插入式永磁同步電主軸無(wú)傳感器弱磁控制技術(shù)研究

曹偉長(zhǎng)，單文桃，呂冬喜，林奇，池云飛

(江蘇理工學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，江蘇常州 213001)

0 前言

高速數(shù)控機(jī)床是裝備制造的主要發(fā)展方向之一，研究表明：在超高速的切削條件下，材料所需的切削力會(huì)下降，表面質(zhì)量和加工效率得到提高[1-2]。電主軸的性能對(duì)機(jī)床高速化和高精度化起關(guān)鍵作用，永磁同步電主軸擁有功率大、集成度高等優(yōu)點(diǎn)，相較于異步電主軸，永磁體的使用有效地緩解了轉(zhuǎn)子發(fā)熱嚴(yán)重的問(wèn)題，因此對(duì)永磁同步電主軸技術(shù)研究具有重要意義。

矢量控制是目前主要的永磁同步電主軸控制策略之一，對(duì)其進(jìn)行精確地控制需要轉(zhuǎn)子的速度和位置信息。由于光電編碼器、靜磁柵絕對(duì)編碼器等傳感器的安裝增加了永磁同步電主軸的體積和成本，為了增強(qiáng)電主軸在特殊場(chǎng)合和限制下的穩(wěn)定性，采用無(wú)傳感器控制方式的永磁同步電主軸驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)近年來(lái)成為國(guó)內(nèi)外的研究熱點(diǎn)[3-4]。一些學(xué)者提出如高頻信號(hào)注入法[5-9]、滑模觀測(cè)器法[10]、自適應(yīng)觀測(cè)器法[11]、擴(kuò)展卡爾曼濾波器法[12]、龍貝格觀測(cè)器法[13]等方法實(shí)現(xiàn)電主軸速度及位置信息的獲取。

滑模觀測(cè)器(Sliding Mode Observer，SMO)基于反電動(dòng)勢(shì)預(yù)估轉(zhuǎn)速、位置信息，具有低復(fù)雜度、高魯棒性等優(yōu)勢(shì)，廣泛應(yīng)用于控制系統(tǒng)。然而，滑模觀測(cè)器具有開(kāi)關(guān)控制特性，由于開(kāi)關(guān)時(shí)間和空間滯后等問(wèn)題，滑模觀測(cè)器觀測(cè)數(shù)據(jù)會(huì)出現(xiàn)抖振現(xiàn)象，各種延遲效應(yīng)會(huì)降低觀測(cè)數(shù)據(jù)的精度[14]。

張立偉等[15]為了削弱滑模觀測(cè)器抖振現(xiàn)象，提出指數(shù)型滑模函數(shù)作為控制函數(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)開(kāi)關(guān)函數(shù)，但指數(shù)型滑模函數(shù)的特性使其易出現(xiàn)短暫的鉗位現(xiàn)象，正弦度不高。王雙鑫等[16]提出利用雙曲正切函數(shù)替代符號(hào)函數(shù)，并省略低通濾波器，改善SMO存在的抖振和相位滯后問(wèn)題。劉軍等人[17]為使觀測(cè)器測(cè)量的反電動(dòng)勢(shì)波形更加平滑和準(zhǔn)確，通過(guò)引入卡爾曼濾波器來(lái)削弱滑模觀測(cè)器的抖動(dòng)，以此增強(qiáng)觀測(cè)數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性。陳珂、宋保業(yè)[18]為減弱高頻抖振和系統(tǒng)誤差，提出了一種改進(jìn)的分?jǐn)?shù)階滑模觀測(cè)器，利用光滑連續(xù)的雙曲正切函數(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)開(kāi)關(guān)函數(shù)，通過(guò)分?jǐn)?shù)階的指數(shù)趨近律建立觀測(cè)器。彭思齊等[19]為了削弱抖振現(xiàn)象，提出一種新型指數(shù)型滑模函數(shù)，它具有更高的轉(zhuǎn)子位置觀測(cè)精度，并且觀測(cè)器觀測(cè)的反電動(dòng)勢(shì)正弦度更高。呂德剛、李子豪[20]選取零點(diǎn)處連續(xù)的切換函數(shù)和指數(shù)趨近律結(jié)合的控制方法，以此來(lái)抑制傳統(tǒng)開(kāi)關(guān)函數(shù)滑模觀測(cè)器所有系統(tǒng)的抖振現(xiàn)象。

