計(jì)及頻率響應(yīng)時(shí)空相關(guān)性的新能源電力系統(tǒng)慣量估計(jì)方法

裴 銘，葉 林，羅雅迪，沙立成，張?jiān)亳Y，宋旭日

（1.中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué)信息與電氣工程學(xué)院，北京市 100083；2.中國(guó)電力科學(xué)研究院有限公司，北京市 100192；3.國(guó)網(wǎng)北京市電力公司，北京市 100031；4.國(guó)網(wǎng)北京市電力公司電力科學(xué)研究院，北京市 100075）

0 引言

隨著風(fēng)電、光伏等大規(guī)模新能源的并網(wǎng)，電力系統(tǒng)呈現(xiàn)高比例新能源接入與高比例電力電子設(shè)備應(yīng)用的“雙高”特性。然而，采用電力電子接口并網(wǎng)的新能源為電力系統(tǒng)所提供的慣量，被稱為“虛擬慣量”［1］，無(wú)法像火電、水電等同步發(fā)電機(jī)組一樣為系統(tǒng)提供可靠的一次調(diào)頻支撐［2］。此外，功率擾動(dòng)下系統(tǒng)頻率變化率（rate of change of frequency，RoCoF）和頻率最低點(diǎn)顯著惡化，從而導(dǎo)致大規(guī)模停電等極端事故的發(fā)生［3-4］。為確保高比例新能源電力系統(tǒng)的安全穩(wěn)定運(yùn)行，有效的慣量估計(jì)成為預(yù)判電力系統(tǒng)頻率失穩(wěn)的重要手段［5］。

由于風(fēng)電、光伏等新能源發(fā)電的隨機(jī)性和時(shí)變性，新能源發(fā)電節(jié)點(diǎn)的慣性響應(yīng)過(guò)程具有不確定性，對(duì)系統(tǒng)安全穩(wěn)定運(yùn)行具有關(guān)鍵性影響。因此，對(duì)新能源發(fā)電節(jié)點(diǎn)及新型電力系統(tǒng)的慣量進(jìn)行及時(shí)跟蹤計(jì)算十分有必要［6］。文獻(xiàn)［7］基于同步相量測(cè)量單元（phasor measurement unit，PMU），提出了利用擾動(dòng)后頻率測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算系統(tǒng)等效慣量的方法。文獻(xiàn)［8］基于定義的中心頻率平方偏差，提出了新能源電力系統(tǒng)等效慣量的計(jì)算方法。文獻(xiàn)［9］利用慣性常數(shù)-頻率狀態(tài)擺動(dòng)方程，對(duì)不同種類的新能源發(fā)電機(jī)組慣量進(jìn)行等效計(jì)算。綜上所述，利用頻率觀測(cè)值實(shí)時(shí)計(jì)算電力系統(tǒng)的慣量是可行的技術(shù)方案，可為電力系統(tǒng)慣量的實(shí)時(shí)估計(jì)提供數(shù)據(jù)支撐和理論基礎(chǔ)。

在電力系統(tǒng)慣量實(shí)時(shí)估計(jì)方法中，國(guó)內(nèi)外研究常使用數(shù)據(jù)采集與監(jiān)控（supervisory control and data acquisition，SCADA）系統(tǒng)或PMU 的實(shí)時(shí)測(cè)量信息作為輸入，利用時(shí)序模型［10］、拉普拉斯模型［11］或模態(tài)模型［12］對(duì)系統(tǒng)慣量進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)。近年來(lái)，借助狀態(tài)空間建模的思想，文獻(xiàn)［13］從模型驅(qū)動(dòng)的角度解析電力系統(tǒng)頻率響應(yīng)對(duì)系統(tǒng)慣量的作用機(jī)理，通過(guò)輸入實(shí)時(shí)更新的測(cè)量數(shù)據(jù)，完成系統(tǒng)慣量的實(shí)時(shí)估計(jì)。文獻(xiàn)［14］基于系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)頻率測(cè)量信息構(gòu)建狀態(tài)空間模型，利用無(wú)跡卡爾曼濾波（unscented Kalman filter，UKF）來(lái)估計(jì)系統(tǒng)慣量；文獻(xiàn)［15］利用容積卡爾曼濾波器，通過(guò)構(gòu)造以節(jié)點(diǎn)頻率測(cè)量值和頻率估計(jì)值之間誤差最小化的目標(biāo)函數(shù)，建立系統(tǒng)頻率的評(píng)估模型。然而，在新能源電力系統(tǒng)的實(shí)際應(yīng)用中，基于狀態(tài)空間建模的濾波器往往存在收斂慢的問(wèn)題［16］，在初始估計(jì)結(jié)果的基礎(chǔ)上引入平滑器，可以使?fàn)顟B(tài)估計(jì)值快速收斂［17］。此外，新能源電力系統(tǒng)頻率具有不確定性強(qiáng)、波動(dòng)性大的特點(diǎn)，會(huì)影響系統(tǒng)慣量的準(zhǔn)確估計(jì)［18］。上述研究?jī)H利用自身節(jié)點(diǎn)頻率或慣性中心頻率的觀測(cè)值，難以精準(zhǔn)感知整個(gè)新能源電力系統(tǒng)慣量的變化趨勢(shì)。

事實(shí)上，對(duì)于一個(gè)多節(jié)點(diǎn)的新能源電力系統(tǒng)，當(dāng)一個(gè)節(jié)點(diǎn)的頻率發(fā)生變化時(shí)，會(huì)通過(guò)輸電線路和變壓器等設(shè)備傳播到其他節(jié)點(diǎn)，導(dǎo)致系統(tǒng)內(nèi)其他節(jié)點(diǎn)的頻率隨之發(fā)生變化，這種頻率傳遞和響應(yīng)過(guò)程使節(jié)點(diǎn)之間的頻率響應(yīng)形成強(qiáng)耦合的相關(guān)性［19］。因此，分析系統(tǒng)頻率的響應(yīng)過(guò)程，進(jìn)而充分挖掘節(jié)點(diǎn)頻率響應(yīng)之間的相關(guān)性，可為系統(tǒng)慣量的估計(jì)提供充分的數(shù)據(jù)支撐［20］。其中，文獻(xiàn)［21］根據(jù)頻率測(cè)量裝置在電力系統(tǒng)內(nèi)的安裝位置不同，基于最小二乘擬合算法，量化系統(tǒng)內(nèi)不同節(jié)點(diǎn)頻率之間的空間相關(guān)性；文獻(xiàn)［22］通過(guò)構(gòu)建皮爾遜相關(guān)系數(shù)矩陣來(lái)衡量動(dòng)態(tài)時(shí)刻下系統(tǒng)內(nèi)務(wù)節(jié)點(diǎn)頻率的相關(guān)性。然而，上述相關(guān)性分析算法只是量化不同時(shí)間序列間點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的相關(guān)程度，但是對(duì)于電力系統(tǒng)頻率分析而言，節(jié)點(diǎn)之間的頻率幅值差異并不明顯，上述相關(guān)性分析算法不夠精細(xì)化［23-24］。除此之外，不同估計(jì)周期內(nèi)，務(wù)節(jié)點(diǎn)頻率之間的相關(guān)關(guān)系差異性大。因此，利用歷史觀測(cè)信息所得出的點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的相關(guān)性結(jié)論，并不能有效支撐未來(lái)時(shí)刻節(jié)點(diǎn)間頻率相關(guān)程度的分析。而因果相關(guān)分析算法的實(shí)質(zhì)就是從概率統(tǒng)計(jì)的角度判斷系統(tǒng)內(nèi)某一節(jié)點(diǎn)的頻率變化是否會(huì)影響目標(biāo)節(jié)點(diǎn)的頻率變化［25］，從而可以最大限度地篩選用于慣量估計(jì)的有效節(jié)點(diǎn)集合。

