考慮電壓動態(tài)的電力系統頻率強度量化方法

胡 光，高暉勝，辛煥海，譚 楓，陳可欣

（浙江大學電氣工程學院，浙江省杭州市 310027）

0 引言

隨著新能源大量接入，以同步機為主導的傳統電力系統正在向電力電子化的新型電力系統轉變［1］。這將導致系統的慣量、調頻能力下降，系統的頻率響應性能惡化［2］，頻率安全穩(wěn)定問題頻發(fā)［3-4］。

在分析頻率安全穩(wěn)定問題時，現有分析方法通?；趧展?jié)點電壓幅值恒定的假設，關注設備的頻率和有功功率響應特性［2］，然而，系統的頻率響應可能受到電壓幅值動態(tài)（下文簡稱“電壓動態(tài)”）的影響。例如，在對“9·19”錦蘇直流閉鎖事件的仿真研究中發(fā)現，事故后快速切除直流濾波器，頻率最低點可由49.6 Hz 提升至49.7 Hz，提升約20%［5］。這是由于切除濾波器降低了負荷節(jié)點的電壓幅值，進而減小負荷消耗的功率，抵消了部分功率擾動。同樣，電力系統穩(wěn)定器 （power system stabilizer，PSS）也會通過改變電壓影響負荷的功率，進而影響系統頻率［6］。新型電力系統中，電力電子設備的控制設計靈活多樣，其中，一些控制方案不再嚴格按照頻率和電壓解耦控制，這進一步加劇了系統頻率和電壓之間的動態(tài)耦合［7］。例如，文獻［8］為了提升系統的穩(wěn)定性和動態(tài)性能，在跟網型變流器中引入了有功功率-電壓（記為P-V）、無功功率-頻率（記為Q-F）附加控制。文獻［9］將頻率動態(tài)引入電壓控制回路，提出了一種抑制功率振蕩的下垂控制方案。此外，混合同步［10］、虛擬振蕩器［11］、強同步［12］等控制方案，都采用了電壓和頻率的綜合信號對變流器進行控制。這些控制方案增強了裝備內部的頻率和電壓之間的耦合，可能導致電壓動態(tài)對系統頻率的影響更加明顯。

目前，已有一些文獻研究了電壓動態(tài)對系統頻率的影響。文獻［13］分析了靜態(tài)負荷的電壓特性對系統頻率的支撐效果，提出了集合多重慣量形式的廣義慣量。文獻［14］通過仿真分析了風電低電壓穿越對電網頻率的影響；文獻［15］進一步提出了考慮風電低電壓穿越過程的系統頻率特征量化方法。上述研究分析了電壓動態(tài)對頻率軌跡變化趨勢的影響，能準確給出頻率穩(wěn)定的定性分析結論，但缺乏電壓動態(tài)對頻率影響的定量化分析和機理解釋，而且分析結果可能只適用于特定的分析對象。與之相比，基于模型的分析方法能為頻率穩(wěn)定問題的研究提供理論基礎，可以進行靈敏度分析，并得到一般性的結論［16-17］。例如，廣泛用于系統頻率分析的平均系統頻率（average system frequency，ASF）模型［18］、系統頻率響應（system frequency response，SFR）模型［19］和共模頻率（common-mode frequency，CMF）模型［20］等，然而，這些解析模型大多基于電壓恒定的假設［18-22］。為了更全面地分析系統頻率動態(tài)，文獻［23］提出了一種同時包含電壓和頻率動態(tài)的“復頻率”模型。然而，該模型是在務母線視角下定義的，無法基于該模型得到系統全局頻率的方法。文獻［24］提出了一種考慮電壓影響的CMF 模型，充分考慮了務節(jié)點的電壓動態(tài)，可以用于分析系統的全局頻率安全穩(wěn)定問題。

與振蕩失穩(wěn)等穩(wěn)定問題不同，頻率的安全穩(wěn)定問題主要關注頻率最低點Δωnadir、頻率變化率（rate of change of frequency，RoCoF）等系統受擾后的頻率響應特征不越限。為定量化分析電力系統的頻率安全穩(wěn)定問題，文獻［25-26］提出了頻率支撐強度（下文簡稱“頻率強度”）的概念，用于直觀描述由電網和設備構成的閉環(huán)系統頻率響應性能。需要說明的是，系統頻率強度是個抽象的概念，具體體現在頻率最大偏差量、RoCoF 等系統受擾后的頻率響應特征［13，17，22］。目前，系統的慣量、一次調頻能力、跌落深度系數等常被用做量化系統頻率強度的指標［16，20，26］，可 以 用 于 定 量 評 估 系 統 抑 制 頻 率 波 動 的能力。然而，上述系統頻率強度量化方法未考慮電壓動態(tài)影響，可能導致設備的頻率支撐能力和系統頻率強度的量化評估結果不準確。

為此，本文在文獻［24］的基礎上，提出了一種考慮電壓動態(tài)的電力系統頻率強度量化方法，保留了系統中的電壓-頻率耦合動態(tài)，可以準確量化系統的頻率強度。首先，從系統閉環(huán)模型出發(fā)，建立了考慮電壓動態(tài)影響的共模頻率（voltage-influenced common-mode frequency，VCMF），根 據VCMF 模型中電壓耦合項（voltage coupling term，VCT）的表達式，揭示了電壓和頻率的交互作用回路，并分析了混 合 同 步 控 制（hybrid synchronization control，HSC）構網型變流器、外環(huán)附加控制跟網型變流器、靜態(tài)和旋轉負荷等系統元件動態(tài)對系統頻率的影響。然后，通過電力系統分區(qū)，實現了VCMF 模型的簡化解耦，進一步利用統一結構傳遞函數模型，量化了系統整體的頻率強度和務區(qū)域的頻率支撐能力。最后，通過仿真算例驗證了VCMF 模型的有效性以及所提量化方法的準確性，并定量化分析了電壓-頻率動態(tài)強耦合案例。

