遞路徑并非本文研究重點，暫不進行過多推導(dǎo)。

3 基于奇異攝動的多時間尺度慣量降階模型

3.1 模型降階等效性論證

本文應(yīng)用奇異攝動方法進行風(fēng)電機組頻率響應(yīng)的多時間尺度降階建模。首先，將系統(tǒng)變量分為快動態(tài)變量Xf和慢動態(tài)變量Xs兩組，從而建立系統(tǒng)原型方程，如式（17）所示。

式中：F(·)為快動態(tài)變量的狀態(tài)方程；f(·)為慢動態(tài)變量的狀態(tài)方程；ε為攝動參數(shù)，滿足0 ≤ε?1。

式（16）中的輸入量ΔU可轉(zhuǎn)化為時間t的函數(shù)，因此，式（16）關(guān)于ΔX的全階模型形式與原系統(tǒng)式（17）一致。

吉洪諾夫極限定理給出了式（17）存在極限解且與退化微分-代數(shù)方程組等效的條件［24］，全階模型式（16）只需判斷其是否滿足穩(wěn)定性條件即可，條件的完整形式及分析過程見附錄C。

降階判據(jù)（穩(wěn)定性條件）：函數(shù)F關(guān)于快動態(tài)變量在軌跡任一點的雅可比矩陣的所有特征值λi滿足Reλi(t)＜0。

若 滿 足 以 上 條 件，式（17）中ε→0 的 極 限 解Xf(t，ε)和Xs(t，ε)等于如（18）所示的降階系統(tǒng)（或稱退化系統(tǒng)）的解(t)和(t)。

當(dāng)上述條件滿足時，原系統(tǒng)平衡點處的小干擾穩(wěn)定性與降階系統(tǒng)變量穩(wěn)定性一致［25-26］。

降階系統(tǒng)中，由代數(shù)方程0=F(Xf，Xs，t)決定的集合稱為原系統(tǒng)（關(guān)于快動態(tài)）的約束流形。當(dāng)攝動參數(shù)接近0 時，原系統(tǒng)的動態(tài)過程可以用約化到約束流形上的降階系統(tǒng)進行近似。

3.2 時域誤差分析

吉洪諾夫定理給出了原系統(tǒng)是否可以降階的判據(jù)。本文基于瓦西里耶娃定理［27］，利用范數(shù)三角不等式和H?lder 不等式離散形式，推導(dǎo)了降階系統(tǒng)式（18）計算結(jié)果的誤差形式，如式（19）所示，推導(dǎo)過程詳見附錄C。

式中：PO(t，ε)、(t)分別為全階模型和降階模型下求解的有功功率；Cross為輸出-狀態(tài)量矩陣中刪除慢動態(tài)變量元素的降階矩陣；‖C‖為取其最大絕對值元素的數(shù)值；(t)為慢動態(tài)變量邊界層函數(shù)的首項；c和δ為誤差項表達式中的系數(shù)；τ0(δ)為時間常數(shù)。

盡管瓦西里耶娃并未給出常數(shù)c和δ的具體數(shù)值，但由式（19）可以看出，(t)的最大絕對誤差的數(shù)學(xué)形式是ε的一次函數(shù)形式。在進行風(fēng)電機組的降階建模時，具體階數(shù)和ε需要人為給定，在工程分析中可結(jié)合式（19）估計不同精度要求下的ε數(shù)值和階數(shù)。

3.3 風(fēng)電機組快慢動態(tài)劃分

以特征根的自然頻率為時間尺度標(biāo)準劃分分辨快、慢動態(tài)變量［18］。以直驅(qū)風(fēng)電機組為例，參數(shù)見附錄A 表A2，計算機組的特征值和相關(guān)因子，結(jié)果如附錄A 表A3 所示。從特征根分布可以得到務(wù)類狀態(tài)變量的時間尺度分類，如表1 所示。

表1 直驅(qū)風(fēng)電機組狀態(tài)量時間尺度分類Table 1 Time-scale classification of states of direct-drive wind turbines