綜上，本文聚焦于計(jì)及新能源發(fā)電節(jié)點(diǎn)的系統(tǒng)慣量估計(jì)，并圍繞以下問(wèn)題展開(kāi)研究：1）如何量化系統(tǒng)內(nèi)務(wù)節(jié)點(diǎn)頻率響應(yīng)之間的時(shí)空因果相關(guān)性；2）如何建立包括新能源、傳統(tǒng)電源在內(nèi)的系統(tǒng)慣性常數(shù)-頻率狀態(tài)空間模型；3）如何對(duì)新能源電力系統(tǒng)的慣量進(jìn)行精準(zhǔn)、快速的實(shí)時(shí)估計(jì)。基于此，本文的主要研究?jī)?nèi)容如下：

1）分析新能源電力系統(tǒng)頻率響應(yīng)過(guò)程并追溯慣量來(lái)源，結(jié)合新能源、傳統(tǒng)電源發(fā)電節(jié)點(diǎn)頻率響應(yīng)過(guò)程的搖擺方程，構(gòu)造系統(tǒng)慣性常數(shù)-頻率狀態(tài)空間模型。

2）提出基于Granger 因果檢驗(yàn)算法的系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)頻率時(shí)空相關(guān)性動(dòng)態(tài)量化方法，篩選出系統(tǒng)慣量動(dòng)態(tài)估計(jì)所需的相關(guān)節(jié)點(diǎn)頻率觀測(cè)信息，以因果相關(guān)節(jié)點(diǎn)頻率測(cè)量信息為觀測(cè)變量，改進(jìn)系統(tǒng)慣性常數(shù)-頻率狀態(tài)空間模型。

3）引入U(xiǎn)KF 和固定滯后平滑器（fixed-lag smoother，F(xiàn)LS），建立電力系統(tǒng)慣量的兩階段狀態(tài)估計(jì)模型，以改進(jìn)的IEEE 39 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)為例，驗(yàn)證了慣量估計(jì)結(jié)果的收斂速度和精度，校驗(yàn)了方法在不同運(yùn)行場(chǎng)景的適應(yīng)性。

1 新能源電力系統(tǒng)慣量估計(jì)基本框架

本文分別從新能源電力系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)頻率響應(yīng)的時(shí)空相關(guān)性量化、系統(tǒng)慣性常數(shù)-頻率狀態(tài)空間構(gòu)造與改進(jìn)、濾波-平滑兩階段的慣量估計(jì)建模3 個(gè)方面來(lái)實(shí)現(xiàn)高比例新能源電力系統(tǒng)的慣量估計(jì)，從發(fā)電節(jié)點(diǎn)和電力系統(tǒng)兩個(gè)空間尺度對(duì)慣量進(jìn)行估計(jì)，為精準(zhǔn)評(píng)估從局部節(jié)點(diǎn)到全系統(tǒng)的穩(wěn)定性、電力系統(tǒng)的運(yùn)行與控制提供決策支撐。本文理論模型框架如圖1 所示。

圖1 理論模型框架圖Fig.1 Framework diagram of theoretical model

本文首先基于Granger 因果檢驗(yàn)算法，對(duì)電力系統(tǒng)中務(wù)節(jié)點(diǎn)頻率之間的時(shí)空因果相關(guān)性進(jìn)行表征，以時(shí)空因果相關(guān)集合的形式表征務(wù)估計(jì)周期下節(jié)點(diǎn)頻率之間的相關(guān)性分析結(jié)果?；诖?，以系統(tǒng)務(wù)節(jié)點(diǎn)的慣性常數(shù)和頻率為狀態(tài)量、以時(shí)空因果相關(guān)的系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)頻率測(cè)量矢量為觀測(cè)量、以因果相關(guān)節(jié)點(diǎn)功率測(cè)量矢量為輸入量，構(gòu)建計(jì)及節(jié)點(diǎn)頻率因果相關(guān)的電力系統(tǒng)狀態(tài)空間模型。在狀態(tài)空間的基礎(chǔ)上，基于UKF 構(gòu)造電力系統(tǒng)慣量初始估計(jì)模型，進(jìn)一步結(jié)合系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)頻率在超前時(shí)刻下的觀測(cè)值，建立基于FLS 的系統(tǒng)慣量的狀態(tài)修正模型，使系統(tǒng)估計(jì)結(jié)果更接近實(shí)際值。

2 新能源電力系統(tǒng)慣量估計(jì)理論基礎(chǔ)

2.1 電力系統(tǒng)慣性響應(yīng)過(guò)程

電力系統(tǒng)慣量是指電力系統(tǒng)在短時(shí)間內(nèi)承受負(fù)荷變化時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)部機(jī)械能的變化量。在電力系統(tǒng)中，慣量是一個(gè)非常重要的概念，其直接影響電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性和可靠性［26-28］。本文采用慣性常數(shù)H來(lái)衡量電力系統(tǒng)的慣量水平，結(jié)合搖擺方程來(lái)表征新能源電力系統(tǒng)的慣性響應(yīng)過(guò)程。

式中：Hi為發(fā)電節(jié)點(diǎn)i的慣性常數(shù)；Δfi為節(jié)點(diǎn)i的頻率變化量；ΔPm，i為節(jié)點(diǎn)i的機(jī)械功率變化量；ΔPe，i為節(jié)點(diǎn)i的電磁功率變化量；Di為節(jié)點(diǎn)i的負(fù)荷頻率調(diào)節(jié)系數(shù)；t為時(shí)間。

對(duì)于同步發(fā)電機(jī)而言，慣量是慣性大小的量值，可以從轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、動(dòng)能、慣性常數(shù)等不同角度衡量慣性大??；對(duì)于新能源發(fā)電機(jī)組而言，其慣量形式復(fù)雜多樣，取決于控制方式與機(jī)組運(yùn)行工況。本文從能量的角度出發(fā)，利用慣性常數(shù)來(lái)衡量同步發(fā)電機(jī)、新能源機(jī)組的慣量大小，可以為高比例新能源電力系統(tǒng)的慣量表征提供統(tǒng)一的量化標(biāo)準(zhǔn)。

2.2 高比例新能源電力系統(tǒng)慣量定義與計(jì)算

2.2.1 慣量的定義

分析電力系統(tǒng)頻率動(dòng)態(tài)響應(yīng)過(guò)程可知，傳統(tǒng)電力系統(tǒng)的慣量主要是以火電、水電等常規(guī)電源為主的同步機(jī)組所提供的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。但是，新能源發(fā)電系統(tǒng)中，風(fēng)力發(fā)電機(jī)組具有一定的慣量，光伏發(fā)電系統(tǒng)由于沒(méi)有旋轉(zhuǎn)電機(jī)，又被稱為零慣量系統(tǒng)。新能源電力系統(tǒng)的總慣量Hsys表示如下：

式中：上標(biāo)mom、re 分別為同步發(fā)電節(jié)點(diǎn)、新能源發(fā)電節(jié)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)變量；Hmomi、分別為同步發(fā)電節(jié)點(diǎn)、新能源發(fā)電節(jié)點(diǎn)i的慣性常數(shù)，分別用于量化同步機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量水平、新能源機(jī)組向系統(tǒng)提供的慣量水平；M、R分別為新能源電力系統(tǒng)中傳統(tǒng)同步發(fā)電節(jié)點(diǎn)、新能源發(fā)電節(jié)點(diǎn)集合。