本文作者通過(guò)標(biāo)幺化處理MTPA四階方程，提高M(jìn)TPA控制的魯棒性；并將Sigmoid函數(shù)引進(jìn)傳統(tǒng)滑模觀測(cè)器中，有效地緩解高頻抖振和系統(tǒng)誤差。

1 永磁同步電主軸數(shù)學(xué)模型

電主軸轉(zhuǎn)子和定子間具有非線性、強(qiáng)耦合性以及時(shí)變性等復(fù)雜的電磁關(guān)系，在建立數(shù)學(xué)模型之前假設(shè)：

(1)忽略鐵芯磁阻，永磁材料的電導(dǎo)率為零；

(2)不計(jì)渦流和磁滯損耗，永磁體內(nèi)部的磁導(dǎo)率與空氣相同；

(3)轉(zhuǎn)子上無(wú)阻尼繞組；

(4)永磁體產(chǎn)生的勵(lì)磁磁場(chǎng)和三相繞組產(chǎn)生的電樞反應(yīng)磁場(chǎng)在氣隙中均為正弦分布；

(5)穩(wěn)態(tài)運(yùn)行時(shí)相繞組中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)波形為正弦波。

由a、b、c坐標(biāo)系的三相電壓到d、q同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的變換為

(1)

建立d-q坐標(biāo)軸下插入式三相永磁同步電主軸數(shù)學(xué)模型。

定子電壓方程：

(2)

(3)

式中：ud為電主軸定子d軸電壓；uq為q軸電壓；Ld為電主軸定子d軸電感；Lq為q軸電感；id為電主軸定子d軸電流；iq為q軸電流；ωr為電主軸電角速度；Rs為電主軸定子電樞相電阻；ψf為電主軸轉(zhuǎn)子永磁體磁鏈。

定子磁鏈方程：

ψd=Ldid+ψf

(4)

ψq=Lqiq

(5)

式中：ψd、ψq分別為電主軸d、q軸磁鏈。

三相凸極永磁同步電主軸的電磁轉(zhuǎn)矩為

(6)

式中：pn為電主軸極對(duì)數(shù)；Te為電主軸電磁轉(zhuǎn)矩；β為電主軸轉(zhuǎn)矩角；is為電主軸定子電流。

在d-q軸系中有：

id=iscosβ

(7)

iq=issinβ

(8)

將式(7)(8)代入式(6)中得到：

(9)

機(jī)械運(yùn)動(dòng)方程：

(10)

式中：TL為電主軸負(fù)載轉(zhuǎn)矩；J為總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；B為摩擦因數(shù)。

2 弱磁控制

2.1 弱磁區(qū)域的確定

MTPA(Maximum Torque Per Ampere)控制：基速(空載電動(dòng)勢(shì)達(dá)到逆變器輸出最大電壓值時(shí)的轉(zhuǎn)速)以下，采用MTPA控制如圖1中OA所示。

弱磁區(qū)域Ⅰ：永磁同步電主軸將運(yùn)行在圖1中OA和BC之間的區(qū)域。

弱磁區(qū)域Ⅱ：主軸沿著最大轉(zhuǎn)矩電壓比(Maximum Torque Per Voltage，MTPV)即弱磁區(qū)域Ⅱ運(yùn)行。

2.2 弱磁區(qū)域Ⅰ的運(yùn)行分析

根據(jù)MTPA原理，可將MTPA控制問(wèn)題轉(zhuǎn)換成求定子電流最小值的問(wèn)題。

(11)

由拉格朗日極值定理得到：

(12)

式中：λ為拉格朗日乘子。

根據(jù)拉格朗日乘數(shù)法，對(duì)拉格朗日函數(shù)求偏導(dǎo)，即分別對(duì)id、iq、λ求偏導(dǎo)，并令等式為0得：

(13)

求解式(13)得到id的表達(dá)式：

(14)

將式(14)代入式(11)并進(jìn)行化簡(jiǎn)之后得到：

(15)

通過(guò)反解d、q軸電流與電磁轉(zhuǎn)矩之間的關(guān)系方程可得：

id=f1(Te)

(16)

iq=f2(Te)

(17)

在電主軸的實(shí)際應(yīng)用中，主軸的參數(shù)會(huì)受到溫度、磁路飽和等因素的影響而產(chǎn)生變化，為了適應(yīng)參數(shù)改變帶來(lái)的影響，需要對(duì)方程式進(jìn)行標(biāo)幺值化處理。對(duì)式(9)進(jìn)行標(biāo)幺值化處理：