1 考慮電壓動態(tài)的系統頻率響應模型

本章根據雅可比形式的系統閉環(huán)模型，在保留電壓動態(tài)的基礎上，通過模態(tài)解耦得到系統頻率響應中的共模分量。

1.1 系統閉環(huán)模型

建立多機系統的線性化模型并消去中間無源節(jié)點，得到如圖1 所示以ΔPD和ΔQD為輸入、以Δθ和ΔV為輸出的閉環(huán)框圖。圖中：ΔPD和ΔQD分別為等效至務設備節(jié)點的有功功率和無功功率微增量列向量［27］；Δθ和ΔV分別為設備節(jié)點的相角和電壓幅值響應微增量構成的列向量；MG為設備的雅可比傳遞函 數 矩 陣；MN為 交 流 網 絡 的 雅 可 比 矩 陣；GPθ(s)、GPV（s）、GQθ（s）、GQV（s）分別為設備側有功功率-相角（記為P-θ）、P-V、無功功率-相角（記為Q-θ）和無功功率-電壓（記為Q-V）間的傳遞函數矩陣；LPθ(s)、LQV(s)、LPV(s)、LQθ(s)為對應的網絡側傳遞函數矩陣；s為拉普拉斯算子。與僅保留有功功率ΔPD和相角Δθ及兩者間傳遞函數矩陣的傳統頻率分析模型相比，圖中的模型進一步保留了無功功率和電壓幅值ΔV及對應的傳遞函數矩陣。

圖1 系統閉環(huán)傳遞函數框圖Fig.1 Block diagram of system closed-loop transfer function

圖1 所示系統的閉環(huán)傳遞函數響應模型可以表示為：

式中：HPθ（s）、HPV（s）、HQθ（s）、HQV（s）分別為設備側和網絡側動態(tài)傳遞函數矩陣求和得到的P-θ、P-V、Q-θ、Q-V 間的閉環(huán)傳遞函數矩陣。具體模型表達式及模型簡化合理性論述詳見附錄A。

值得一提的是，根據潮流旋轉不變性［17］，與相角相關的網絡雅可比矩陣形式的傳遞函數矩陣LPθ（s）和LQθ（s）都有一個零特征值，對應的特征向量為元素全為1 的n維列向量E：

1.2 考慮電壓動態(tài)的系統頻率響應模型

對于式（1）中的系統閉環(huán)響應模型，采用文獻［24］中的模態(tài)分解方法可從中提取出考慮電壓動態(tài)的系統CMF 響應量：

式 中：ΔωVCMF=[ΔωVCMF，1，ΔωVCMF，2，…，ΔωVCMF，n]T，為務設備節(jié)點頻率響應中的CMF 分量，其中，下標n為系統中設備總數，ΔωVCMF，n為ΔωVCMF中的元素；c∈Rn×1，為權重系數［24］，ci為c的元素；GPθ，i（s）為第i臺設備的傳遞函數，i=1，2，…，n；ω0為額定工頻頻率。

與不考慮電壓動態(tài)的系統全局頻率相比，式（3）中多了一項cT HPV(s)H-1QV(s)HQθ(s)E，將其記為電壓耦合項GVCT。當系統中電壓不存在波動時，GVCT=0?？梢钥闯?，式（3）中頻率分量在所有母線上 都 是 一 致 的，有ΔωVCMF，1=ΔωVCMF，2=…=ΔωVCMF，n，符合系統全局頻率的典型特征，將其定義為VCMF，記為ΔωVCM。需要說明的是，實際應用中，對于含有聚合負載或者配電網等“黑箱”模型的系統，直接根據黑箱設備并網端口的相角（頻率）和有功功率辨識得到等效模型，沒有充分考慮電壓動態(tài)的影響，在頻率響應分析時會存在誤差，而且這樣得到的某臺設備等效模型本質上包含了系統中全部設備的動態(tài)，在投切機組時要對全部設備重新辨識，不適合工程實際應用。具體分析及等效模型的合理獲取方式見附錄B。

本章建立了考慮電壓動態(tài)影響的系統頻率響應模型，然而，電壓動態(tài)通過耦合項對系統頻率的具體作用機理尚不清楚，務種設備動態(tài)在電壓耦合項中的作用也不明確。為此，需要分析電壓動態(tài)影響系統頻率的作用回路以及設備（負荷）動態(tài)對電壓耦合項的影響。

2 電壓動態(tài)對系統頻率的影響分析

本章首先根據電壓耦合項的表達式，分析了電壓幅值動態(tài)影響系統頻率的作用回路。其次，針對幾類頻率-電壓動態(tài)存在耦合的設備（負荷），根據務控制動態(tài)與作用回路中具體作用路徑的對應關系，分析了幾類設備（負荷）如何通過改變電壓耦合項影響系統頻率的。

2.1 電壓動態(tài)耦合項的作用回路分析

根據式（3）可知，VCMF 模型中既包含了直接的頻率-有功功率（記為F-P）響應動態(tài)（即∑ciGPθ，i(s)項），也包含了間接的電壓耦合項的動態(tài)，即cTHPV(s)H-1QV(s)HQθ(s)E，如式（4）所示，其中，式（4）利用了式（2）中LQθ（s）矩陣具有一個零特征值的特性進行簡化。圖2 給出了兩者的關系，圖中：ΔPDeq=cTΔPD為等效有功功率擾動；ΔPVCT為電壓耦合項引入的間接有功功率響應；ΔPF為作為前向通路中直接響應路徑的有功功率擾動輸入；ΔθVCM為前向通路中直接響應路徑的相角輸出。