2.2.2 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算

基于系統(tǒng)慣性響應(yīng)的搖擺方程如式（1）所示。針對(duì)同步發(fā)電機(jī)組的慣性響應(yīng)過(guò)程，在擾動(dòng)初期，機(jī)組一次調(diào)頻尚未開(kāi)始動(dòng)作，即機(jī)械功率變化量ΔPm為0，主要由電磁功率的變化量ΔPe來(lái)決定，同步發(fā)電機(jī)組的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性常數(shù)Hmomi滿足：

式中：fi為節(jié)點(diǎn)i的頻率。

2.2.3 風(fēng)力發(fā)電機(jī)組的慣量計(jì)算

風(fēng)力發(fā)電機(jī)組的慣量是指風(fēng)力發(fā)電機(jī)組轉(zhuǎn)子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所具有的慣性，其是描述風(fēng)力發(fā)電機(jī)組轉(zhuǎn)動(dòng)慣性特性的物理量。因此，風(fēng)力發(fā)電機(jī)組的慣性常數(shù)Hwind，i可參照同步發(fā)電機(jī)組慣量表達(dá)式進(jìn)行等效計(jì)算，即：

式 中：ΔPwind，i為 風(fēng) 力 發(fā) 電 節(jié) 點(diǎn)i有 功 輸 出 功 率 的 變化量；fwind，i(t)為t時(shí)刻風(fēng)力發(fā)電節(jié)點(diǎn)i的頻率。

2.2.4 光伏發(fā)電機(jī)組的慣量計(jì)算

光伏發(fā)電機(jī)組通過(guò)檢測(cè)并網(wǎng)點(diǎn)的頻率變化，當(dāng)機(jī)組頻率發(fā)生擾動(dòng)時(shí)需要通過(guò)控制有功功率的變化來(lái)完成虛擬慣性響應(yīng)。具體地，光伏發(fā)電機(jī)組的慣量-頻率狀態(tài)-有功功率關(guān)系式如下：

式中：HPV，i為光伏發(fā)電節(jié)點(diǎn)i的虛擬慣性常數(shù)；ΔPPV，i為光伏發(fā)電節(jié)點(diǎn)i輸出功率的變化量；fPV，i(t)為t時(shí)刻光伏發(fā)電節(jié)點(diǎn)i的頻率。由于沒(méi)有與同步機(jī)轉(zhuǎn)子角頻率對(duì)應(yīng)的物理量，本文采用機(jī)組端口頻率替代。可見(jiàn)，該定義和計(jì)算方法下的虛擬慣量可以有效表征光伏發(fā)電系統(tǒng)的頻率響應(yīng)變化、向系統(tǒng)提供有功功率支撐的能力，同時(shí)與同步機(jī)慣量的量綱一致，便于新能源電力系統(tǒng)慣量的統(tǒng)一建模。

3 計(jì)及節(jié)點(diǎn)有功功率-頻率時(shí)空相關(guān)的電力系統(tǒng)慣量的狀態(tài)空間構(gòu)造

在電力系統(tǒng)分析中，狀態(tài)空間模型廣泛應(yīng)用于系統(tǒng)分析、控制和優(yōu)化，通過(guò)對(duì)已知的動(dòng)態(tài)行為規(guī)律進(jìn)行量化建模，可以預(yù)測(cè)電力系統(tǒng)在未來(lái)時(shí)刻的演化過(guò)程。

3.1 電力系統(tǒng)慣性常數(shù)-頻率狀態(tài)空間模型

在本文中，根據(jù)狀態(tài)空間的基本原理，構(gòu)造電力系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)i的慣性常數(shù)-頻率狀態(tài)空間基本方程，定義節(jié)點(diǎn)i的慣性常數(shù)Hi和頻率fi為狀態(tài)變量x=[Hi，fi]，定義節(jié)點(diǎn)i處的有功功率變化量為輸入變量u=[ΔPi]。按照同步發(fā)電節(jié)點(diǎn)、新能源發(fā)電節(jié)點(diǎn)分類構(gòu)造系統(tǒng)頻率狀態(tài)方程如式（6）所示。

式中：fi(t)為t時(shí)刻發(fā)電節(jié)點(diǎn)i的頻率；ΔPi為節(jié)點(diǎn)i有功功率在其穩(wěn)態(tài)基礎(chǔ)上的變化量；Pi為節(jié)點(diǎn)i有功功率的瞬時(shí)值；Pi,0為節(jié)點(diǎn)i有功功率的穩(wěn)態(tài)值。

對(duì)于慣性常數(shù)而言，其在估計(jì)的周期范圍（秒級(jí)）內(nèi)不隨時(shí)間變化而變化，是一個(gè)常量。因此，本文構(gòu)建系統(tǒng)慣量的狀態(tài)方程如式（7）所示。

根據(jù)慣性常數(shù)-頻率狀態(tài)的狀態(tài)方程，定義節(jié)點(diǎn)i處的頻率為觀測(cè)變量，構(gòu)造電力系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)頻率的觀測(cè)方程為：

3.2 考慮頻率響應(yīng)時(shí)空相關(guān)的狀態(tài)空間模型

3.2.1 系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)頻率時(shí)空相關(guān)量化分析

本文引入Granger 因果檢驗(yàn)算法量化節(jié)點(diǎn)間頻率響應(yīng)過(guò)程的時(shí)空相關(guān)性。因果關(guān)系基于統(tǒng)計(jì)學(xué)中的零假設(shè)，其原理是通過(guò)判斷增加因變量是否有助于預(yù)測(cè)結(jié)果變量，從而檢驗(yàn)因變量和結(jié)果變量之間的因果相關(guān)性［29-30］。如果同時(shí)使用頻率序列fx和目標(biāo)頻率序列fy的歷史觀測(cè)值的預(yù)測(cè)效果優(yōu)于僅使用目標(biāo)頻率序列fy自身歷史觀測(cè)值的預(yù)測(cè)效果，則將fx稱為fy的Granger 因變量或fx是引起fy變化的Granger 原 因［31］。附 錄A 圖A1 展 示 了Granger 因 果關(guān)系應(yīng)用于系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)間頻率時(shí)序的原理。

根據(jù)系統(tǒng)內(nèi)其他節(jié)點(diǎn)j與節(jié)點(diǎn)i的時(shí)空因果相關(guān) 判 別 因 子Kct，i，j，針 對(duì) 節(jié) 點(diǎn)i的 頻 率 觀 測(cè) 值，在 滿 足Kct，i，j=1 的 前 提 條 件 下，篩 選 出 在t時(shí) 刻 與 節(jié) 點(diǎn)i頻率具有因果相關(guān)性的節(jié)點(diǎn)集合G。

式 中：gi，t，nc為t時(shí) 刻 與 節(jié) 點(diǎn)i具 有 時(shí) 空 因 果 相 關(guān) 性 的第nc個(gè)節(jié)點(diǎn)；Nci為與節(jié)點(diǎn)i具有時(shí)空相關(guān)性的節(jié)點(diǎn)數(shù)量，且隨著狀態(tài)估計(jì)周期變化而動(dòng)態(tài)變化。

利用系統(tǒng)務(wù)節(jié)點(diǎn)頻率之間的時(shí)空因果相關(guān)分析結(jié) 果，定 義t時(shí) 刻 節(jié) 點(diǎn)i的 頻 率 狀 態(tài) 矢 量fS，i，t為：

式 中：fS，i，t為t時(shí) 刻 節(jié) 點(diǎn)i的 頻 率 狀 態(tài) 矢 量，是 節(jié) 點(diǎn)i的 頻 率 狀 態(tài) 值fi，t與 節(jié) 點(diǎn)i時(shí) 空 相 關(guān) 頻 率 集 合的并集，維度為1×(Nci+1)。