由表1 可知，槳距角控制、主軸和頻率測量濾波環(huán)節(jié)的變量時間尺度大于0.59 s，屬于慢動態(tài)主導(dǎo)環(huán)節(jié)，PLL 的積分量和鎖相頻率動態(tài)產(chǎn)生兩個特征值，時間尺度分別約為0.018 s 和0.23 s，引入了混合動態(tài)。剩余的狀態(tài)變量均由電氣環(huán)節(jié)和控制環(huán)節(jié)主導(dǎo)，時間尺度均在0.02 s 以下，屬于小時間尺度動態(tài)。

從表1 可以看出，以igd、igq為狀態(tài)量的網(wǎng)側(cè)電感磁場能，Udc對應(yīng)的電容電場能和imd、imq對應(yīng)的轉(zhuǎn)子等效電感磁場能的水平較小，對等效慣量的貢獻較少，而ωw對應(yīng)的主軸旋轉(zhuǎn)動能和槳距角相關(guān)的降載能量是支撐風(fēng)電進行慣量響應(yīng)的主要能量。綜上所述，與同步機相比，風(fēng)電等效慣量的相關(guān)物理量具有多個時間尺度，所對應(yīng)的能量水平也不同，如圖3所示。

圖3 風(fēng)電機組與同步機慣量時間尺度對比Fig.3 Comparison of inertia time scales between wind turbine and synchronous generator

一般而言，現(xiàn)階段的互聯(lián)交流電網(wǎng)的頻率主模態(tài)時間尺度按式（4）計算（如典型值Hsg=5、Ksg=20、Dsg=0.5、DL=1［28］），大約為0.1～1 s 級。風(fēng)電機組中慢動態(tài)和混合動態(tài)5 個狀態(tài)變量的時間尺度與主模態(tài)時間尺度接近，而其他變量將在邊界層內(nèi)快速收斂至約束流形。該過程也說明了降階處理不能以獨立環(huán)節(jié)的時間尺度為判斷依據(jù)，如xpll和fpll對應(yīng)的獨立環(huán)節(jié)時間尺度分別為1/600 s 和1/60 s，遠小于頻率主模態(tài)時間尺度，但其卻對機組頻率響應(yīng)功率有直接影響。

3.4 多時間尺度慣量機理模型

匯總以上分析，總結(jié)不同時間尺度下需要考慮的環(huán)節(jié)和相關(guān)變量，給出對應(yīng)的頻率響應(yīng)和等效慣量模型的基本形式，如表2 所示。其中，公式中務(wù)系數(shù)形式見附錄E，推導(dǎo)過程見附錄F。

表2 不同時間尺度下的等效慣量模型Table 2 Equivalent inertia models of different time scales

觀察模型推導(dǎo)結(jié)果可知：

1）頻率響應(yīng)模型的階數(shù)（極點個數(shù)）等于保留的狀態(tài)變量數(shù)；

2）僅有5 階、3 階慣量模型為頻率-有功功率因果系統(tǒng)，2 階系統(tǒng)變?yōu)槌跋到y(tǒng)；

3）務(wù)階模型計算均需要已知軸系轉(zhuǎn)速、機側(cè)q軸電壓、q軸電流和風(fēng)速的初值（見附錄E）；

4）直驅(qū)風(fēng)電機組的等效慣量環(huán)節(jié)對頻率響應(yīng)模型具有升階作用，與同步機的定常慣量特性不同；

5）3 類簡化模型的能量本質(zhì)均為主軸動能和降載備用能量，磁場能和電場能均忽略不計，且3、5 階模型包含了控制環(huán)節(jié)對能量釋放的影響。