圖2 CMF 響應回路示意圖Fig.2 Schematic diagram of CMF response loop

圖2 中 直 接 響 應 路 徑 由∑ciGPθ，i(s)項 構 成，包含了發(fā)電設備的慣量、阻尼、調速器和虛擬同步控制等環(huán)節(jié)的動態(tài)特性。為了重點體現電壓耦合項的影響，將直接響應路徑繪制為前向通道的形式。在不考慮電壓耦合項的間接影響時，ΔPF=ΔPDeq，通過直接響應路徑可以得到式（5）所示的系統CMF。

在考慮電壓動態(tài)后，引入了電壓耦合項間接響應 路 徑，此 時，ΔPF=ΔPDeq+ΔPVCT。在ΔPVCT與ΔPDeq的符號相異時，電壓耦合項動態(tài)可改善系統的頻率響應。例如，在ΔPDeq＜0 時，對應系統有功功率缺額情況，系統頻率下降；在ΔPVCT≥0 時，間接響應路徑的引入減小了有功功率缺額量的絕對值，改善了系統的頻率響應特性。進一步，由直接項∑ciGPθ，i(s)可知，其為響應系統頻率直接改變有功功率。由式（4）可知，系統電壓動態(tài)是通過頻率-無功功率-電壓-有功功率（記為ω-Q-V-P）回路間接影響有功功率，進而影響系統頻率，如圖2 所示。

接下來，以跟網型變流器、構網型變流器、靜態(tài)負荷和異步電機負荷為例進行詳細分析。

2.2 跟網型變流器的影響分析

在不考慮外環(huán)附加控制的情況下，跟網型變流器可以視為恒功率源，不會對系統頻率產生明顯影響。因此，本文重點關注外環(huán)附加控制的跟網型變流器［8］，其拓撲如附錄C 圖C1 所示。

考慮外環(huán)附加控制的跟網型變流器模型可以表示為：

式中：ΔPGFL、ΔQGFL、ΔθGFL、ΔVGFL分別為附加控制的跟網型變流器端口的有功功率、無功功率、電壓相角和 電 壓 幅 值 的 微 增 量；GPLL，PF（s）、GPLL，PV（s）、GPLL，QF(s)和GPLL，QV（s）分別為附加的有功功率-頻率（記為P-F）控制、P-V 控制、Q-F 控制、Q-V 控制的傳遞函數。

根據式（4）可知，系統電壓動態(tài)通過ω-Q-V-P作用回路影響系統的有功功率動態(tài)，該作用回路中的V-P、ω-Q 和Q-V 路徑分別與閉環(huán)動態(tài)HPV（s）、HQθ（s）和HQV（s）有關。而閉環(huán)動態(tài)在網絡側動態(tài)固定的情況下，主要由設備動態(tài)決定。根據式（6）中務元素位置可知，P-V、Q-F 和Q-V 附加控制分別通過改變GPV（s）、GQθ（s）和GQV（s）來影響HPV（s）、HQθ（s）和HQV（s）的動態(tài)特性。綜合上述分析，P-V、Q-F 和Q-V 附加控制分別是通過增強作用回路中的V-P、ω-Q 和Q-V 路徑加劇了電壓動態(tài)對系統頻率的影響。

2.3 構網型變流器的影響分析

對于構網型變流器，本文以虛擬同步控制和混合同步控制為例進行分析，2 類同步控制方案的拓撲如附錄C 圖C2 所示。

首先，分析虛擬同步控制對電壓耦合項的影響。式（7）給出了適用于分析系統頻率問題的虛擬同步控制變流器的簡化模型。

式中：ΔPVSM、ΔQVSM、ΔθVSM、ΔVVSM分別為虛擬同步控制變流器端口的有功功率、無功功率、電壓相角和電 壓 幅 值 的 微 增 量；GVSM，Pθ（s）、GVSM，PV（s）、GVSM，Qθ(s)、GVSM，QV（s）分別為虛擬同步控制變流器的P-θ、P-V、Q-θ、Q-V 間的傳遞函數。

在頻率穩(wěn)定問題關注的時間尺度上，式（7）中務元 素 可 以 近 似 簡 化 為GVSM，Pθ（s）=（Js2+Ds）/ω0，GVSM，PV（s）≈0，GVSM，Qθ（s）≈0，GVSM，QV（s）→∞，其中，J和D分別為虛擬同步控制中的虛擬慣量和下垂控制系數，具體簡化推導過程及務元素的表達式見附錄A 式（A2）至式（A9）。其中，GVSM，QV（s）→∞的物理意義為，在頻率穩(wěn)定問題關注的時間尺度上，電壓外環(huán)和電流內環(huán)可以將端口電壓幅值控制為恒定的所設定的參考值。進一步，根據式（7）中虛擬同步控制變流器的特性，分析對系統頻率的影響。當系統中設備都為虛擬同步控制的變流器時，每臺設備的GVSM，Qθ（s）≈0，則電壓耦合項式（4）中的GQθ（s）E=0，進而電壓耦合項GVCT=0。而在系統中第i臺設備為虛擬同步控制變流器時，GVSM，QV，i（s）→∞，即電壓耦合項式（4）中方陣GQV（s）+LQV（s）的第i個對角線元素趨近于無窮大，對其求逆得到的方陣中的第i行和第i列的元素都趨近于0，此時，GVCT項中不包含該構網型設備的動態(tài)。由此可知，在頻率穩(wěn)定的時間尺度上，虛擬同步控制的變流器不會引入電壓和頻率動態(tài)的耦合項。