另 外，定 義fS，g，i為 節(jié) 點(diǎn)i的 頻 率 狀 態(tài) 矢 量fS，i，t在集合G中的索引元素。

3.2.2 狀態(tài)空間模型修正

根據(jù)節(jié)點(diǎn)頻率的時(shí)空相關(guān)性分析結(jié)果，分別對(duì)電力系統(tǒng)慣量估計(jì)的狀態(tài)方程和測(cè)量方程進(jìn)行修正。

1）狀態(tài)方程修正

定義節(jié)點(diǎn)i的頻率狀態(tài)矢量fS，i和節(jié)點(diǎn)慣性常數(shù)Hi為改進(jìn)狀態(tài)變量x=［Hi，fS，i］，定義節(jié)點(diǎn)i處的所有聯(lián)絡(luò)線有功功率變化量ΔP?，i組成輸入變量矢量u=[ΔP?，i]，? ∈Li，構(gòu)造時(shí)空相關(guān)的頻率狀態(tài)方程如下：

式中：fS，g，i(t)為t時(shí)刻發(fā)電節(jié)點(diǎn)i的時(shí)空相關(guān)頻率狀態(tài) 變 量；GS，i，t為 節(jié) 點(diǎn)i在t時(shí) 刻 的 頻 率 相 關(guān) 節(jié) 點(diǎn)g的集 合；Li為 節(jié) 點(diǎn)i的 聯(lián) 絡(luò) 線? 的 序 號(hào) 集 合。Nci+1 為節(jié)點(diǎn)頻率狀態(tài)矢量的維度，在本文中利用時(shí)空相關(guān)節(jié)點(diǎn)與自身節(jié)點(diǎn)的慣性常數(shù)-頻率狀態(tài)響應(yīng)均值，從而降低某一節(jié)點(diǎn)頻率測(cè)量誤差的影響，從而提升系統(tǒng)慣量的估計(jì)精度。

由于系統(tǒng)慣量的狀態(tài)方程式（6）中不含有頻率測(cè)量信息，在本文中不做修正。

2）觀測(cè)方程修正

在狀態(tài)方程修正的基礎(chǔ)上，將節(jié)點(diǎn)頻率狀態(tài)矢量定義為觀測(cè)變量，構(gòu)造觀測(cè)方程如下：

式中：fmeasi為節(jié)點(diǎn)i的觀測(cè)變量，包括自身節(jié)點(diǎn)的頻率測(cè)量值fmeasi和其時(shí)空相關(guān)節(jié)點(diǎn)的頻率測(cè)量值，維度為1×(Nci+1)。

4 考慮頻率動(dòng)態(tài)響應(yīng)的電力系統(tǒng)慣量估計(jì)模型

4.1 卡爾曼濾波算法基本原理

卡爾曼濾波（Kalman filter，KF）算法是一種經(jīng)典的遞歸濾波器，利用當(dāng)前時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)和觀測(cè)數(shù)據(jù)，通過(guò)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程和測(cè)量方程進(jìn)行狀態(tài)的預(yù)測(cè)和更新，以獲得對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的優(yōu)化估計(jì)。

本文以電力系統(tǒng)的慣量估計(jì)為研究對(duì)象，基于計(jì)及頻率響應(yīng)時(shí)空因果相關(guān)的電力系統(tǒng)慣量的狀態(tài)空間模型，引入KF，通過(guò)輸入相關(guān)節(jié)點(diǎn)的頻率觀測(cè)值，可以對(duì)新能源出力不確定性下的系統(tǒng)慣量進(jìn)行實(shí)時(shí)精確估計(jì)。圖2 是KF 的控制框圖，反映了電力系統(tǒng)慣量從狀態(tài)估計(jì)到狀態(tài)更新的控制流程。圖中：ct|t、ct-1|t-1分別為狀態(tài)矢量矩陣χ在t時(shí)刻、t-1時(shí)刻估計(jì)值的協(xié)方差；ωt為t時(shí)刻系統(tǒng)噪聲；ct|t-1為狀態(tài)矢量矩陣χ在t-1 時(shí)刻預(yù)測(cè)值的協(xié)方差；R為測(cè)量噪聲協(xié)方差矩陣；γt為t時(shí)刻觀測(cè)轉(zhuǎn)換矩陣。

圖2 KF 控制框圖Fig.2 Control block diagram of KF

圖2 中，KF 具體由系統(tǒng)慣量的狀態(tài)估計(jì)和系統(tǒng)慣量的狀態(tài)更新兩部分構(gòu)成。其中，系統(tǒng)慣量估計(jì)模塊由上一時(shí)刻慣量的估計(jì)量xenht|t-1和包括風(fēng)、光和傳統(tǒng)電源有功功率在內(nèi)的t時(shí)刻外部輸入量uenht，通過(guò)狀態(tài)估計(jì)矩陣Ft，給出初始狀態(tài)估計(jì)值xenh(0)t|t-1；在此基礎(chǔ)上，引入電力系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)頻率觀測(cè)量zt。通過(guò)聯(lián)立狀態(tài)方程和觀測(cè)方程，得到系統(tǒng)慣量估計(jì)值，為慣量的狀態(tài)更新提供初始值。在上述工作的同時(shí)，狀態(tài)估計(jì)協(xié)方差被同時(shí)估計(jì)，用于衡量每一步狀態(tài)估計(jì)的不確定性，并基于此計(jì)算卡爾曼增益。

在系統(tǒng)慣量的狀態(tài)更新模塊中，慣量估計(jì)初始值xenh(0)t|t-1及其協(xié)方差初始值c(0)t|t-1將被同步更新，針對(duì)數(shù)據(jù)前饋驅(qū)動(dòng)與電力系統(tǒng)頻率測(cè)量驅(qū)動(dòng)兩種方式下慣量估計(jì)值的差異，系統(tǒng)慣量估計(jì)結(jié)果的更新通過(guò)卡爾曼增益來(lái)判斷二者的可靠性，從而決定優(yōu)化后的狀態(tài)估計(jì)值更傾向于預(yù)測(cè)模型還是觀測(cè)模型；協(xié)方差估計(jì)模塊則進(jìn)一步根據(jù)卡爾曼增益系數(shù)和觀測(cè)矩陣對(duì)協(xié)方差進(jìn)行更新，從而為下一步狀態(tài)估計(jì)提供更可靠的決策支撐。

4.2 節(jié)點(diǎn)頻率時(shí)空相關(guān)的濾波-平滑兩階段慣量估計(jì)模型

本文在KF 的基礎(chǔ)上，引入非線性電力系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)經(jīng)常使用的UKF?；诖?，引入可以充分利用節(jié)點(diǎn)間頻率時(shí)空相關(guān)結(jié)果的FLS，從而提高系統(tǒng)慣量估計(jì)的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性，并通過(guò)降低測(cè)量噪聲和系統(tǒng)動(dòng)態(tài)的影響，提供更接近于實(shí)際狀態(tài)的系統(tǒng)慣量估計(jì)結(jié)果。

4.2.1 基于UKF 的慣量初始估計(jì)

1）無(wú)跡變換

UKF 采用無(wú)跡變換（unscented transformation，UT）的確定性采樣技術(shù)，選擇慣性常數(shù)-頻率狀態(tài)變量均值附近的一組最小樣本點(diǎn)χ矩陣，通過(guò)非線性函數(shù)傳播最小樣本點(diǎn)，從而形成新的均值和協(xié)方差估計(jì)［32］。具體步驟如下。

本文針對(duì)改進(jìn)的慣性常數(shù)Henh對(duì)應(yīng)的協(xié)方差1、頻率的改進(jìn)狀態(tài)矢量fenh對(duì)應(yīng)的協(xié)方差矩陣1，構(gòu)建了χ矩陣，通過(guò)近似Henh、fenh的均值和協(xié)方差來(lái)表征非線性狀態(tài)的不確定性。具體公式如下：