4 仿真計算

搭建如附錄G 圖G1 所示的EMT 系統(tǒng)進行驗證。其中，G1 和G2 為100 MW 煤電機組，其慣量時間常數(shù)H分別為3.4 s 和3.5 s，調(diào)差系數(shù)均為5%，配置DC1A 型勵磁系統(tǒng)。風(fēng)電場G3 包括25 臺容量為2.22 MW 的直驅(qū)風(fēng)電機組，考慮到本文重點對單機層面的慣量機理展開研究，為簡化聚合計算，本算例按照容量倍乘的方式進行場站等效，風(fēng)電場中保留了一臺直驅(qū)風(fēng)電機組的詳細模型。機組變流器短時通流能力為110%的額定電流，機組參數(shù)見附錄D表D2，葉片入流風(fēng)速為額定值14.2 m/s，機組降載10%運行。由于本文主要關(guān)注擾動后短時的慣量響應(yīng)和一次調(diào)頻性能，算例系統(tǒng)暫未包含二次調(diào)頻環(huán)節(jié)。仿真中，系統(tǒng)初始負荷為母線3 處的負荷1（160 MW），負荷-頻率阻尼為16 MW/Hz，所有擾動事件均設(shè)置為母線4 處負荷2 的階躍突增。EMT 仿真環(huán)境為Simulink，仿真步長為100 μs，為避免器件開斷引起的高頻諧波，風(fēng)電機組變流器模塊采用平均值模型構(gòu)建。

4.1 系統(tǒng)動態(tài)過程分析

本節(jié)對擾動后系統(tǒng)頻率和功率過程的EMT 仿真結(jié)果展開初步分析。當(dāng)負荷2 在1 s 發(fā)生8 MW（5%總負荷）有功階躍突增時，務(wù)機組頻率波形見附錄G 圖G2。其中，風(fēng)電鎖相頻率為直驅(qū)風(fēng)電機組PLL 的跟蹤頻率，機端頻率按式（6）計算，也是本文模型的頻率輸入信號。

該擾動下務(wù)機組有功功率增量過程如圖4 所示。擾動發(fā)生初期的功率增量能夠反映風(fēng)電與同步機的慣量響應(yīng)時域差異，擾動初期僅有同步機的慣量響應(yīng)承擔(dān)不平衡功率。擾動發(fā)生瞬間之后，同步機的慣量響應(yīng)功率下降，風(fēng)電機組的有功功率快速增加，在擾動發(fā)生4 s 后達到有功功率峰值，隨后二者均進入原動機動態(tài)或有差調(diào)節(jié)主導(dǎo)的階段。另外，同步機的慣量響應(yīng)功率中含有快動態(tài)振蕩分量，而風(fēng)電機組經(jīng)濾波、斜率限制環(huán)節(jié)實現(xiàn)有功功率的平緩變化，不再含有系統(tǒng)機電振蕩的快動態(tài)信息。綜上，風(fēng)電機組等效慣量受多個環(huán)節(jié)共同作用，時域特性與同步機差異明顯，尤其是無法替代擾動初期的同步慣量作用。

4.2 全階模型有效性驗證

利用風(fēng)電機組頻率響應(yīng)全階模型式（14），并忽略網(wǎng)側(cè)d、q軸電壓的波動，求解上述擾動后風(fēng)電機組內(nèi)務(wù)狀態(tài)量動態(tài)過程，并與仿真結(jié)果對比，如附錄G 圖G3 所 示。

由附錄G 圖G3 可知，全階模型在擾動發(fā)生0.2 s 后的時段中對于慢動態(tài)到較快動態(tài)這3 類狀態(tài)量的過程具有較精確的計算效果，而對電容電壓、網(wǎng)側(cè)交流電流的計算結(jié)果則在擾動發(fā)生0.4 s 之后與仿真結(jié)果的誤差較小。同時，由于忽略了2 000 Hz以上的動態(tài)過程，全階模型并未反映電容電壓和網(wǎng)側(cè)交流電流的初期振蕩過程，但這個簡化并不會對有功功率-頻率的分析精度產(chǎn)生較大影響。需要說明的是，全階模型對風(fēng)電機組主軸轉(zhuǎn)速的計算結(jié)果在局部時段與仿真結(jié)果有偏差，其原因為仿真中風(fēng)電機組使用三質(zhì)量塊模型，若需進一步提高模型精度，可在全階模型中將單體軸改為三體軸模型，但相應(yīng)的模型階數(shù)需要增加2，計算更加復(fù)雜。綜上，本文所提的全階模型對務(wù)時間尺度動態(tài)過程的計算精度滿足工程要求。