其次，分析混合同步控制對電壓耦合項的影響，混合同步控制變流器的模型如式（8）所示。

式中：ΔPHSC、ΔQHSC、ΔθHSC、ΔVHSC分別為混合同步控制型變流器端口的有功功率、無功功率、電壓相角和電壓幅值的微增量；GHSC，Pθ（s）、GHSC，PV（s）、GHSC，Qθ（s）、GHSC，QV（s）分別為混合同步控制變流器的P-θ、P-V、Q-θ、Q-V 間的傳遞函數，具體元素的表達式見附錄A 式（A10）和式（A11）。

由于引入了響應速度較快的鎖相環(huán)，混合同步控制與電壓控制和電流控制的動態(tài)產生交互，不 能 再 將GHSC，QV（s）項 視 為 無 窮 大、GHSC，PV（s）和GHSC，Qθ（s）項視為0。因此，混合同步控制的引入改變 了HPV（s）、HQθ（s）和HQV（s）的 動 態(tài) 特 性，因 混合同步控制的構網型變流器通過增強電壓耦合項ω-Q-V-P 作用回路中的ω-Q、Q-V 和V-P 路徑，加劇了系統的頻率-電壓的動態(tài)耦合。

2.4 靜態(tài)負荷電壓特性的影響分析

考慮由恒阻抗（Z）、恒功率（P）、恒電流（I）構成的ZIP 靜態(tài)負荷，在系統電壓變化的情況下，靜態(tài)負荷的電壓特性通過改變系統不平衡功率進而抑制系統的頻率變化。靜態(tài)負荷功率PL的表達式為［13］：

式中：PL0為穩(wěn)態(tài)時靜態(tài)負荷有功功率；V0為額定穩(wěn)態(tài)時靜態(tài)負荷節(jié)點電壓幅值；VL為靜態(tài)負荷節(jié)點實際電壓幅值；KZ為恒阻抗負荷比例；KI為恒電流負荷比例；KP為恒功率負荷比例。

電壓波動時，對式（9）線性化可得：

式中：KpLoad=PL0（KZ+KI）/V0，為表征靜態(tài)負荷電壓特性的系數；ΔPL和ΔVL分別為靜態(tài)負荷端口的有功功率和電壓幅值微增量。

進一步，將式（10）整理為矩陣的形式：

式中：ΔQL和ΔθL分別為靜態(tài)負荷端口的無功功率和電壓相角的微增量。由式（11）可知，靜態(tài)負荷的電壓特性是通過增強電壓耦合項ω-Q-V-P 作用回路中的V-P 路徑，加劇了電壓動態(tài)對系統頻率的影響。

2.5 異步電機負荷的影響分析

根據文獻［28］，異步電機內電勢的相位動態(tài)如附錄C 圖C3 所示，式（12）給出了其消耗的無功功率微增量ΔQe與有功功率微增量ΔPe間的關系。

式中：K1和K2分別為表征有功功率和無功功率微增量間耦合的系數，詳細表達式參考文獻［28］。

根據式（12），消去附錄C 圖C3 中無功動態(tài)，可以得到附錄C 圖C4 所示的通過有效慣量表示的異步電機內電勢的相位動態(tài)。由附錄C 圖C3 可知，異步電機動態(tài)中包含Q-F 路徑，其物理意義為：電壓幅值的變化通過傳輸網絡影響異步電機吸收的無功功率，無功功率通過異步電機內部的功率耦合作用改變轉差頻率，進而影響內電勢的角速度。因此，在分析頻率穩(wěn)定問題時，電壓變化會影響異步電機消耗的有功功率和內電勢角速度之間的關系，從而影響異步電機對電網頻率擾動所表現出的慣量。由此可見，異步電機除了直接通過轉子慣量Jim，還會通過增強電壓耦合項ω-Q-V-P 作用回路中的ω-Q 路徑，影響系統頻率，具體表現為附錄C 圖C4 中的附加慣量項Jadd（s）。

綜上，基于考慮電壓動態(tài)影響的系統頻率響應模型，以構網型變流器、跟網型變流器和靜態(tài)負荷為例，分析并闡述了不同的設備（負荷）是如何通過增強電壓耦合項ω-Q-V-P 作用回路中不同的路徑影響系統頻率的。對于強同步、虛擬振蕩器等控制方案，也可以通過同樣的方式進行分析。

3 系統頻率強度量化方法

由于電壓耦合項包含了所有設備的動態(tài)，導致系統頻率響應解析計算復雜，本文首先根據網絡連接特征對系統進行了分區(qū)解耦，基于網絡連通理論，將系統分為多個區(qū)域，并將VCMF 中的電壓耦合項按區(qū)域劃分結果近似解耦，得到解耦后的簡化等效系統的VCMF 模型。然后，基于統一結構傳遞函數模型，提出了可以定量分析系統頻率強度和解耦得到等效系統中務區(qū)域頻率支撐能力的量化方法。

3.1 電壓耦合項分區(qū)解耦

電壓耦合項可進一步表示為：

式中：vPV（s）=cHPV（s），為行向量；uQθ=cHPV（s），為列向量。

其中，行向量vPV（s）和列向量uQθ（s）中的第i個元素僅與第i臺設備的動態(tài)有關，而方陣HQV（s）中的元素與系統中全部設備的動態(tài)相關，導致電壓耦合項引入了所有設備之間的耦合。這是由于方陣中的LQV（s）通常是滿秩的，簡化電壓耦合項的關鍵在于對LQV（s）矩陣進行簡化。

矩陣LQV（s）通常具有對角塊占優(yōu)特性［29］，在合理忽略較小的非對角元素后，可以將LQV（s）簡化為分塊對角矩陣LQV，blk（s），其中，第j（j=1，2，…，m）個對角塊記為LQV，blk，j（s），m為對角塊總數。此外，由于GQV（s）為對角矩陣，將LQV（s）分塊后，對應的方陣H-1QV（s）也將簡化為分塊對角矩陣H-1QV，blk，j（s）。進而可以將GVCT項分解為若干項相加：