2）預(yù)測(cè)階段

（1）將生成的χ矩陣通過(guò)狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)ξ（·）進(jìn)行傳播，以在狀態(tài)變量時(shí)序前向滾動(dòng)中得到預(yù)測(cè)的慣性常數(shù)、頻率的χ矩陣：

式中：狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)ξ（·）由式（6）和式（12）的狀態(tài)方程構(gòu)成；ut-1為t-1 時(shí)刻的輸入矢量。

（2）通過(guò)傳播的χ矩陣計(jì)算預(yù)測(cè)的改進(jìn)慣性常數(shù)狀態(tài)均值H、改進(jìn)頻率狀態(tài)均值ft和對(duì)應(yīng)的協(xié)方差矩陣c1、c-1。具體計(jì)算公式如下：

式中：Qt-1為過(guò)程噪聲的協(xié)方差矩陣，表示系統(tǒng)建模的不確定性；分別為預(yù)測(cè)的狀態(tài)變量H、f的χ矩陣的第i+1 列；Wm，i為節(jié)點(diǎn)i的χ矩陣的一階權(quán)重；Wc，i為節(jié)點(diǎn)i的χ矩陣的二階權(quán)重。

上述方程中的權(quán)重計(jì)算如下：

式中：Wm，0為節(jié)點(diǎn)i的χ矩陣的初始一階權(quán)重；Wc，0為節(jié)點(diǎn)i的χ矩陣的初始二階權(quán)重；β為無(wú)跡變換參數(shù)，可以據(jù)應(yīng)用場(chǎng)景選擇。對(duì)于頻率狀態(tài)矢量，n=Nci+1；對(duì)于慣性常數(shù)狀態(tài)變量，n=1。

3）更新階段

（1）利用χ矩陣的慣性常數(shù)-頻率狀態(tài)的狀態(tài)均值，計(jì)算觀測(cè)矢量的預(yù)測(cè)值。

式中：M（·）為觀測(cè)函數(shù)；為χ矩 陣 的 慣 性 常 數(shù)狀態(tài)均值；為χ矩陣的頻率狀態(tài)矢量均值；為節(jié)點(diǎn)i的χ矩陣的觀測(cè)矢量；為χ矩陣的觀測(cè)矢量的經(jīng)驗(yàn)平均值。

（2）計(jì)算狀態(tài)矢量和頻率觀測(cè)矢量之間的互協(xié)方差、觀測(cè)矢量的協(xié)方差。

式中：c-1為觀測(cè)矢量χ矩陣的協(xié)方差矩陣；c-1為觀測(cè)矢量-狀態(tài)矢量χ矩陣的交互協(xié)方差矩陣；Rt為觀測(cè)噪聲的協(xié)方差矩陣。

（3）根據(jù)t時(shí)刻處的觀測(cè)值集合zt，通過(guò)計(jì)算UKF 增益Kt，得到狀態(tài)矢量的估計(jì)值。

4.2.2 基于FLS 的慣量平滑估計(jì)

根據(jù)4.2.1 節(jié)可知，UKF 更新方程實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)慣性常數(shù)-頻率狀態(tài)的初始估計(jì)，這意味著在t+1 時(shí)刻時(shí)，可以得到基于所有過(guò)去觀測(cè)和當(dāng)前觀測(cè)值z(mì)t下的慣性常數(shù)-頻率狀態(tài)的估計(jì)值。由于相鄰節(jié)點(diǎn)之間的頻率響應(yīng)存在時(shí)空上的因果相關(guān)性，換言之，對(duì)于系統(tǒng)內(nèi)任一節(jié)點(diǎn)的慣量估計(jì)，其因果相關(guān)節(jié)點(diǎn)在超前時(shí)刻的頻率值和其自身當(dāng)前時(shí)刻下的頻率值具有同樣的價(jià)值。因此，本文將UKF 與使用超前信息的反向?yàn)V波器組合，可以充分利用節(jié)點(diǎn)之間頻率響應(yīng)的時(shí)空因果關(guān)系，使得系統(tǒng)慣量的估計(jì)狀態(tài)更接近于實(shí)際狀態(tài)，從而有效降低系統(tǒng)慣量估計(jì)的誤差。根據(jù)UKF 的系統(tǒng)慣性常數(shù)-頻率狀態(tài)初始估計(jì)值，得到基于FLS 的平滑估計(jì)步驟如下［33］。

對(duì) 于 時(shí) 刻t，UKF 提 供 了 初 始 估 計(jì) 值以及協(xié)方差矩陣c。因此，從開(kāi)始，基于FLS 的遞推方程，利用超前時(shí)刻下節(jié)點(diǎn)頻率的觀測(cè)值，通過(guò)時(shí)序的反向遞推，獲取系統(tǒng)慣性常數(shù)-頻率狀態(tài)的平滑估計(jì)值。

濾波-平滑兩階段慣量估計(jì)可以在完成電力系統(tǒng)慣量初始估計(jì)的基礎(chǔ)上，對(duì)慣量估計(jì)結(jié)果進(jìn)行修正。由于本文算法引入了具有因果相關(guān)節(jié)點(diǎn)的頻率觀測(cè)信息，這些觀測(cè)信息的增加勢(shì)必會(huì)帶來(lái)噪聲，故平滑算法可以有效去除慣量估計(jì)結(jié)果的噪聲，提升慣量估計(jì)結(jié)果的收斂性，從而使得電力系統(tǒng)慣量的求解收斂到可行解。

4.3 誤差分析與模型評(píng)價(jià)

4.3.1 誤差指標(biāo)

目前，慣量估計(jì)誤差沒(méi)有固定的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，本文基于電力系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)頻率以及節(jié)點(diǎn)有功功率的測(cè)量值，采用式（6）對(duì)系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)的慣性常數(shù)進(jìn)行逆運(yùn)算，得出電力系統(tǒng)慣量的理論值，從而計(jì)算慣性常數(shù)理論值與估計(jì)值之間的平均絕對(duì)誤差。具體如下：

式 中：H、H分 別 為 電 力 系 統(tǒng) 節(jié) 點(diǎn)j在t時(shí) 刻 下 的慣性常數(shù)理論值、估計(jì)值；分 別 為 節(jié) 點(diǎn)j在t時(shí)刻的實(shí)際頻率一階導(dǎo)數(shù)、有功功率變化實(shí)際值；T為慣量估計(jì)周期；εj為節(jié)點(diǎn)j的慣性估計(jì)誤差。

結(jié)合式（2），計(jì)算系統(tǒng)t時(shí)刻慣性常數(shù)估計(jì)值H、理 論 值H，并 在 此 基 礎(chǔ) 上 引 入 系 統(tǒng) 慣 量 估計(jì)誤差εsys，用于衡量整個(gè)電力系統(tǒng)在周期T內(nèi)的慣量估計(jì)誤差。

4.3.2 對(duì)照模型

1）擴(kuò)展卡爾曼濾波估計(jì)方法

Bucy、Sunahara 等人提出并研究了擴(kuò)展卡爾曼濾波（extended kalman filter，EKF），并將KF 算法進(jìn)一步應(yīng)用到非線性領(lǐng)域。EKF 的優(yōu)勢(shì)在于其狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型和觀測(cè)模型可以是可微的非線性函數(shù)，是電力系統(tǒng)慣性常數(shù)-頻率狀態(tài)估計(jì)的傳統(tǒng)算法。具體理論模型推導(dǎo)詳見(jiàn)文獻(xiàn)［34］。

2）粒子濾波估計(jì)方法

粒子濾波（particle filters，PF）是一種用于非線性系統(tǒng)的濾波算法，其核心思想是通過(guò)一組粒子來(lái)估計(jì)隨機(jī)過(guò)程的后驗(yàn)分布，并利用加權(quán)粒子來(lái)更新預(yù)測(cè)。PF 的優(yōu)勢(shì)在于其可以從所需分布中生成樣本，而不需要對(duì)狀態(tài)空間模型或狀態(tài)分布提前做出假設(shè)，是電力系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)的常用算法之一。具體的理論模型推導(dǎo)詳見(jiàn)文獻(xiàn)［35］。