4.3 各階簡化模型效果驗證

按 照3.4 節(jié) 提 出 的5 階、3 階、2 階 模 型 分 別 推 導(dǎo)風(fēng)電機組頻率響應(yīng)和等效慣量模型的系數(shù)，結(jié)果如附錄G 表G1 所示，4 類模型的特征值分布情況如圖5 所示。

圖5 各階模型的特征值分布Fig.5 Distribution of eigenvalues of models with different orders

由附錄G 表G1 和圖5 可見，在該運行點下，全階模型滿足穩(wěn)定性條件，可以降階。3 類簡化模型的主導(dǎo)特征值均與全階模型中靠近虛軸的特征根基本重合，3 類簡化模型的最慢動態(tài)對應(yīng)特征根（局部放大圖）相對誤差為0.61%。簡化模型階數(shù)越高，所覆蓋的主導(dǎo)特征根數(shù)量越多，能夠刻畫的參與慣量響應(yīng)環(huán)節(jié)數(shù)量越多，模型的相位延遲越大，但其計算結(jié)果接近真實結(jié)果。同時，5 階模型包含了PLL 兩個狀態(tài)變量，引入一個距離虛軸較遠的混合模態(tài)特征根。

采用全階模型、務(wù)降階簡化模型和仿真對比計算風(fēng)電機組的機端有功功率，如圖6 所示。從擾動發(fā)生后0 s 至34 s 的全過程來看，全階模型和3 類簡化模型均可以較好地刻畫風(fēng)電機組的有功功率響應(yīng)過程，務(wù)模型在30 s 后新穩(wěn)態(tài)點下的最大相對誤差一致，約為0.30%。此誤差可能由未建模的最大功率點跟蹤（MPPT）控制、氣動功率等非線性環(huán)節(jié)和變流器器件損耗特性引起。1.5～4.0 s 時段內(nèi)的最大有功功率與頻率最低點時段對應(yīng)，全階模型和3 類簡化模型在此時段內(nèi)誤差增大，主要原因為模型中的單軸模型與實際的多軸動態(tài)有一定偏差，與附錄G圖G3（a）的分析一致。

圖6 8 MW 擾動下各模型的風(fēng)電機組有功功率Fig.6 Active power of wind turbines in different models under 8 MW disturbance

從擾動發(fā)生初期內(nèi)的有功功率曲線來看，全階模型在1.0～1.1 s 內(nèi)幾乎無誤差地反映有功功率的實際動態(tài)。隨著模型階數(shù)降低，有功功率計算結(jié)果誤差越大，且有功功率的首個峰值點時間更短，峰值功率更高。其原因為階數(shù)越低的模型包含的慢動態(tài)特征根越少，整體阻尼越小，功率響應(yīng)更快，故帶來了較大誤差。

進一步分析不同幅度擾動下務(wù)模型的誤差水平，設(shè)置負荷2 發(fā)生1.6 MW 和16 MW 階躍突增兩個擾動場景，模型計算結(jié)果如圖7 和圖8 所示，細節(jié)圖分別如附錄G 圖G4 和圖G5 所示。

圖7 1.6 MW 擾動下各模型的風(fēng)電機組有功功率Fig.7 Active power of wind turbines in different models under 1.6 MW disturbance

圖8 16 MW 擾動下各模型的風(fēng)電機組有功功率Fig.8 Active power of wind turbines in different models under 16 MW disturbance

對比圖7 和圖8 可知，在系統(tǒng)頻率最低點時刻附近，擾動越大，全階模型和3 類簡化模型的誤差越大，原因為轉(zhuǎn)子動能釋放增加，多個軸體之間的轉(zhuǎn)速差異大，導(dǎo)致真實有功功率曲線與單體軸模型結(jié)果不一致。而在擾動初期，擾動越大，務(wù)階模型的首個峰值點之間差異越小，如16 MW 擾動下，2 階模型和3 階模型的峰值幾乎相等。此外，5 階和3 階模型大約在擾動后0.3～0.4 s 與全階模型結(jié)果重合，而2 階模型大約在5 s 左右與全階模型結(jié)果重合，與表1 的時間尺度分類標(biāo)準相吻合。因此，在研究風(fēng)電頻率響應(yīng)的全過程特性時，考慮軸系和槳距角動態(tài)的2 階模型可滿足要求；在研究擾動初期的慣量響應(yīng)特性時，應(yīng)盡可能使用高階模型。