式中：vPV，blk，j（s）和uQθ，blk，j（s）分別為方陣H-1QV，blk，j（s）中第j個對角塊對應的行向量和列向量。其中，求和的第j項僅與第j個對角塊中的設備動態(tài)相關，實現了將電壓動態(tài)引入的全局耦合轉化為局部耦合，簡化了VCMF 的分析。

式(15)給出了將GVCT分解為m項后的近似VCMF 表達式。

式中：ΔωaVCM為分區(qū)解耦后得到的系統近似全局頻率。對矩陣LQV（s）分塊的本質是從Q-V 的維度對電力系統分區(qū)。

根據電力系統中Q-V 耦合的強弱關系，將系統分為多個區(qū)域，務區(qū)域間的Q-V 耦合較弱，區(qū)域內部的耦合較強。具體可以通過求解下面的優(yōu)化問題式（16）實現合理的電力系統分區(qū)。

式中：E為所有分區(qū)策略的集合；e為E中某一種分區(qū) 策 略；size（LQV，blk，j（s））為 矩 陣LQV，blk，j（s）的 維 數；Nmax為最大允許值，設置較大的Nmax可以獲得更準確的結果，但也會增加計算復雜性；δ為GVCT中的方陣與其簡化后的分塊對角矩陣之間的相對誤差，如式（17）所示，最小化δ以實現分區(qū)后的等效系統與原系統的VCMF 盡可能一致。

約束條件為每個分區(qū)中設備數量不超過給定的Nmax。由于實際系統中可能存在大量的分區(qū)策略，使用遍歷法求解式（16）中的優(yōu)化問題會導致計算量過大。為此，本文提出了一種基于代數圖論的求解方法，詳見附錄D 圖D1。

通過電力系統分區(qū)，將原系統簡化為等效系統，進而將電壓動態(tài)引入的全局耦合轉化為局部耦合，兼顧了VCMF 分析的準確性和計算速度。

3.2 基于統一結構模型的系統頻率強度的量化分析

雖然電壓耦合項已經降階，但由于設備模型的階數高、動態(tài)復雜，系統頻率響應仍然難以解析求解，導致系統頻率強度難以量化，為此通過統一結構傳遞函數模型，解析表征了系統的頻率響應特性，并進一步量化分析了系統頻率強度和務區(qū)域的頻率支撐能力。

系統全局頻率響應若在功率階躍擾動后一段時間內接近阻尼正弦曲線（先跌落或抬升后逐漸恢復的形式），則系統中第i臺分布式發(fā)電設備的F-P 間傳遞函數GPθ，i（s），可以通過如式（18）所示的統一結構傳遞函數GuGen，i(s)近似表示［20］。

式中：JuGen，i、DuGen，i、KuGen，i分別為第i臺設備統一結構模型的有效慣量系數、有效阻尼系數和有效動態(tài)調差系數。具體參數求解過程可參考文獻［20-21］。

對于電壓耦合項，根據第2 章中的分析，GVCT通過ω-Q-V-P 回路影響系統的有功功率動態(tài)，其本質上也是針對系統頻率做出有功功率響應。因此，可以通過等效設備法［15］將其視為一個等效設備，進而也可采用式（18）中的統一結構模型近似務區(qū)域的電壓耦合項動態(tài)。

根據統一結構模型，VCMF 可以解析表示為：

式中：Gu（s）為系統的等效統一結構傳遞函數；GuVCT，j（s）為第j個區(qū)域電壓耦合項等效設備的統一結構傳遞函數。值得一提的是，式（20）中將務設備的傳遞函數疊加時僅需對相應的統一結構參數求和。因此，基于統一結構模型表示的系統頻率響應模型只有2 階。

進一步，基于統一結構模型，可以建立表征系統頻率最大偏移量的跌落深度系數，如式（21）所示。其物理意義為單位功率階躍擾動下頻率最大偏移量的倒數，其數值越大則系統頻率響應性能越好，頻率強度越強。

式中：e 為自然常數；Jus、Dus和Kus分別為系統的統一結構模型的有效慣量系數、有效阻尼系數和有效動態(tài)調差系數，如式（22）所示。

式中：JuVCT，j、DuVCT，i、KuVCT，i分別為第j個區(qū)域電壓耦合項等效設備統一結構模型的有效慣量系數、有效阻尼系數和有效動態(tài)調差系數。

相較于不考慮電壓動態(tài)的系統統一結構模型，式（20）中的設備在原系統的基礎上增加了功率響應為ΔPVCT，j（s）的m臺等效設備，務等效設備的動態(tài)反映了電壓動態(tài)對系統頻率的影響，可以通過統一結構模型的參數定量描述務等效設備的動態(tài)，以式（22）有效慣量、有效阻尼等參數量化表示了電壓動態(tài)對系統頻率強度的影響。式（21）中的指標則綜合了這3 個參數，描述了受擾后頻率響應軌跡特征，從響應性能的角度直觀地評估了電力系統頻率強度，這也有助于理解頻率強度與系統參數的關系。例如，根據式（21）可知，阻尼能單獨用于降低頻率最大偏移量，而慣量Jus需要和調頻系數Kus（系統中較慢的調頻）結合才能起作用。特別地，當Kus=∞時，最大偏移量僅由阻尼決定，而慣量不起作用，這對應了系統中全為虛擬同步機的情況。式（21）中的指標還可以用于量化表示某個區(qū)域對系統的頻率支撐能力。第j個區(qū)域對系統頻率的支撐能力αj可根據式（23）所示的指標差量化表示。其物理意義為區(qū)域j對系統頻率最低點提升的能力，數值越大，則該區(qū)域對系統頻率的支撐能力越強。