3）基于慣性中心頻率的估計(jì)方法

基于慣性中心頻率的慣量估計(jì)是一種用于電力系統(tǒng)整體慣量估計(jì)的傳統(tǒng)方法，利用慣性中心節(jié)點(diǎn)的頻率測(cè)量信息，通過(guò)慣性常數(shù)-頻率狀態(tài)的擺動(dòng)方程構(gòu)建系統(tǒng)慣量的狀態(tài)方程，進(jìn)而利用UKF 和FLS的組合算法對(duì)系統(tǒng)慣量進(jìn)行估計(jì)。其中，系統(tǒng)慣量中心頻率的計(jì)算公式為：

式中：fCOI為系統(tǒng)的慣性中心頻率，由系統(tǒng)內(nèi)所有同步機(jī)轉(zhuǎn)速按其轉(zhuǎn)動(dòng)慣性常數(shù)加權(quán)求和得到；fG，m為同 步 機(jī) 轉(zhuǎn) 速；HG，m、SG，m分 別 為 同 步 機(jī) 轉(zhuǎn) 動(dòng) 慣 性 常數(shù)、額定容量；M 為同步發(fā)電節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的集合；m為同步發(fā)電節(jié)點(diǎn)。

基于此，定義系統(tǒng)的慣性中心頻率和系統(tǒng)慣性常數(shù)Hsys為狀態(tài)變量，即xenh=［Hsys，fCOI］，定義所有聯(lián)絡(luò)線有功功率變化量ΔP?，i組成輸入變量，即uenh=[ΔP]?，i，? ∈Li，構(gòu)造基于慣性中心頻率的狀態(tài)方程如下：

按照本文第4 章的建模步驟，建立基于慣性中心頻率的系統(tǒng)慣量估計(jì)模型。

4）本文方法與對(duì)照組比較分析

根據(jù)上述傳統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)算法，本文共設(shè)置了4 組對(duì)照模型，用于驗(yàn)證分析本文所提算法的有效性，所提算法與對(duì)照組模型的對(duì)比分析如表1 所示。本文設(shè)置的對(duì)照組按照控制單一變量的基本原則來(lái)設(shè)定，打“√”表示該模型利用了這種算法。表中：對(duì)比模型1 和對(duì)比模型5 用于驗(yàn)證Granger 時(shí)空因果相關(guān)性檢驗(yàn)，對(duì)比模型2 用于驗(yàn)證FLS 算法在系統(tǒng)慣性常數(shù)-頻率狀態(tài)估計(jì)中的有效性，對(duì)比模型3 和對(duì)比模型4 則用于驗(yàn)證UKF 算法的優(yōu)勢(shì)和適應(yīng)性。

表1 本文所提算法與對(duì)照組模型對(duì)比Table 1 Comparison of proposed algorithm and control group model

5 算例分析

5.1 模型介紹與仿真驗(yàn)證

本文在IEEE 39 標(biāo)準(zhǔn)電網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，增加多組由下垂控制的風(fēng)力發(fā)電機(jī)組，模擬風(fēng)電場(chǎng)并網(wǎng)所提供的慣量。此外，增加通過(guò)虛擬慣量控制的光伏發(fā)電機(jī)組，模擬光伏電站并網(wǎng)所提供的慣量，如圖3 所示。

圖3 改進(jìn)的IEEE 39 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)Fig.3 Improved IEEE 39-bus system

該系統(tǒng)總共包括10 個(gè)發(fā)電節(jié)點(diǎn)、39 條母線。本文利用三相并聯(lián)負(fù)載模型來(lái)對(duì)節(jié)點(diǎn)負(fù)荷和主網(wǎng)負(fù)荷進(jìn)行等值。假設(shè)仿真數(shù)據(jù)足夠接近真實(shí)情況，在仿真的0～30 s 內(nèi)通過(guò)實(shí)際風(fēng)速和輻照度分別設(shè)置風(fēng)電和光伏的出力數(shù)值，從而生成高占比新能源電力系統(tǒng)運(yùn)行的數(shù)據(jù)樣本。

本文電力系統(tǒng)慣量估計(jì)過(guò)程中的數(shù)據(jù)來(lái)源于PMU 測(cè)量數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)使用可分為離線計(jì)算和在線監(jiān)測(cè)兩種方式。其中，離線計(jì)算用于分析系統(tǒng)內(nèi)務(wù)節(jié)點(diǎn)頻率間的時(shí)空因果相關(guān)性，通過(guò)PMU 測(cè)量并上傳數(shù)據(jù)至云平臺(tái)上，以臨近待估時(shí)刻的時(shí)間段作為分析周期，計(jì)算務(wù)節(jié)點(diǎn)的時(shí)空因果相關(guān)性矩陣；在線監(jiān)測(cè)用于系統(tǒng)慣量實(shí)時(shí)估計(jì)，基于頻率-慣量的狀態(tài)空間模型對(duì)系統(tǒng)內(nèi)務(wù)個(gè)節(jié)點(diǎn)的頻率進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)。案例分析包括發(fā)電節(jié)點(diǎn)的慣性常數(shù)估計(jì)和系統(tǒng)慣量估計(jì)，對(duì)于單一發(fā)電節(jié)點(diǎn)的慣量估計(jì)，計(jì)算方式為分散式計(jì)算；對(duì)于電力系統(tǒng)的慣量估計(jì)，計(jì)算方式為集中式計(jì)算。系統(tǒng)內(nèi)務(wù)發(fā)電節(jié)點(diǎn)裝機(jī)容量如附錄B 表B1 所示，其中，節(jié)點(diǎn)31、35、37、38 含新能源場(chǎng)站并網(wǎng)，當(dāng)風(fēng)電/光伏在上述節(jié)點(diǎn)滲透率為100%時(shí)，整個(gè)系統(tǒng)的新能源裝機(jī)占比可達(dá)66.7%。風(fēng)電場(chǎng)站的控制方式為下垂控制；光伏場(chǎng)站的控制方式為虛擬慣量控制；風(fēng)電場(chǎng)站W(wǎng)1、風(fēng)電場(chǎng)站W(wǎng)2 的虛擬慣量常數(shù)分別設(shè)置為4.75、3.52 s；光伏場(chǎng)站PV1、光伏場(chǎng)站PV2 的虛擬慣量常數(shù)分別設(shè)置為4.89、3.64 s。

5.2 有效性驗(yàn)證

5.2.1 節(jié)點(diǎn)頻率時(shí)空相關(guān)量化的有效性驗(yàn)證

本文選取了某一時(shí)段內(nèi)電力系統(tǒng)拓?fù)涔?jié)點(diǎn)間的頻率因果關(guān)系分析結(jié)果，如圖4 所示。圖中：C（i，j）指節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j的頻率具有因果關(guān)聯(lián)關(guān)系。

圖4 系統(tǒng)各節(jié)點(diǎn)頻率響應(yīng)因果相關(guān)性示意圖Fig.4 Schematic diagram of causal correlation of frequency response of each node in system