在16 MW 擾動下，本文對比了所提模型與3 個典型模型的計算精度，如圖9 所示。除全階模型外，選擇了計算復(fù)雜度和精度較為平衡的3 階模型參與對比，對比模型1 采用文獻［4］的模型Ⅰ，對比模型2和3 分別為文獻［8］和文獻［10］的方案。顯然，全階模型和3 階模型均比已有文獻的機理模型精度更高，主要原因是3 個對比模型均只納入了部分選定環(huán)節(jié)，對模型的降階處理僅按獨立環(huán)節(jié)的時間常數(shù)對比或工程經(jīng)驗進行，造成過大誤差。而本文所提降階方法遵循嚴格的尺度分離原則，基于奇異攝動理論進行變量簡化，其計算效果明顯優(yōu)于其他模型。

圖9 16 MW 擾動下本文模型與其他模型的對比Fig.9 Comparison of proposed model and other models under 16 MW disturbance

4.4 時域誤差分析

分別在負荷2 處設(shè)置1.6、4、8、12、16 MW 的階躍負荷突增擾動ΔL，對比分析全階模型和3 類簡化模型在不同擾動下擾動后0～3 s 內(nèi)的有功功率的最大絕對誤差，誤差與務(wù)階模型時間尺度之間的關(guān)系如圖10 所示。全階模型的時間尺度與網(wǎng)側(cè)交流電流尺度一致，取為0.001 s。

圖10 不同擾動下各模型與EMT 結(jié)果的最大絕對誤差隨時間尺度的變化趨勢（擾動后0～3 s）Fig.10 Changing trend of the maximum absolute error of each model and EMT result under different disturbances over time scale (0～3 s after disturbance)

由圖10 可知，模型階次越低，誤差越大；擾動越小，絕對誤差與時間尺度之間越接近線性關(guān)系，與瓦西里耶娃定理一致。根據(jù)EMT 結(jié)果，式（19）中max(|vtd0|，|vtq0|)=vtd0=0.982，線 性 擬 合 后 的 結(jié) 果如表3 所示。該結(jié)果可在不同擾動事件下，粗略估算不同精度要求下的模型階次。另外，務(wù)階模型在擾動后30 s 的新穩(wěn)態(tài)階段的絕對誤差基本一致，具體數(shù)值如表3 所示。

表3 不同擾動下誤差與時間尺度關(guān)系Table 3 Relationship between error and time scale under different disturbances

4.5 等效慣量量化

對附錄G 表G1 中務(wù)階等效慣量模型注入負的單位階躍頻率（階躍時刻為1 s），得到不同階模型在務(wù)時刻的慣量響應(yīng)功率，其數(shù)值為機組等效慣量水平的時序曲線，如圖11 所示。

圖11 不同模型求解的風(fēng)電機組等效慣量水平Fig.11 Equivalent inertia levels for wind turbines derived from different models

由圖11 可知，全階和5 階模型結(jié)果一致，慣量水平與時間呈線性關(guān)系。2 階、3 階模型得到的等效慣量水平隨時間呈微弱的非線性變化。該結(jié)果反映了在式（2）定義下風(fēng)電機組等效慣量水平的時變特性和擾動初期的弱慣量特性。需要說明的是，此處的結(jié)果與擾動大小無關(guān)，僅由風(fēng)電機組的參數(shù)和初始運行點決定?？梢圆孪?，等效慣量主要反映機組在頻率變化中的有功功率動態(tài)特性，該方法得到的等效慣量水平在擾動發(fā)生時刻附近具有較好的表征作用，下文分析也將證明該猜想。圖11 中的總轉(zhuǎn)動慣量以100 MW 為基準容量計算獲得，兩臺同步機的聚合慣量常數(shù)為6.9 s，按照全階模型計算，風(fēng)電機組在擾動發(fā)生約0.5 s 后才能提供與同步機相同的慣量水平，跟網(wǎng)型風(fēng)電機組不能替代擾動發(fā)生初期的同步機慣量作用。