式中：JZu，j、DZu，j、KZu，j分別為第j個區(qū)域的統一結構模型的有效慣量系數、有效阻尼系數、有效動態(tài)調差系數，如附錄D 圖D2 所示。所提頻率強度指標可以用于量化評估受擾后頻率響應特征和頻率安全穩(wěn)定裕度，指導頻率強度的提升，具體見附錄A。

4 方法驗證

本文采用IEEE 10 機39 節(jié)點系統驗證所提VCMF 模型的正確性，并驗證了電壓耦合項分區(qū)解耦方法和系統頻率強度量化方法的有效性。

4.1 VCMF 模型驗證

在MATLAB/Simulink 中 搭 建10 機39 節(jié) 點系統模型，其拓撲結構與IEEE 10 機39 節(jié)點標準系統一致，詳見附錄E 圖E1。系統的功率基值為600 MV·A，額定頻率為60 Hz。系統中的發(fā)電設備包含2 臺同步機、3 臺構網型變流器和5 臺跟網型變流器，負荷設置為恒阻抗負荷。其中，跟網型變流器設有P-F 下垂控制和Q-F 下垂控制（如附錄C 圖C1 所示），構網型變流器采用虛擬同步控制，具體的控制參數見附錄E 表E1。下文算例中擾動設置均為t=1 s 時在設備9 處發(fā)生0.5 p.u.的有功功率擾動。在MATLAB/Simulink 中仿真得到務設備頻率軌跡，并將該軌跡與基于VCMF 模型、ASF 模型和CMF 模型得到的頻率軌跡進行對比，如圖3 所示。

圖3 頻率軌跡對比Fig.3 Comparison of frequency trajectories

由圖3 可知，基于ASF 模型和CMF 模型得到的系統頻率軌跡與務設備端口實際頻率軌跡相差較大。其中，ASF 模型的計算結果誤差更大。這是因為與CMF 模型相比，ASF 模型沒有考慮網絡損耗和恒阻抗負荷動態(tài)的影響［30］。而VCMF 模型可以很好地表征系統中務節(jié)點頻率的整體變化趨勢。這說明在系統電壓動態(tài)不能忽略的情況下，VCMF 模型能準確表征系統受擾后的全局頻率響應，可以用于分析電壓動態(tài)對系統頻率響應的影響。值得一提的是，VCMF 模型的軌跡是根據第2 章中務設備的簡化模型計算得到，而務設備的端口頻率是根據詳細模型仿真得到。可以看出，根據簡化模型得到的系統頻率與仿真得到的頻率基本一致，這說明了根據簡化模型分析系統頻率穩(wěn)定問題的可行性。

4.2 電壓耦合項解耦方法驗證

根據3.1 節(jié)中的電壓耦合項解耦方法對4.1 節(jié)中的算例進行分區(qū)解耦。附錄E 圖E2 給出了Nmax取不同值時系統的分區(qū)結果，根據式（17）中相對誤差計算公式，附錄E 表E2 給出了Nmax取不同值時簡化的分塊對角矩陣GQV(s)+LQV，blk(s)與原矩陣GQV（s）+LQV（s）的相對誤差。其中，在Nmax=3 時，相對誤差δ=4.98%，可以滿足工程精度要求。

進一步，根據4.1 節(jié)的功率擾動設置，附錄E 表E3 給出了附錄E 圖E2 中務分區(qū)方式對應的等效系統與原系統受擾后的頻率最低點及相對誤差，其中，計算相對誤差的基準值為原系統頻率最低點，圖4給出了分區(qū)方式對應的等效系統與原系統受擾后的頻率軌跡對比。

圖4 各分區(qū)情況下頻率軌跡對比Fig.4 Comparison of frequency trajectories in each partitioning case

由圖4 可以看出，在Nmax=1 的情況下，基于等效系統得出的CMF 與實際CMF 之間存在誤差。這一現象可以通過附錄E 圖E2 中的分區(qū)結果來解釋，在Nmax=1 時，一些較大的非對角線電壓耦合元素被忽略，進而導致等效系統與原系統之間出現明顯的誤差。在Nmax=6 和Nmax=3 的情況下，基于等效系統得到的CMF 與實際CMF 基本一致。此外，根據附錄E 表E3，在同一臺計算機中（AMD Ryzen7 5800H 處理器、16 GB 內存），VCMF 模型的計算時間隨著系統的簡化而降低，這說明分區(qū)簡化降低了VCMF 模型的計算量。在實際的大系統中，簡化等效系統的計算量優(yōu)勢更加明顯。這說明了在選取合適的Nmax時，根據分區(qū)解耦得到的等效系統計算系統頻率響應特性兼顧了計算速度和工程精度。

4.3 基于統一結構模型的頻率強度量化方法驗證

由圖4 可知，根據統一結構模型得到的頻率軌跡和考慮電壓動態(tài)影響的CMF 軌跡基本一致，這說明可以基于統一結構模型來量化分析系統的頻率強度。在統一結構模型可以解析表征VCMF 的基礎上，表1 進一步給出了根據式（21）中頻率深度系數指標計算的頻率最低點和根據VCMF 得到的系統頻率最低點的對比，其中，務相對誤差的基準值為其對應的分區(qū)等效系統的CMF 最低點?？梢钥闯?，在務種情況下，根據指標計算所得頻率最低點與VCMF 誤差小于10%，滿足工程精度要求，這驗證了系統頻率強度量化指標的有效性。

表1 指標計算頻率特征與仿真結果對比Table 1 Comparison of frequency feature results through index calculation with simulation results