圖4（b）展示了圖4（a）中9 個(gè)節(jié)點(diǎn)的頻率測(cè)量曲線。從圖中可以看出，在同一時(shí)刻下，不同節(jié)點(diǎn)的頻率測(cè)量值之間呈現(xiàn)明顯的時(shí)空因果相關(guān)特性，對(duì)于任意一個(gè)節(jié)點(diǎn)，可以有臨近的多個(gè)節(jié)點(diǎn)與其頻率呈現(xiàn)因果關(guān)系。此外，圖4（b）展示了系統(tǒng)頻率在時(shí)序上超前-滯后的特性與因果相關(guān)性之間的關(guān)系，不同頻率因果相關(guān)組之間的頻率曲線幅值差距較大。其中，節(jié)點(diǎn)1 和節(jié)點(diǎn)36 的頻率最低點(diǎn)的差值超過(guò)0.2 Hz，處于同一頻率因果相關(guān)組的頻率曲線幅值差異小，僅存在些許的橫向誤差。因此，同一頻率因果相關(guān)組對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)集合，其測(cè)量數(shù)據(jù)可以互補(bǔ)利用，減少由于單一節(jié)點(diǎn)頻率測(cè)量誤差所帶來(lái)的慣量估計(jì)誤差。從仿真層面上解釋了因果分析對(duì)于節(jié)點(diǎn)頻率估計(jì)模型輸入篩選的現(xiàn)實(shí)意義。

基于此，本文基于Granger 因果檢驗(yàn)算法，統(tǒng)計(jì)分析了某一時(shí)刻下用于估計(jì)節(jié)點(diǎn)慣性常數(shù)的時(shí)空因果相關(guān)節(jié)點(diǎn)集合，如附錄B 表B2 所示。對(duì)于不同節(jié)點(diǎn)而言，用于慣量估計(jì)的頻率因果相關(guān)集合不同，尤其是面向新能源并網(wǎng)的節(jié)點(diǎn)，其頻率因果相關(guān)集合元素相較于常規(guī)電源節(jié)點(diǎn)少，頻率響應(yīng)相對(duì)獨(dú)立，這也體現(xiàn)了分類估計(jì)常規(guī)場(chǎng)站和新能源場(chǎng)站慣量的必要性。另外，針對(duì)系統(tǒng)內(nèi)的任一節(jié)點(diǎn)，其他節(jié)點(diǎn)的頻率既有可能是其原因節(jié)點(diǎn)，也有可能是其結(jié)果節(jié)點(diǎn)。因此，其他節(jié)點(diǎn)超前或滯后于該時(shí)刻的頻率信息，對(duì)當(dāng)前時(shí)刻下這一節(jié)點(diǎn)的頻率慣量估計(jì)具有同等的價(jià)值。這一結(jié)論也體現(xiàn)了引入FLS，并充分利用其他節(jié)點(diǎn)在超前時(shí)刻下的頻率觀測(cè)值對(duì)節(jié)點(diǎn)的慣性常數(shù)估計(jì)具有重要意義。

為進(jìn)一步驗(yàn)證濾波-平滑兩階段慣量評(píng)估方法對(duì)系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)的適應(yīng)性，本節(jié)在改進(jìn)的IEEE 39節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中設(shè)置多個(gè)位置持續(xù)擾動(dòng)以模擬實(shí)際電網(wǎng)頻率波動(dòng)場(chǎng)景，在t為0～15 s 和t為15～30 s 時(shí)，負(fù)荷擾動(dòng)位置分別位于節(jié)點(diǎn)21、22、23、24 和節(jié)點(diǎn)10、11、12、13。負(fù)荷擾動(dòng)節(jié)點(diǎn)的位置如附錄B 圖B1所示。

除了模擬負(fù)荷擾動(dòng)工況之外，本文分別增加了常規(guī)場(chǎng)站、風(fēng)電場(chǎng)以及光伏電站切出的場(chǎng)景，用于對(duì)比分析不同頻率測(cè)量輸入方式下系統(tǒng)慣量估計(jì)的效果，如表2 所示。

表2 不同頻率測(cè)量輸入方式下系統(tǒng)慣量估計(jì)效果的對(duì)比Table 2 Comparison of system inertia estimation effect with different frequency measurement input methods

從表2 中可以看出，在大部分場(chǎng)景下，時(shí)空因果頻率輸入下的系統(tǒng)慣量估計(jì)精度高且泛化能力較強(qiáng)。由于慣性中心頻率僅僅是對(duì)務(wù)節(jié)點(diǎn)頻率觀測(cè)信息的平均，在這一過(guò)程中，可以將頻率測(cè)量誤差進(jìn)行分?jǐn)偅菬o(wú)法準(zhǔn)確校正每個(gè)節(jié)點(diǎn)的頻率測(cè)量誤差。而時(shí)空因果頻率的輸入不僅可以對(duì)系統(tǒng)慣量進(jìn)行估計(jì)，也可以對(duì)務(wù)節(jié)點(diǎn)的慣量進(jìn)行估計(jì)，并利用務(wù)節(jié)點(diǎn)之間的時(shí)空因果相關(guān)性對(duì)某一節(jié)點(diǎn)的慣量估計(jì)結(jié)果進(jìn)行校正。因此，泛化能力較強(qiáng)且在部分節(jié)點(diǎn)頻率測(cè)量信息缺失的前提下，能夠保證系統(tǒng)慣量的估計(jì)精度。

5.2.2 UKF 有效性驗(yàn)證

基于4.3.2 節(jié)中所設(shè)置的對(duì)照組，本文引入EKF 和PF 兩種系統(tǒng)慣量傳統(tǒng)估計(jì)算法，驗(yàn)證UKF對(duì)系統(tǒng)慣量進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)的有效性。本文選取某一估計(jì)周期（0～6 s）內(nèi)，基于3 種方法對(duì)電力系統(tǒng)發(fā)電節(jié)點(diǎn)的慣量估計(jì)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，對(duì)比曲線如圖5 所示。圖中：εPF、εUKF、εEKF分別為PF、UKF、EKF算法的誤差，括號(hào)內(nèi)的數(shù)據(jù)表示對(duì)應(yīng)算法的收斂時(shí)間。

圖5 不同濾波算法下的電力系統(tǒng)慣量估計(jì)結(jié)果Fig.5 Power system inertia estimation results with different filtering algorithms

本文選取發(fā)電節(jié)點(diǎn)31、35、38 作為分析對(duì)象。從圖5（a）、（b）、（c）中可以看出，3 種算法收斂至穩(wěn)定的估計(jì)結(jié)果需要一定的時(shí)間，收斂時(shí)間均在3.7 s以內(nèi)。當(dāng)節(jié)點(diǎn)慣性常數(shù)的估計(jì)值達(dá)到收斂之后，其與理論慣量之間的誤差大部分維持在2%以內(nèi)。

從圖5 中UKF、EKF 和PF3 種狀態(tài)估計(jì)算法的結(jié)果可以看出，與PF 算法相比，EKF 算法的收斂速度較快，而估計(jì)精度較低。這是由于EKF 算法對(duì)于狀態(tài)空間的線性化要求比較嚴(yán)格，本文針對(duì)的是系統(tǒng)慣量非線性估計(jì)，且考慮其他相關(guān)節(jié)點(diǎn)的頻率響應(yīng)，估計(jì)結(jié)果維度高。因此，EKF 算法的估計(jì)效果不佳。而PF 算法的計(jì)算復(fù)雜度將會(huì)隨著粒子數(shù)目的增加而增加，對(duì)于高維狀態(tài)空間，粒子數(shù)目大幅度增加，從而導(dǎo)致計(jì)算量增大，且收斂速度變慢。相比之下，本文所提的UKF 算法具有較高的估計(jì)精度和較快的收斂速度。

5.2.3 FLS 有效性驗(yàn)證

根據(jù)4.3.2 節(jié)中所設(shè)置的對(duì)照組，利用對(duì)比模型2，即將本文所提模型移除FLS 后，與本文算法進(jìn)行對(duì)比，用于驗(yàn)證引入FLS 的必要性。繪制有無(wú)FLS模型下的節(jié)點(diǎn)慣性常數(shù)估計(jì)結(jié)果曲線如圖6 所示。