進一步，利用平均頻率變化率作為主要指標(biāo)驗證風(fēng)電機組等效慣量量化方法的有效性。其中，基于EMT 和頻率響應(yīng)模型的平均頻率變化率rEMT、rfr的計算方式如下：

式中：t0為擾動發(fā)生時刻；HG1和HG2分別為機組G1和G2 的慣量常數(shù)。

在16 MW 擾動下計算的平均頻率變化率結(jié)果如圖12 所示。圖中，“無風(fēng)電慣量”指僅考慮同步機慣量作用，該變化率僅反映擾動發(fā)生時刻的頻率變化率。

圖12 16 MW 擾動下各模型得到的平均頻率變化率Fig.12 Average frequency change rates obtained by each model under 16 MW disturbance

由圖12 可見，模型階次越低，所得到的平均頻率變化率誤差越大，全階模型和5 階模型在擾動發(fā)生0.1～2.0 s 期間能夠較好地計算頻率變化率，而2 階模型結(jié)果誤差偏大，3 階模型誤差居中，且3 階模型在擾動發(fā)生2 s 后與全階模型的結(jié)果曲線重合。從結(jié)果來看，3 階模型能夠?qū)崿F(xiàn)計算復(fù)雜度和精度的平衡。此外，圖12 反映了在遠離擾動發(fā)生時刻，等效慣量模型計算得到的頻率變化率誤差明顯增加，驗證了圖11 的分析結(jié)論。

5 結(jié)語

本文通過理論推導(dǎo)與仿真計算得到以下結(jié)論：

1）鎖相型直驅(qū)風(fēng)電機組的等效慣量模型刻畫了機組慣量響應(yīng)功率與頻率變化率的動態(tài)關(guān)系，等效慣量響應(yīng)由機組內(nèi)多個不同時間尺度的動態(tài)環(huán)節(jié)共同參與實現(xiàn)，轉(zhuǎn)動軸系、槳距角、PLL、頻率濾波為4 類主導(dǎo)慢動態(tài)環(huán)節(jié)，機組內(nèi)其余環(huán)節(jié)動態(tài)在慣量與頻率分析中可以忽略。

2）當(dāng)研究不同時間尺度的特性時，應(yīng)當(dāng)按照機組的慢動態(tài)到快動態(tài)的時間尺度分類選擇合適的模型階次；當(dāng)研究對象為100s 級的頻率響應(yīng)動態(tài)時，考慮軸系、槳距角動態(tài)的2 階模型可以滿足工程需要；當(dāng)研究對象為擾動初期10-1s 尺度的慣量響應(yīng)動態(tài)時，考慮4 類主導(dǎo)慢動態(tài)環(huán)節(jié)的5 階模型更為合適。本文推薦在一般研究中使用3 階模型，可實現(xiàn)精度與復(fù)雜度的平衡。

3）風(fēng)電機組的頻率響應(yīng)由等效慣量和下垂響應(yīng)組成，所提的定義與理論計算方法可以結(jié)合業(yè)界已推廣的快速調(diào)頻測試方法給出等效慣量水平的工程測試方法，所提慣量表征方法能夠用于預(yù)測擾動發(fā)生初期的系統(tǒng)平均頻率變化率。

4）機理分析方法對模型、參數(shù)可知程度要求高，難以直接應(yīng)用于海量機組實時建模，實際運行中可與實測數(shù)據(jù)辨識方法結(jié)合，提升精度。

本文可為電力系統(tǒng)頻率分析提供新能源建模方法和模型選擇原則，所提模型可面向場站聚合建模、等效慣量辨識和調(diào)頻能力分析等諸多場景開展應(yīng)用。后續(xù)研究將圍繞氣動捕獲功率、控制死區(qū)等非線性環(huán)節(jié)的精細化建模進行，進而降低模型的線性化誤差，提高模型在大擾動工況和飽和工作區(qū)中的計算精度。

附錄見本刊網(wǎng)絡(luò)版（http：//www.aeps-info.com/aeps/ch/index.aspx），掃英文摘要后二維碼可以閱讀網(wǎng)絡(luò)全文。