進一步，根據式（23）中指標量化分析系統中務區(qū)域的頻率支撐能力。綜合考慮準確性和計算速度，本節(jié)以Nmax=3 時的分區(qū)為例進行分析，其余分區(qū)方式可以通過一樣的方法進行分析。在Nmax=3時，系統的統一結構參數為：Jus=47.35 p.u.，Dus=107.84 p.u.，Kus=3.05 p.u.。表2 給出了務區(qū)域的頻率強度支撐能力量化結果，以及務區(qū)域為支撐系統頻率貢獻的有效慣量、有效阻尼和有效動態(tài)調差系數。由表2 可以看出，區(qū)域3 對系統頻率的支撐能力最強。與區(qū)域1 相比，區(qū)域3 為系統提供了更多有效阻尼。由此可見，本算例中，系統對阻尼的需求高于慣量。這可以通過式（21）頻率強度指標對有效慣量和有效阻尼的靈敏度進一步說明，指標α對有效慣量和有效阻尼的靈敏度分別為：ρJ=0.127 和ρD=0.859。相較于有效慣量，系統對有效阻尼的靈敏度更高，說明改善系統的阻尼特性對頻率最低點的提升更為明顯。值得一提的是，區(qū)域3 中的設備都是跟網型設備，其提供的有效阻尼的來源包括直接的P-F 下垂控制以及間接的Q-F 下垂控制，其中，P-F 下垂動態(tài)是通過電壓動態(tài)耦合項的ω-Q-V-P 作用回路，為系統提供了阻尼特性的有功功率響應。由此可見，電壓動態(tài)對系統頻率有不可忽略的影響，準確量化務個區(qū)域的頻率支撐能力，需要考慮電壓動態(tài)的耦合。

表2 各區(qū)域頻率支撐能力量化結果Table 2 Quantified results of frequency support capability for each region

綜上，在電壓動態(tài)對系統頻率的影響不能忽略的情況下，本文所提頻率強度量化方法可以用于量化系統的頻率強度和務區(qū)域的頻率支撐能力。

5 案例分析

以構網型混合同步控制、跟網型變流器鎖相環(huán)附加控制等電壓-頻率強耦合的場景為例，定量化分析了設備（負荷）電壓-頻率耦合的動態(tài)對系統頻率的影響。

5.1 跟網型變流器鎖相環(huán)附加控制場景

在4.1 節(jié)算例的基礎上，將系統中的跟網型變流器替換為如附錄C 圖C1 所示的附加控制跟網型變流器進行分析。為分析務控制環(huán)節(jié)能為系統提供的有效慣量和阻尼，務環(huán)節(jié)采用慣量下垂的控制方式，并將務環(huán)節(jié)參數都設置為慣量系數為5 p.u.，阻尼系數為10 p.u.。附錄E 表E4 給出了投入不同環(huán)節(jié)時，區(qū)域3（2 臺跟網型變流器）的頻率支撐能力量化結果。可以看出，僅投入P-F 控制時，所得到的頻率支撐效果與預期（2 臺變流器按設置的5 p.u.的虛擬慣量和10 p.u.的下垂系數，務提供5 p.u.有效慣量和10 p.u.有效阻尼）基本一致。在Q-F 控制不投入時，單獨投入P-V 或Q-V 控制不會提供額外的頻率支撐能力，這可以通過解耦得到等效系統區(qū)域電壓耦合項的詳細表達式（14）解釋。在Q-F 控制不投入時，區(qū)域3 對應的列向量GQθ，blk，3（s）E=0，此時電壓耦合項為0。值得一提的是，雖然等效系統中區(qū)域3 的電壓耦合項為0，但是分區(qū)解耦前的全局電壓耦合項式（13）可能仍然包含單獨投入P-V 或Q-V控制時的動態(tài)，進而在不投入Q-F 附加控制時仍能提升系統的頻率強度。

進一步，將Q-F 控制數設置為GQθ（s）=1，分析P-V 和Q-V 控制對區(qū)域3 頻率支撐能力的貢獻，由附 錄E 表E4 可 知，在Q-F 控 制 投 入 后，P-V 和Q-V控制會提供頻率支撐能力。由于這些控制是通過ω-Q-V-P 回路間接影響頻率動態(tài)，其支撐效果在經過該路徑作用至頻率動態(tài)的過程中會變差。其中，P-V 控制對系統頻率的影響更明顯，這是由于P-V控制是通過較短的V-P 路徑影響系統有功功率響應，而Q-V 控制則是通過較長的Q-V-P 路徑影響。附錄E 圖E3 進一步給出了根據詳細模型仿真和統一結構模型計算得到的區(qū)域3 有功功率響應?？梢钥闯?，投入Q-F 和P-V 控制時區(qū)域3 提供慣量形式和阻尼形式疊加的有功功率響應，投入Q-F 和Q-V控制時區(qū)域3 主要提供阻尼形式的有功功率響應，這與附錄E 表E4 的量化結果一致，進一步驗證了所提量化方法的有效性。

附錄E 圖E3 及后續(xù)的有功功率響應，是將CMF 輸入電壓耦合項的詳細模型式（13）、式（14）和統一結構簡化模型式（20）得到的，這從功率響應的角度驗證了電壓耦合項可以通過附錄D 圖D2 所示的等效設備法簡化為統一結構模型。