圖6 有無(wú)FLS 的慣量估計(jì)結(jié)果對(duì)比Fig.6 Comparison of inertia estimation results with and without FLS

可以看出，F(xiàn)LS 可以對(duì)節(jié)點(diǎn)慣性常數(shù)估計(jì)的時(shí)序過(guò)程進(jìn)行平滑，并且收斂之后的慣量估計(jì)值更接近于理論慣量值。一方面，這是由于FLS 的引入充分考慮了其他節(jié)點(diǎn)頻率的未來(lái)觀測(cè)值，從而為節(jié)點(diǎn)慣性常數(shù)的估計(jì)提供了更多、更有效的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)；另一方面，由于FLS 可以平抑慣量時(shí)序的波動(dòng)幅度，從而可以在同一判斂準(zhǔn)則下，使得結(jié)果收斂更快。因此，F(xiàn)LS 的引入有助于提升慣量估計(jì)的準(zhǔn)確性和收斂速度。

5.3 算法適用性分析

5.3.1 不同新能源滲透率下的算法適用性

基于5.1 節(jié)，本文通過(guò)增加節(jié)點(diǎn)31、35、37 和38的風(fēng)電/光伏裝機(jī)容量，提升改進(jìn)IEEE 39 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的新能源滲透率。選取當(dāng)風(fēng)電/光伏新能源滲透率達(dá)到25%、50%、62.5% 和66.67% 下的發(fā)電節(jié)點(diǎn)31、35、38 的頻率曲線作為分析對(duì)象，如圖7 所示。

圖7 不同新能源滲透率下系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)頻率變化曲線Fig.7 Frequency variation curves of system buses with different renewable energy penetration rates

從圖7 中可以看出，隨著風(fēng)電/光伏新能源裝機(jī)容量的增加，節(jié)點(diǎn)頻率的波動(dòng)程度也隨之增大。這是由于風(fēng)電/光伏的不確定性導(dǎo)致了節(jié)點(diǎn)頻率在時(shí)序上的波動(dòng)。當(dāng)新能源滲透率為25～50%時(shí)，系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)的頻率變化呈現(xiàn)緩慢波動(dòng)的趨勢(shì)；當(dāng)新能源滲透率在60%以上時(shí)，系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)頻率呈現(xiàn)大幅度、聚集性劇烈波動(dòng)。隨著新能源滲透率的增加，節(jié)點(diǎn)38的頻率出現(xiàn)陡增，在這一情形下更需要對(duì)新能源電力系統(tǒng)慣量和頻率進(jìn)行提前估計(jì)。同時(shí)，驗(yàn)證了高比例新能源電力系統(tǒng)頻率的時(shí)序特性，體現(xiàn)出了新能源電力系統(tǒng)慣量估計(jì)的必要性。根據(jù)4.3.1 節(jié)提出的新能源電力系統(tǒng)慣量評(píng)價(jià)指標(biāo)，計(jì)算并統(tǒng)計(jì)發(fā)電節(jié)點(diǎn)的慣量估計(jì)結(jié)果如附錄C 表C1 所示。

5.3.2 不同頻率擾動(dòng)場(chǎng)景下的算法適用性在新能源滲透率為66.7%的基礎(chǔ)上，當(dāng)t=5 s時(shí)，分別在發(fā)電節(jié)點(diǎn)34、37 和31 退出裝機(jī)為50 MW的常規(guī)場(chǎng)站（G5）、120 MW 的風(fēng)電場(chǎng)站（W1）和100 MW 的光伏發(fā)電場(chǎng)站（PV1）。設(shè)定一次調(diào)頻死區(qū)為0.033 Hz，其中，時(shí)間窗1 為一次調(diào)頻響應(yīng)之前，時(shí)間窗2 為一次調(diào)頻響應(yīng)之后，上述3 種場(chǎng)景下電力系統(tǒng)的頻率響應(yīng)曲線如圖8 所示。

圖8 不同擾動(dòng)場(chǎng)景下的系統(tǒng)頻率響應(yīng)曲線Fig.8 Frequency response curves of system in different disturbance scenarios

從圖8 中可以看出，本文選取了3～11 s 內(nèi)不同場(chǎng)景下系統(tǒng)頻率擾動(dòng)的情景作為慣量估計(jì)的分析對(duì)象，t=5 s 時(shí)為擾動(dòng)發(fā)生時(shí)刻，其中，時(shí)間窗1 描繪了電力系統(tǒng)頻率在擾動(dòng)前（發(fā)電機(jī)一次調(diào)頻死區(qū)內(nèi)）的變化情況；時(shí)間窗2 描繪了電力系統(tǒng)在一次調(diào)頻死區(qū)之外（恢復(fù)時(shí)間段內(nèi)）的變化情況。目的是分析不同類型電源節(jié)點(diǎn)的擾動(dòng)對(duì)電力系統(tǒng)頻率的影響，進(jìn)而分析對(duì)電力系統(tǒng)慣量估計(jì)效果的影響。附錄C 表C2 給出了不同頻率擾動(dòng)場(chǎng)景下的電力系統(tǒng)慣量估計(jì)結(jié)果。其中，時(shí)間窗1（t為3～7 s）描繪了電力系統(tǒng)頻率在擾動(dòng)前（發(fā)電機(jī)一次調(diào)頻死區(qū)內(nèi)）的變化情況；時(shí)間窗2（t為7～11 s）描繪了電力系統(tǒng)在一次調(diào)頻死區(qū)之外（恢復(fù)時(shí)間段內(nèi)）的變化情況。

6 結(jié)語(yǔ)

本文分析了新能源電力系統(tǒng)慣量的主要來(lái)源并給出了計(jì)算方案，提出了基于Granger 因果檢驗(yàn)算法的頻率響應(yīng)時(shí)空相關(guān)性量化方法，建立了考慮節(jié)點(diǎn)時(shí)空相關(guān)性的系統(tǒng)慣性常數(shù)-頻率狀態(tài)空間模型。此外，提出了基于UKF 和FLS 的系統(tǒng)慣量?jī)呻A段估計(jì)方法，并給出了系統(tǒng)慣量估計(jì)誤差的評(píng)價(jià)指標(biāo)，基于改進(jìn)的IEEE 39 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)驗(yàn)證了所提方法的有效性。主要結(jié)論如下：

1）電力系統(tǒng)內(nèi)務(wù)個(gè)節(jié)點(diǎn)的頻率具有超前-滯后的時(shí)空因果相關(guān)特性，將具有時(shí)空因果相關(guān)性的節(jié)點(diǎn)的頻率測(cè)量信息納入慣量估計(jì)的觀測(cè)量中，可以提升系統(tǒng)慣量估計(jì)的準(zhǔn)確性。

2）利用UKF 和FLS 的電力系統(tǒng)慣量?jī)呻A段狀態(tài)估計(jì)方案，通過(guò)分布式與集中式相結(jié)合的計(jì)算方式，可以保證從單一發(fā)電節(jié)點(diǎn)到全系統(tǒng)慣量估計(jì)的準(zhǔn)確性與收斂速度。

3）隨著新能源滲透率的提升，系統(tǒng)頻率波動(dòng)性增大、系統(tǒng)慣量估計(jì)難度增加，所提方法可以適應(yīng)不同新能源滲透率下的系統(tǒng)慣量估計(jì)。同時(shí)，在頻率擾動(dòng)場(chǎng)景下仍然可以保持較高的慣量估計(jì)精度，所提方法具有泛化能力和魯棒性。

本文所提的慣量估計(jì)方法的有效性可以在新能源電力外送、跨區(qū)直流輸電等實(shí)際工程中得到進(jìn)一步應(yīng)用和驗(yàn)證。

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