令Teb=pnψfib

(18)

式中：Teb為電主軸轉(zhuǎn)矩基值；ib為電主軸電流基值。

(19)

(20)

式中：Ten為電主軸轉(zhuǎn)矩標(biāo)幺值。

(21)

(22)

式中：idn為電主軸d軸電流標(biāo)幺值；iqn為電主軸q軸電流標(biāo)幺值。

(23)

根據(jù)式(9)(23)可得：

(24)

(25)

通過(guò)標(biāo)幺值化得到的最大轉(zhuǎn)矩、電流關(guān)系將不再與主軸的參數(shù)有關(guān)，即Ten和idn、iqn之間的關(guān)系將不受參數(shù)變換影響。

高速永磁同步電主軸的參數(shù)如表1所示。

表1 高速磨削電主軸參數(shù)

為了減小計(jì)算量，利用MATLAB的工具箱從圖像中選取數(shù)據(jù)，通過(guò)多項(xiàng)式對(duì)式(24)(25)進(jìn)行曲線擬合得到：

(26)

(27)

根據(jù)式(26)(27)進(jìn)行電流分配，從而實(shí)現(xiàn)MTPA控制。

2.3 弱磁區(qū)域Ⅱ的運(yùn)行分析

恒轉(zhuǎn)矩方向：

(28)

設(shè)輸出電壓的代價(jià)函數(shù)為

(29)

當(dāng)主軸高速運(yùn)行時(shí)，定子側(cè)的壓降影響較小，可以忽略，電壓極限圓遞減方向表達(dá)式：

(30)

根據(jù)電壓極限橢圓中電壓下降方向的表達(dá)式(30)，令：

(31)

當(dāng)θ<90°時(shí)，為弱磁區(qū)域Ⅰ；當(dāng)θ=90°時(shí)，永磁同步電主軸沿著MTPV曲線運(yùn)行進(jìn)入弱磁區(qū)域Ⅱ；當(dāng)θ≥90°時(shí)，進(jìn)入弱磁區(qū)域Ⅱ。

2.4 電流參考值的修正

在弱磁區(qū)域Ⅱ，電流參考值沿MTPV進(jìn)行修正，由轉(zhuǎn)矩雙曲線切點(diǎn)和電壓極限橢圓的連線，可以表示出MTPV的軌跡方程：

(32)

由式(32)可得MTPV切線方向：

(33)

在弱磁Ⅰ區(qū)，電流將會(huì)沿(Td,Tq)T方向修正；在弱磁區(qū)Ⅱ區(qū)，電流將會(huì)沿MTPV方向修正。以此求解電流修正值為

(34)

(35)

式中：α、β為增益系數(shù)。

經(jīng)MTPA控制和弱磁電流修正后電流可以表示為

(36)

(37)

3 滑模觀測(cè)器

3.1 滑模觀測(cè)器原理

建立α-β坐標(biāo)軸下插入式三相永磁同步電主軸數(shù)學(xué)模型：

(38)

式中：uα、uβ分別為電主軸定子繞組的α、β軸電壓；iα、iβ分別為電主軸定子繞組的α、β軸電流；Eα、Eβ為電主軸擴(kuò)展反電動(dòng)勢(shì)。

其中[EαEβ]T滿足：

(39)

對(duì)于插入式永磁同步電主軸，要得到電主軸的位置信息和轉(zhuǎn)速信息，必須獲得準(zhǔn)確的Eα、Eβ的值，將電壓方程(38)改寫(xiě)成電流狀態(tài)方程形式：

(40)

為了得到Eα、Eβ的估計(jì)值，設(shè)計(jì)的傳統(tǒng)SMO如下：

(41)

將式(40)(41)做差可得到永磁同步電主軸定子觀測(cè)電流與實(shí)際電流的誤差方程為

(42)

(43)

(44)

設(shè)計(jì)滑?？刂坡蕿?/p>

(45)

當(dāng)滑模觀測(cè)器的狀態(tài)變量達(dá)到滑模面、電流觀測(cè)誤差值等于零時(shí)，觀測(cè)器的狀態(tài)將一直保持在滑模面上：

(46)

(47)

由滑?？刂频牡刃Э刂圃砜芍捍藭r(shí)的控制量可看作等效控制量。

(48)

(49)