5.2 構網型變流器混合同步控制場景

在4.1 節(jié)算例的基礎上，將構網型變流器控制方式設置為如附錄C 圖C2 所示的控制方式進行分析。為重點分析構網型變流器的動態(tài)，算例中務跟網型變流器不采取附加控制。將虛擬同步控制的參數設為：JGFM=5 p.u.，DGFM=20 p.u.；鎖相環(huán)控制參數設為：Kppll=30，Kipll=3 000。附錄E 表E5 給出了構網型變流器采用虛擬同步控制和混合同步控制時，系統的有效慣量、阻尼等參數的量化結果。附錄E 圖E4 給出了2 種控制方式下全局電壓耦合項的功率響應曲線?？梢钥闯?，在系統中負荷為恒阻抗負荷的情況下，混合同步控制中的鎖相環(huán)回路主要增加了系統的有效阻尼，這與混合同步控制提升設備阻尼特性的控制目的一致。

5.3 考慮靜態(tài)負荷電壓特性的場景

在4.1 節(jié)算例的基礎上，將系統中的設備4 和設備5 替換為電壓特性明顯的靜態(tài)負荷。將表征靜態(tài)負荷電壓特性的參數KpLoad設置為：KpLoad=10 p.u.。附錄E 表E6 給出了考慮靜態(tài)負荷電壓特性和不考慮電壓特性時系統的頻率支撐能力量化結果，其中，不考慮電壓特性時，負荷為恒功率負荷。附錄E 圖E5 給出了這2 種情況下全局電壓耦合項的功率響應曲線，其中，有功功率響應為正表示負荷消耗的功率減少。

可以看出，負荷的電壓特性是通過增加系統的有效阻尼來提升系統的頻率強度。其本質是改變了系統的不平衡功率，而具體改變的方式是通過阻尼形式的有功功率響應，增加或減少負荷的有功功率消耗。與將靜態(tài)負荷對頻率的影響定性等效為系統廣義慣量不同，所提方法從負荷動態(tài)響應特性的角度出發(fā)，通過統一結構模型對負荷的動態(tài)特性進行了量化，由此闡釋了靜態(tài)負荷對系統頻率的支撐是通過阻尼機制實現的機理。

此外，傳統電力系統中的靜態(tài)負荷也會響應電壓的動態(tài)，而不考慮電壓影響的分析方法在傳統電力系統中廣泛應用，也取得了一定的成效［25］，這與本文所提方法并不矛盾。根據本文所提方法，可以解釋說明傳統電力系統頻率分析不考慮電壓影響時，不會出現較大的誤差的原因，詳見附錄A。

5.4 考慮旋轉負荷的場景

在4.1 節(jié)算例的基礎上，將系統中的設備4 和設備5 替換為異步電機負荷。將異步電機的慣量系數Jim設為2 p.u.。附錄E 表E7 給出了考慮旋轉負荷和不考慮旋轉負荷時，系統頻率支撐能力量化結果，其中不考慮旋轉負荷時，負荷設置為恒功率負荷。附錄E 圖E6 給出了這2 種情況下全局電壓耦合項的功率響應曲線，其中，有功功率響應為正表示負荷消耗的功率減少。

與將系統中異步電機負荷的影響集中表示為阻尼［31］或僅計及異步電機轉子慣量不同，所提量化方法從動態(tài)響應特性的角度，定量化描述了異步電機負荷對系統頻率的影響。結合附錄E 圖E6、附錄E表E7 的量化結果和附錄C 圖C4 中通過有效慣量表示的異步電機模型可知，異步電機負荷除了慣量系數Jim項為系統直接提供有效慣量，附加慣量系數Jadd項還會通過電壓耦合動態(tài)作用回路為系統提供一定的有效慣量、有效阻尼和有效動態(tài)調頻，從而間接提升了系統頻率強度。因此，在系統中含有異步電機負荷時，不能簡單地只計及轉子慣量，還要考慮電壓耦合項對系統頻率的影響，從而避免頻率穩(wěn)定分析的結果過于保守。

本文以幾個電壓-頻率強耦合的場景為例，根據所提考慮電壓動態(tài)的系統頻率強度量化方法，定量化分析了電壓-頻率耦合動態(tài)對系統頻率的影響。所提量化方法從設備（負荷）輸入/輸出關系角度，通過統一結構簡化模型，將務類設備、負荷和電壓耦合項的復雜動態(tài)響應特性投影至有效慣量、有效阻尼和有效動態(tài)調差系數這3 個參數維度，從而有助于理解頻率-電壓耦合的設備（負荷）對系統頻率強度影響的機理。需要指出的是，所提量化方法僅依賴模型的動態(tài)響應，適用于務類型的設備和負荷，在系統中含多種類型頻率-電壓耦合的設備和負荷時，本方法仍然適用。

6 結語

本文提出了一種考慮電壓動態(tài)的電力系統頻率強度量化方法。主要結論如下：

1）根據VCMF 發(fā)現，電壓動態(tài)對系統頻率的影響可以通過一個全局耦合項表征；該耦合項包含所有設備動態(tài)，通過頻率-電壓的交互回路影響系統的有功功率響應，進而影響系統頻率。

2）根據對電壓耦合項的分析發(fā)現，諸如跟網型變流器外環(huán)附加控制、混合同步控制、靜態(tài)負荷電壓特性、異步電機負荷等頻率-電壓耦合設備（負荷）的動態(tài)會通過增強電壓耦合項作用回路，加劇系統中電壓-頻率的動態(tài)耦合；結合統一結構模型可以分析務類動態(tài)對系統頻率強度的具體影響方式。

3）所提頻率強度量化方法實現了電壓耦合項分區(qū)解耦和動態(tài)統一建模，簡化了考慮電壓動態(tài)的系統頻率特征分析，可以在簡潔準確地量化頻率-電壓動態(tài)強耦合情況下，解耦得到等效系統中務區(qū)域的頻率支撐能力和整個系統的頻率強度。

附錄見本刊網絡版（http：//www.aeps-info.com/aeps/ch/index.aspx），掃英文摘要后二維碼可以閱讀網絡全文。