3.2 改進(jìn)型滑模觀測(cè)器算法

為改善傳統(tǒng)滑模觀測(cè)器由于不連續(xù)開(kāi)關(guān)函數(shù)控制特性所導(dǎo)致的觀測(cè)器系統(tǒng)抖振問(wèn)題，選取零點(diǎn)處連續(xù)的開(kāi)關(guān)控制函數(shù)sigmoid(x)代替?zhèn)鹘y(tǒng)的開(kāi)關(guān)函數(shù)。

(50)

根據(jù)永磁同步電主軸數(shù)學(xué)模型，構(gòu)建自適應(yīng)模糊滑模觀測(cè)器如下：

(51)

滑模可達(dá)性條件由李亞普諾夫函數(shù)表示：

V=1/2ST(x)S(x)

(52)

滑模觀測(cè)器穩(wěn)定性條件為

(53)

(54)

(55)

(56)

可以得到：

h>max(|Eα|,|Eβ|)

(57)

由上述推導(dǎo)可知：在指數(shù)趨近律中，當(dāng)趨近速度h?max(Eα,Eβ)時(shí)，滑模系統(tǒng)的抖振區(qū)間會(huì)縮小。

4 實(shí)驗(yàn)分析

文中對(duì)實(shí)驗(yàn)室FL170-20-15型高速磨削電主軸(如圖2所示)進(jìn)行Simulink建模仿真，仿真模型如圖3所示。

圖2 FL170-20-15型高速磨削電主軸

圖3 滑模觀測(cè)器弱磁控制模型

在使用MATLAB仿真中，設(shè)定電主軸的轉(zhuǎn)速為21 000 r/min，轉(zhuǎn)速時(shí)間關(guān)系曲線如圖4所示，主軸轉(zhuǎn)速上升時(shí)間為2.8 s。從圖5可以看出：主軸轉(zhuǎn)速超調(diào)量約為88 r/min，在3.4 s時(shí)由于階躍負(fù)載，此時(shí)轉(zhuǎn)速下降約43 r/min并在0.17 s內(nèi)恢復(fù)到設(shè)定轉(zhuǎn)速。由圖6可以看出：滑模觀測(cè)器在主軸低速階段觀測(cè)數(shù)據(jù)誤差較大，隨著轉(zhuǎn)速升高，誤差逐漸減小；在0.65 s左右注入弱磁調(diào)節(jié)信號(hào)，轉(zhuǎn)子位置誤差波動(dòng)范圍變大。由圖7可以看出：當(dāng)轉(zhuǎn)速達(dá)到設(shè)定轉(zhuǎn)速時(shí)，電流快速減小，符合系統(tǒng)過(guò)程分析。從圖8可以看出：在3.4 s時(shí)對(duì)永磁同步電主軸施加一個(gè)1 N·m的階躍負(fù)載，相對(duì)應(yīng)主軸電流增加。

圖4 轉(zhuǎn)速時(shí)間關(guān)系

圖6 轉(zhuǎn)子位置誤差曲線

圖7 電流-時(shí)間關(guān)系

綜上可得：通過(guò)將sigmoid函數(shù)引進(jìn)傳統(tǒng)滑模觀測(cè)器中，使得該觀測(cè)器估計(jì)出的轉(zhuǎn)子電角度信息和轉(zhuǎn)速值更接近實(shí)際數(shù)值，并且誤差抖動(dòng)更小。

5 結(jié)論

通過(guò)構(gòu)建滑模觀測(cè)器得到位置和轉(zhuǎn)速信息，對(duì)高速磨削電主軸FL170-20-15進(jìn)行Simulink仿真分析，得出以下結(jié)論：

(1)通過(guò)對(duì)id、iq與Te的關(guān)系表達(dá)式進(jìn)行標(biāo)幺化處理，使MTPA控制的求解方程與電主軸參數(shù)無(wú)關(guān)，提高了電主軸控制的魯棒性。

(2)通過(guò)把Sigmoid函數(shù)引進(jìn)滑模觀測(cè)器代替?zhèn)鹘y(tǒng)的開(kāi)關(guān)函數(shù)，有效減小了滑模觀測(cè)器的觀測(cè)誤差，并且改善了觀測(cè)系統(tǒng)的抖振現(xiàn)象。

(3)由于弱磁信號(hào)的注入，轉(zhuǎn)子位置誤差波動(dòng)范圍明顯增大，抖振現(xiàn)象明顯增強(qiáng)。如何削弱弱磁控制帶來(lái)的滑模觀測(cè)器抖振，需要進(jìn)一步研究。